TD 1 : Rappels de probabilités : corrigé

mathématiques - S3
TD 1 : Rappels de probabilités : corrigé
département Mesures Physiques - IUT1 - Grenoble
1. Les anniversaires communs
Quelle est la probabilité pour que deux des 25 étudiants d’un groupe du département
Mesures Physiques aient le même jour d’anniversaire ?
Et pour une promo de 80 étudiants de deuxième année ?
(a) Quelle est la probabilité pour qu’aucune ne fonctionne ?
(b) Le technicien responsable de l’entretien mentionne qu’il y a plus de 9 chances
sur 10 pour que les deux empaqueteuses fonctionnent simultanément. A-t-il raison ?
corrigé succint :
L’univers Ω étudié est l’ensemble des listes de 25 dates (jour et mois) de naissance chosies
parmi les 365 possibles (on ne prend pas en compte les 29 février...). Le cardinal de Ω est
donc 36525 .
L’événement A étudié est le sous-ensemble constitué des listes dans lesquelle l’une des dates
revient au moins deux fois. Le cardinal de Ā est donc facile à déterminer par l’arrangement
365!
A25
. p(Ā) est donc égale à
365 =
(365 − 25)!
341 × 342 × . . . × 364 × 365
365!
=
, soit approximativement 0.431. Ainsi, p(A)
36525 × 340!
36525
est proche de 0.569.
Remarque : l’exercice suppose que les dates de naissance soient équitablement réparties parmi
la population...ce n’est pas tout-à-fait vrai, mais l’ordre de grandeur des résultats reste vrai.
Si l’effectif est de 80, on trouve une quasi-certitude : p(Ā) ≃ 0, 00008566.., donc p(A) ≃ 1.
corrigé succint :
Soit A l’événement "l’empaqueteuse 1 tombe en panne" et B l’événement "l’empaqueteuse 2
tombe en panne". On a p(A) = 0.025 et p(B) = 0.02.
2. Deux lampes
Le responsable de l’entretien d’un immeuble doit remplacer deux lampes fluorescentes dans un bureau.
Pour cela il descend au sous-sol chercher deux nouvelles lampes dans une boîte de 24
dont deux sont défectueuses, puis il remonte dans le bureau. Quelle est la probabilité
qu’il doive redescendre ?
corrigé succint :
Le responsable devra redescendre si et seulement si il choisit au moins une lampe
défectueuse. On peut calculer plus facilement la probabilité que les deux lampes choisies
22 × 21
= 231, alors que le nombre de choix
fonctionnent : le nombre de choix est 22
=
2
2
24 × 23
total est 24
=
= 276.
2
2
231
45
La probabilité qu’à le responsable de devoir redescendre est donc de 1 −
=
, soit
276
276
approximativement 0.163.
3. Deux empaqueteuses
Deux empaqueteuses fonctionnent indépendemment dans une usine. Pour une journée donnée, la probabilité que l’empaqueteuse 1 soit en panne est de 0,025, et de 0,02
pour l’empaqueteuse 2.
(a) L’événement "aucune empaqueteuse ne fonctionne" est A∩B. A et B sont indépendants,
donc p(A ∩ B) = p(A) × p(B) = 0.0005.
(b) L’événement "les deux empaqueteuses fonctionnent simultanément" est Ā ∩ B̄, et donc
p(Ā ∩ B̄) = p(Ā)p(B̄) = (1 − p(A))(1 − p(B)) = 0.975 × 0.98 = 0.9555
4. Un jeu télévisé
On propose à un candidat trois enveloppes identiques ; une seule d’entre-elles
contient un gros chèque. Le candidat commence par désigner une des enveloppes ;
le présentateur ouvre alors une autre enveloppe, qui est vide.
Le candidat peut alors choisir d’ouvrir l’enveloppe qu’il avait initialement désignée,
ou bien ouvrir la troisième enveloppe. Quel est son intérêt ?
corrigé succint :
(objet d’un jeu télévisé américain, ce « problème » avait dans les années 50 passionné le
grand public)
Initialement, le candidat a une chance sur trois de gagner. Cela reste évidemment le cas s’il
applique comme stratégie de ne rien changer.
S’il applique la stratégie de changer systématiquement d’enveloppe, il transforme les gains en
pertes et les pertes en gain, et par conséquent sa probabilité de gagner est de 2/3.
Ainsi, le candidat a intérêt à ouvrir systématiquement la troisième enveloppe.
5. Douze pièces
Dans une boîte il y a 12 pièces : uns vis et un écrou de diamètre d1 , une vis et un
écrou de diamètre d2 , . . ., une vis et un écrou de diamètre d6 .
(a) On choisit deux pièces au hasard. Calculer la probabilité :
i. De pouvoir reconstituer un boulon.
ii. Qu’il s’agisse d’un vis et d’un écrou.
(b) On choisit quatre pièces au hasard. Calculer la probabilité que l’on ait :
i. Deux boulons.
ii. Aucun boulon.
iii. Un seul boulon.
6
2
corrigé succint :
(a) Il y a donc 12
= 66 tirages possibles.
2
i. 6 tirages sont constitués de pièces de même diamètre, donc la probabilité est de
6/66 = 1/11.
ii. On peut, pour répondre directement, énumérer les couples correspondant aux quatre
situations possibles (4 vis, 3 vis et un écrou de diamètre différent, 3 écrous et une
vis de diamètre différent, 2 écrous et 2 vis de diamètres différents). C’est long. On
peut aussi répondre d’abord à la question suivante et terminer par une soustraction...
Dans tous les cas on doit trouver 16/33.
ii. Choisir un tirage constitué d’un vis et d’un écrou revient à choisir
une vis parmi 6
6
6
×
et un écrou parmi 6. La probabilité cherchée est ainsi 1 12 1 = 6/11.
iii. Choisir un tirage constitué d’une unique paire vis-écrou de même diamètre revient
à choisir un diamètre parmi 6, puis parmi les dix pièces restantes de choisir deux
pièces qui ne soient pas de même diamètre (soit 10 × 8/2 possibilités), donc la
6×5×8
probabilité cherchée est de
= 16/33.
495
2
(b) Le nombre de tirages possibles est de
12
4
/495 = 1/33.
= 495.
i. Choisir un tirage constitué de deux paires vis-écrou de même diamètre revient
à choisir deux diamètres distincts parmi 6. La probabilité cherchée est donc de
2