MAT231 -- Chapitre 1 : Notions fondamentales

MAT231, Chapitre 1
MAT231 – Chapitre 1 : Notions fondamentales
Université Joseph Fourier – 2008-2009
Pierre Bérard
Les transparents et les feuilles d’exercices sont disponibles sur
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~pberard
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MAT231, Chapitre 1
Plan du chapitre 1
Chapitre 1, Notions fondamentales
Relations d’ordre
Propriété fondamentale de l’ensemble N
Groupes, Anneaux, Corps
Espaces vectoriels
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Chapitre 1, Notions fondamentales
Nous supposerons connus les ensembles de nombres usuels,
IN, l’ensemble des entiers naturels,
IZ, l’ensemble des entiers (ou des entiers relatifs),
IQ, l’ensemble des nombres rationnels,
IR, l’ensemble des nombres réels,
IC, l’ensemble des nombres complexes.
Nous préciserons, si nécessaire, leurs propriétés au fur et à mesure
des besoins.
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Chapitre 1, Notions fondamentales
Relations d’ordre
Relations d’ordre
Définition
Une relation binaire ≺sur un ensemble non vide Aest une relation
d’ordre si elle est
1. Réflexive : pour tout a∈A,a≺a;
2. Anti-symétrique : pour tous a,b∈A, si (a≺bet b≺a) alors
a=b;
3. Transitive : pour tous a,b,c∈A, si (a≺bet b≺c) alors
a≺c.
On dit alors que l’ensemble (A,≺)est un ensemble ordonné.
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Chapitre 1, Notions fondamentales
Relations d’ordre
Exemples
1. Les ensembles (N,≤)et (Z,≤)sont ordonnés.
2. Soit Aun ensemble. Soit P(A)l’ensemble des parties de A.
L’ensemble (P(A),⊂)est un ensemble ordonné (⊂désigne la
relation d’inclusion).
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Chapitre 1, Notions fondamentales
Relations d’ordre
Définition
Soit (A,≺)un ensemble ordonné et soit B⊂Aune partie non vide
de A. On dit que a∈Aest un majorant de Bsi, pour tout x∈B,
on a x≺a. On dit que a∈Aest le plus grand élément de Bsi a
est un majorant de Bet si a∈B.
De même, on dit que a∈Aest un minorant de Bsi, pour tout
x∈B, on a a≺x. On dit que a∈Aest le plus petit élément de B
si aest un minorant de Bet si a∈B.
Définition
Un ensemble ordonné (A,≺)est dit totalement ordonné si, pour
tous a,b∈A, on a a≺bou b≺a.
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Chapitre 1, Notions fondamentales
Propriété fondamentale de l’ensemble N
Propriété fondamentale de l’ensemble N
Théorème [admis]
L’ensemble des entiers naturels possède les propriétés suivantes.
1. Toute partie non vide de (N,≤)admet un plus petit élément.
2. Toute partie non vide majorée de (N,≤)admet un plus grand
élément.
3. L’ensemble (N,≤)n’admet pas de plus grand élément.
Notations. On note sl’application de Ndans Ndéfinie par
s(n) := n+1 pour tout n∈N.
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Chapitre 1, Notions fondamentales
Propriété fondamentale de l’ensemble N
Théorème
Soit Aune partie non vide de Net soit a:= min(A)son plus petit
élément. Si s(A)⊂Aalors A={n∈N|n≥a}. En particulier, si
0∈Aet s(A)⊂Aalors A=N.
Raisonnement par récurrence
Soit Pune propriété définie sur l’ensemble {n∈N|n≥a}. Si
P(a)est vraie et si, pour tout n≥a,P(n)vraie implique P(s(n)),
c’est-à-dire P(n+1), vraie , alors P(n)est vraie pour tout n≥a.
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Chapitre 1, Notions fondamentales
Groupes, Anneaux, Corps
Groupes, Anneaux, Corps
Soit (G, ?)un ensemble non vide, muni d’une loi de composition
interne notée ?.
Définition
On dit que (G, ?)est un groupe si la loi ?possède les propriétés
suivantes.
IAssociativité : pour tous x,y,z∈G, on a
x?(y?z) = (x?y)?z.
IÉlément neutre : il existe un élément eG∈Gtel que, pour
tout x∈G, on a x?eG=eG?x=x.
IInverse : pour tout x∈G, il existe un élément y∈G, appelé
inverse de x, tel que x?y=y?x=eG.
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Groupes, Anneaux, Corps
Définition
On dit que le groupe est commutatif, si la loi ?vérifie également
l’axiome de
Commutativité : pour tous x,y∈G, on a x?y=y?x.
Exemples
IL’ensemble (Z,+) est un groupe commutatif.
IL’ensemble Z4:= {ˆ
0,ˆ 1,ˆ 2,ˆ 3}muni de l’opération ˆ +définie
dans le tableau ci-après est un groupe commutatif.
ˆ
+ˆ 0ˆ 1ˆ 2ˆ 3
ˆ
0ˆ 0ˆ 1ˆ 2ˆ 3
ˆ
1ˆ 1ˆ 2ˆ 3ˆ 0
ˆ
2ˆ 2ˆ 3ˆ 0ˆ 1
ˆ
3ˆ 3ˆ 0ˆ 1ˆ 2
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