MAT231 -- Chapitre 1 : Notions fondamentales

MAT231, Chapitre 1
MAT231 – Chapitre 1 : Notions fondamentales
Université Joseph Fourier – 2008-2009
Pierre Bérard
Les transparents et les feuilles d’exercices sont disponibles sur
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~pberard
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MAT231, Chapitre 1
Plan du chapitre 1
Chapitre 1, Notions fondamentales
Relations d’ordre
Propriété fondamentale de l’ensemble N
Groupes, Anneaux, Corps
Espaces vectoriels
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Chapitre 1,
Notions fondamentales
Nous supposerons connus les ensembles de nombres usuels,
I
N, l’ensemble des entiers naturels,
I
Z, l’ensemble des entiers (ou des entiers relatifs),
I
Q, l’ensemble des nombres rationnels,
I
R, l’ensemble des nombres réels,
I
C, l’ensemble des nombres complexes.
Nous préciserons, si nécessaire, leurs propriétés au fur et à mesure
des besoins.
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Chapitre 1,
Notions fondamentales
Relations d’ordre
Relations d’ordre
Définition
Une relation binaire ≺ sur un ensemble non vide A est une relation
d’ordre si elle est
1. Réflexive : pour tout a ∈ A, a ≺ a ;
2. Anti-symétrique : pour tous a, b ∈ A, si (a ≺ b et b ≺ a) alors
a = b;
3. Transitive : pour tous a, b, c ∈ A, si (a ≺ b et b ≺ c) alors
a ≺ c.
On dit alors que l’ensemble (A, ≺) est un ensemble ordonné.
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Chapitre 1,
Notions fondamentales
Relations d’ordre
Exemples
1. Les ensembles (N, ≤) et (Z, ≤) sont ordonnés.
2. Soit A un ensemble. Soit P(A) l’ensemble des parties de A.
L’ensemble (P(A), ⊂) est un ensemble ordonné (⊂ désigne la
relation d’inclusion).
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Chapitre 1,
Notions fondamentales
Relations d’ordre
Définition
Soit (A, ≺) un ensemble ordonné et soit B ⊂ A une partie non vide
de A. On dit que a ∈ A est un majorant de B si, pour tout x ∈ B,
on a x ≺ a. On dit que a ∈ A est le plus grand élément de B si a
est un majorant de B et si a ∈ B.
De même, on dit que a ∈ A est un minorant de B si, pour tout
x ∈ B, on a a ≺ x . On dit que a ∈ A est le plus petit élément de B
si a est un minorant de B et si a ∈ B.
Définition
Un ensemble ordonné (A, ≺) est dit totalement ordonné si, pour
tous a, b ∈ A, on a a ≺ b ou b ≺ a.
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Chapitre 1,
Notions fondamentales
Propriété fondamentale de l’ensemble N
Propriété fondamentale de l’ensemble N
Théorème [admis]
L’ensemble des entiers naturels possède les propriétés suivantes.
1. Toute partie non vide de (N, ≤) admet un plus petit élément.
2. Toute partie non vide majorée de (N, ≤) admet un plus grand
élément.
3. L’ensemble (N, ≤) n’admet pas de plus grand élément.
Notations. On note s l’application de N dans N définie par
s(n) := n + 1 pour tout n ∈ N.
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Chapitre 1,
Notions fondamentales
Propriété fondamentale de l’ensemble N
Théorème
Soit A une partie non vide de N et soit a := min(A) son plus petit
élément. Si s(A) ⊂ A alors A = {n ∈ N | n ≥ a}. En particulier, si
0 ∈ A et s(A) ⊂ A alors A = N.
Raisonnement par récurrence
Soit P une propriété définie sur l’ensemble {n ∈ N | n ≥ a}. Si
P(a) est vraie et si, pour tout
n ≥ a, P(n) vraie implique P(s(n)),
c’est-à-dire P(n + 1), vraie , alors P(n) est vraie pour tout n ≥ a.
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Chapitre 1,
Notions fondamentales
Groupes, Anneaux, Corps
Groupes, Anneaux, Corps
Soit (G, ?) un ensemble non vide, muni d’une loi de composition
interne notée ?.
Définition
On dit que (G, ?) est un groupe si la loi ? possède les propriétés
suivantes.
I
Associativité : pour tous x , y , z ∈ G, on a
x ? (y ? z) = (x ? y ) ? z.
I
Élément neutre : il existe un élément eG ∈ G tel que, pour
tout x ∈ G, on a x ? eG = eG ? x = x .
