TD 1 : Rappels de probabilités : corrigé

mathématiques - S3 TD 1 : Rappels de probabilités : corrigé département Mesures Physiques - IUT1 - Grenoble
1. Les anniversaires communs
Quelle est la probabilité pour que deux des 25 étudiants d’un groupe du département
Mesures Physiques aient le même jour d’anniversaire?
Et pour une promo de 80 étudiants de deuxième année?
corrigé succint :
L’univers Ωétudié est l’ensemble des listes de 25 dates (jour et mois) de naissance chosies
parmi les 365 possibles (on ne prend pas en compte les 29 février...). Le cardinal de Ωest
donc 36525 .
L’événement Aétudié est le sous-ensemble constitué des listes dans lesquelle l’une des dates
revient au moins deux fois. Le cardinal de ¯ Aest donc facile à déterminer par l’arrangement
A25
365 =365!
(365 −25)! .p(¯
A)est donc égale à
365!
36525 ×340! =341 ×342 ×...×364 ×365 36525 , soit approximativement 0.431. Ainsi, p(A)
est proche de 0.569.
Remarque : l’exercice suppose que les dates de naissance soient équitablement réparties parmi
la population...ce n’est pas tout-à-fait vrai, mais l’ordre de grandeur des résultats reste vrai.
Si l’effectif est de 80, on trouve une quasi-certitude : p(¯ A)≃0,00008566.., donc p(A)≃1.
2. Deux lampes
Le responsable de l’entretien d’un immeuble doit remplacer deux lampes fluores-
centes dans un bureau.
Pour cela il descend au sous-sol chercher deux nouvelleslampes dans une boîte de 24
dont deux sont défectueuses, puis il remonte dans le bureau. Quelle est la probabilité
qu’il doive redescendre?
corrigé succint :
Le responsable devra redescendre si et seulement si il choisit au moins une lampe
défectueuse. On peut calculer plus facilement la probabilité que les deux lampes choisies
fonctionnent : le nombre de choix est 22
2=22 ×21
2= 231, alors que le nombre de choix
total est 24
2=24 ×23
2= 276.
La probabilité qu’à le responsable de devoir redescendre est donc de 1−231
276 =45 276 , soit
approximativement 0.163.
3. Deux empaqueteuses
Deux empaqueteuses fonctionnent indépendemment dans une usine. Pour une jour-
née donnée, la probabilité que l’empaqueteuse1 soit en panne est de 0,025, et de 0,02
pour l’empaqueteuse 2.
(a) Quelle est la probabilité pour qu’aucune ne fonctionne?
(b) Le technicien responsable de l’entretien mentionne qu’il y a plus de 9 chances
sur 10 pour que les deux empaqueteuses fonctionnent simultanément. A-t-il rai-
son?
corrigé succint :
Soit Al’événement "l’empaqueteuse 1 tombe en panne" et Bl’événement "l’empaqueteuse 2
tombe en panne". On a p(A) = 0.025 et p(B) = 0.02.
(a) L’événement "aucune empaqueteuse ne fonctionne" est A∩B.Aet Bsont indépendants,
donc p(A∩B) = p(A)×p(B) = 0.0005.
(b) L’événement "les deux empaqueteuses fonctionnent simultanément" est ¯ A∩¯ B, et donc
p(¯ A∩¯ B) = p(¯ A)p(¯ B) = (1 −p(A))(1 −p(B)) = 0.975 ×0.98 = 0.9555
4. Un jeu télévisé
On propose à un candidat trois enveloppes identiques; une seule d’entre-elles
contient un gros chèque. Le candidat commence par désigner une des enveloppes;
le présentateur ouvre alors une autre enveloppe, qui est vide.
Le candidat peut alors choisir d’ouvrir l’enveloppe qu’il avait initialement désignée,
ou bien ouvrir la troisième enveloppe. Quel est son intérêt?
corrigé succint :
(objet d’un jeu télévisé américain, ce « problème » avait dans les années 50 passionné le
grand public)
Initialement, le candidat a une chance sur trois de gagner. Cela reste évidemment le cas s’il
applique comme stratégie de ne rien changer.
S’il applique la stratégie de changer systématiquement d’enveloppe, il transforme les gains en
pertes et les pertes en gain, et par conséquent sa probabilité de gagner est de 2/3.
Ainsi, le candidat a intérêt à ouvrir systématiquement la troisième enveloppe.
5. Douze pièces
Dans une boîte il y a 12 pièces : uns vis et un écrou de diamètre d1, une vis et un
écrou de diamètre d2, ..., une vis et un écrou de diamètre d6.
(a) On choisit deux pièces au hasard. Calculer la probabilité :
i. De pouvoir reconstituer un boulon.
ii. Qu’il s’agisse d’un vis et d’un écrou.
(b) On choisit quatre pièces au hasard. Calculer la probabilité que l’on ait :
i. Deux boulons.
ii. Aucun boulon.
iii. Un seul boulon.

corrigé succint :
(a) Il y a donc 12
2= 66 tirages possibles.
i. 6 tirages sont constitués de pièces de même diamètre, donc la probabilité est de
6/66 = 1/11.
ii. Choisir un tirage constitué d’un vis et d’un écrou revient à choisir une vis parmi 6
et un écrou parmi 6. La probabilité cherchée est ainsi 6
1×6
1
12
2= 6/11.
(b) Le nombre de tirages possibles est de 12
4= 495.
i. Choisir un tirage constitué de deux paires vis-écrou de même diamètre revient
à choisir deux diamètres distincts parmi 6. La probabilité cherchée est donc de
6
2/495 = 1/33.
ii. On peut, pour répondre directement, énumérer les couples correspondant aux quatre
situations possibles (4 vis, 3 vis et un écrou de diamètre différent, 3 écrous et une
vis de diamètre différent, 2 écrous et 2 vis de diamètres différents). C’est long. On
peut aussi répondre d’abord à la question suivante et terminer par une soustraction...
Dans tous les cas on doit trouver 16/33.
iii. Choisir un tirage constitué d’une unique paire vis-écrou de même diamètre revient
à choisir un diamètre parmi 6, puis parmi les dix pièces restantes de choisir deux
pièces qui ne soient pas de même diamètre (soit 10 ×8/2possibilités), donc la
probabilité cherchée est de 6×5×8
495 = 16/33.
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