I
Inverse : pour tout x ∈ G, il existe un élément y ∈ G, appelé
inverse de x , tel que x ? y = y ? x = eG .
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Notions fondamentales
Groupes, Anneaux, Corps
Définition
On dit que le groupe est commutatif, si la loi ? vérifie également
l’axiome de
Commutativité : pour tous x , y ∈ G, on a x ? y = y ? x .
Exemples
I
L’ensemble (Z, +) est un groupe commutatif.
I
L’ensemble Z4 := {0̂, 1̂, 2̂, 3̂} muni de l’opération +̂ définie
dans le tableau ci-après est un groupe commutatif.
+̂
0̂
1̂
2̂
3̂
0̂
0̂
1̂
2̂
3̂
1̂
1̂
2̂
3̂
0̂
2̂
2̂
3̂
0̂
1̂
3̂
3̂
0̂
1̂
2̂
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Chapitre 1,
Notions fondamentales
Groupes, Anneaux, Corps
Définition
Un anneau est un ensemble non vide (A, +, ×) muni de deux lois
de composition interne vérifiant,
I
(A, +) est un groupe commutatif (d’élément neutre 0A ),
I
la multiplication × est associative et elle admet un élément
neutre 1A ,
I
la multiplication est distributive par rapport à l’addition,
c’est-à-dire, pour tous a, y , z ∈ A, on a
a × (y + z) = a × y + a × z et (y + z) × a = y × a + z × a.
On dit que l’anneau (A, +, ×) est commutatif si la multiplication
est commutative.
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Notions fondamentales
Groupes, Anneaux, Corps
Définition
On dit que l’anneau (A, +, ×) est intègre s’il est commutatif et si
a, b ∈ A et a × b = 0 impliquent a = 0 ou b = 0. Si les éléments
a, b ∈ A vérifient a 6= 0, b 6= 0, et a × b = 0, on dit que ce sont des
diviseurs de zéro.
Exemples, I
I
Les ensembles (Z, +, ·) et (Q, +, ·) sont des anneaux
commutatifs intègres.
I
L’ensemble M2 (R) des matrices 2 × 2 à coefficients réels,
muni de l’addition et de la multiplication usuelles des
matrices, est un anneau. Cet anneau n’est pas commutatif.
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Notions fondamentales
Groupes, Anneaux, Corps
Exemples, II
I
ˆ muni des opérations +̂ et ×
ˆ définies
L’ensemble (Z4 , +̂, ×),
dans les tableaux suivants, est un anneau commutatif qui
admet des diviseurs de zéro.
+̂
0̂
1̂
2̂
3̂
0̂
0̂
1̂
2̂
3̂
1̂
1̂
2̂
3̂
0̂
2̂
2̂
3̂
0̂
1̂
3̂
3̂
0̂
1̂
2̂
ˆ
×
0̂
1̂
2̂
3̂
0̂
0̂
0̂
0̂
0̂
1̂
0̂
1̂
2̂
3̂
2̂
0̂
2̂
0̂
2̂
3̂
0̂
3̂
2̂
1̂
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Notions fondamentales
Groupes, Anneaux, Corps
Corps
Définition
Un corps est un anneau (K , +, ×) non réduit à {0} (l’élément
neutre de +) et tel que tout élément de K \ {0} soit inversible
pour la multiplication. On dit que le corps (K , +, ×) est
commutatif si la multiplication est commutative.
Exemples, I
I
L’ensemble (Z, +, ×) des entiers est un anneau commutatif
intègre. Ce n’est pas un corps (ses seuls éléments inversibles
pour la multiplication sont 1 et −1).
I
Les ensembles Q, R et C – des nombres rationnels, réels,
complexes, munis des opérations usuelles – sont des corps
commutatifs.
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Notions fondamentales
Groupes, Anneaux, Corps
Exemples, II
L’ensemble Z3 := {0̂, 1̂, 2̂}, muni des opérations définies dans les
tableaux suivants, est un corps commutatif.
+̂
0̂
1̂
2̂
0̂
0̂
1̂
2̂
1̂
1̂
2̂
0̂
2̂
2̂
0̂
1̂
ˆ
×
0̂
1̂
2̂
0̂
0̂
0̂
0̂
1̂
0̂
1̂
2̂
2̂
0̂
2̂
1̂
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Notions fondamentales
Groupes, Anneaux, Corps
Notations
Dans la suite du cours, A désignera un anneau commutatif
(A, +, ·) et K un corps commutatif (K, +, ·). On notera 0
l’élément neutre de l’addition et 1 celui de la multiplication.
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Notions fondamentales
Espaces vectoriels
Espaces vectoriels
Définition
Soit K un corps commutatif. Un espace vectoriel sur le corps K est
la donnée d’un groupe commutatif (E , +), dont l’élément neutre
est noté 0E , et d’une action de K sur E , K × E 3 (λ, x ) → E ,
(λ, x ) 7→ λ · x (ou plus simplement λx ) telle que
I
pour tous α, β ∈ K et x ∈ E , (α + β) · x = α · x + β · x ,
I
pour tous α ∈ K et x , y ∈ E , α · (x + y ) = α · x + α · y ,
I
pour tous α, β ∈ K et x ∈ E , (αβ) · x = α · (β · x ),
I
pour tout x ∈ E , 1K · x = x .
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Notions fondamentales
Espaces vectoriels
Exemples
I
L’ensemble Rn , muni des opérations usuelles, l’addition des
vecteurs et la multiplication des vecteurs par un scalaire, est
un espace vectoriel sur R.
I
L’ensemble Cn , muni des opérations usuelles, l’addition des
vecteurs et la multiplication des vecteurs par un scalaire, est
un espace vectoriel sur C.
I
L’ensemble Mm,n (R) des matrices à m lignes et n colonnes,
muni des opérations usuelles, addition des matrices et
multiplication d’une matrice par un scalaire, est un espace
vectoriel sur R.
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Notions fondamentales
Espaces vectoriels
Définition
On appelle combinaison linéaire de vecteurs de E toute somme
(finie) de la forme α1 u1 + · · · + αk uk où les αj sont des éléments
de K et où les uj sont des éléments de E .
Définition
On dit qu’une famille {uj }j∈I de vecteurs de E est une famille
génératrice si tout élément de E peut s’écrire comme combinaison
linéaire (finie) d’éléments de la famille {uj }j∈I .
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Notions fondamentales
Espaces vectoriels
Définition
On dit qu’une famille {uj }j∈I de vecteurs de E est une famille libre
P
si, pour tout sous-ensemble fini J ⊂ I, l’égalité j∈J αj uj = 0
implique que αj = 0 pour tout j ∈ J .
Définition
On dit qu’une famille de vecteurs de E est une base de E si elle est
libre et génératrice.
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Notions fondamentales
Espaces vectoriels
Exemples
I
La famille e1 := (1, 0, . . . , 0), . . . , en := (0, . . . , 0, 1) est une
famille libre et génératrice de Rn . C’est une base de Rn .
I
La famille {1, X , X 2 , . . .} est une base de l’espace vectoriel sur
C[X ] des polynômes à coefficients complexes.
I
La famille {e ikx }k∈Z est une famille libre dans l’espace
vectoriel sur C des fonctions continues de R dans C. Elle n’est
pas génératrice.
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Notions fondamentales
Espaces vectoriels
Définition
Soient E , F deux espaces vectoriels sur le corps K. Une application
linéaire u de E dans F est une application u : E → F qui vérifie
1. Pour tous x , y ∈ E , on a u(x + y ) = u(x ) + u(y ).
2. Pour tout α ∈ K et pour tout x ∈ E , on a u(αx ) = αu(x ).
Notation
On note L(E , F ) l’ensemble des applications linéaires de E dans F ,
muni des opérations suivantes,
1. Addition. Pour tous u, v ∈ L(E , F ), l’application u + v est
définie par, [pour tout x ∈ E , (u + v )(x ) := u(x ) + v (x ).]
2. Action de K. Pour tout α ∈ K et pour tout u ∈ L(E , F ),
l’application αu est définie par,
[pour tout x ∈ E , (αu)(x ) := αu(x ).]
On note LK (E , F ) quand on veut spécifier le corps.
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Notions fondamentales
Espaces vectoriels
Proposition
Soient E , F deux espaces vectoriels sur K. Alors, l’ensemble
L(E , F ) est un espace vectoriel sur K.
Notations et Définitions
L’ensemble L(E , E ), noté L(E ), est l’ensemble des
endomorphismes de E . L’ensemble L(E , K), noté E ∗ , est
l’ensemble des formes linéaires sur E . On l’appelle l’espace dual de
l’espace E .
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Espaces vectoriels
Version Septembre 2008
mat231-chap1-fondamentaux-080902.tex (2 septembre
2008)
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