STIA 3 MISE A NIVEAU MATHEMATIQUES Recueil d`exercices

STIA 3
MISE A NIVEAU
MATHEMATIQUES
Recueil d’exercices

CHAPITRE 1 : Généralités sur les fonctions
Exercice 1.1
Déterminer l’ensemble de définition des fonctions suivantes :
Exercice 1.2
Etudier la parité des fonctions suivantes :
Exercice 1.3
On considère un cercle C de centre O et de rayon 1. Soit I un point du cercle C et M un point
du segment [O ;I]. La perpendiculaire à la droite (OI) passant par M coupe le cercle C en A et
D. Construire les points C et B, symétriques respectifs des points A et D par rapport à O. On
note x=OM et f(x) l’aire du rectangle ABCD.
1/ Quel est l’ensemble de définition de la fonction f ?
2/ Donner l’expression de f(x)
3/ Pour quelle valeur de x l’aire du rectangle ABCD est-elle maximale ? Quel est ce
maximum ?
Exercice 1.4
La distance Paris-Reims est de 155 km par le rail. Le train de marchandises Paris-Reims
démarre de la gare de l'Est à 8h 30 min et roule à la vitesse moyenne de 60 km/h. Un express
part de Reims à 9h15 et roule à la vitesse moyenne de 90 km/h. À quelle heure et à quelle
distance de Paris les trains se croiseront-ils?
Exercice 1.5
On cherche à rénover une pièce de 4,20 m × 3,50 m dont la hauteur sous plafond est de 2,60
m. Les rouleaux de papier choisis pour tapisser le mur ont une longueur de 11,50 m et une
largeur de 50 cm. Chaque rouleau coûte 3,90 €. La peinture destinée à repeindre le plafond
coûte 5,50 € le pot. Chaque pot permet de peindre une surface de 8 m². La colle nécessaire
pour fixer le papier peint coûte 1,15 €.
1. Combien de rouleaux faut-il acheter ? (on néglige les chutes dues aux portes et fenêtres)
2. Quel est le coût des fournitures pour cette rénovation?

CHAPITRE 2 : Rappels de trigonométrie
Exercice 2.1
Simplifier :
cos (2 - x) - cos (2 + x) - sin ( + x) + sin ( - x)
Exercice 2.2
Déterminer en fonction de cos x et sin x l'expression de :
sin (x + 4)
Exercice 2.3
Montrer que,
x R
,
cos (x) + sin (x) = 2 sin (4 + x) = 2 cos (4 - x)
Exercice 2.4
Résoudre dans R les équations suivantes (donner les valeurs des solutions
appartenant à - ; + ] et placer les sur le cercle trigonométrique).
(1)
sin (2 x) = sin ( 4 - 3 x)
(2)
cos (x) = cos (3 - 3 x)
(3)
tan (x) = tan (2 + 2 x)

CHAPITRE 3 : Limites et continuité
Exercice 3.1
A l'aide des opérations sur les limites, déterminer les limites suivantes :
lim
x - x (x - 3)
lim
x - - x2 (x + 2) - 1
lim
x - x3 (1 - 1
x + 4 x3)
lim
x - - x3 x + 3
x
Exercice 3.2
Déterminer les limites en + ∞ et en - ∞ des fonctions suivantes définies sur lR :
g (x) = x2 +1 - 1
h (x) = x
2 + 3 x2
k (x) = 9 x3 + 1
x2 - 4 x + 5
Exercice 3.3
Calculer les limites suivantes :
lim
x - x2 + 4 x + 3 + x
f (x) = 2 x + sin x
x
lim
x 3 x + 6 - 3
x - 3
Exercice 3.4
lim
x 2 x2 -4
x - 2
lim
x + 2 x + 5
3 x - 2
lim
x + x + 5 - x - 3
lim
x 1 1
x - 1 1 x + 3 - 2 3 x + 5
lim
x 1 1
1 - x - 2 1 - x2
lim
x 0
x
1 + x2 - 2
Exercice 3.5
Calculer la limite de
x3 - 1
x2 - 1
quand
x 1
.
Calculer la limite en + ∞ des fonctions définies ci-dessous :
f (x) = 2 x + sin x
x
g (x) = x + 5 - x
x2 - x
h (x) = x2 + 4 x + 3 - x
Calculer la limite de
x2 + 2 x + 5 - x
quand
x -
et quand
x +
.
Exercice 3.6
Calculer la limite suivante de
4/- cos - sin
xxx
quand
4
x
Calculer la limite de
x3 - 1
x2 - 1
quand
x 1
.
Calculer les limites des fonctions suivantes quand
x 0
:
h (x) = x2 sin (1
x)
sin x
x
x
xf sin = )(
g (x) = sin 2 x
sin 3 x

CHAPITRE 4 : Dérivées et primitives
Exercice 4.1
Déterminer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :
3
3x)-(4 = )( xf
324 )1(x = )( xxg
32 3x)-(4 1)-(2x = )( xh
Exercice 4.2
Soit la fonction définie par . Déterminez son domaine de définition puis calculez
sa dérivée.
En déduire les domaines et les dérivées des fonctions :
Exercice 4.3
Soit le polynôme : Déterminer a, b et c pour avoir
. Montrer que le polynôme P se factorise par (x-2)3 et résoudre
l’équation P(x)=0.
Exercice 4.4
Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de chacune des
fonctions ci-dessous au point d’abscisse a spécifié.
Exercice 4.5
Soit
f
la fonction définie sur
- 1 ; +
par :
223 )1 + ()1- 2 - 3 + 2( = )( xxxxxf
a) Montrer que
x
- 1 ; +
:
2
)1 + (2 +
1 + 2
- 1 - 2 = )( x
x
xxf
b) Calculer les limites de
f
en – 1 et en + ∞.
c) Soit D la droite d'équation y = 2 x –1. Montrer que D est asymptote à la courbe de
représentative de
f
notée Cf et étudier la position de D par rapport à Cf.
d) Déterminer f' et f" et montrer que
x
- 1 ; +
32 )1 + ()4 + 3 + ( 2 = )( ' xxxxxf
et étudier les variations de la fonction
f
.
e) Montrer que la fonction
f
admet un minimum que l'on précisera et que l'équation
f (x) = 0 admet exactement deux solutions dans l'intervalle
- 1 ; +
.
Exercice 4.6
Pour chaque fonction ci-dessous, déterminer le domaine de définition et calculer la
dérivée.
f (x) = ln x2 + 1
g (x) = 1 + x2 cos 2x
h (x) = cos ( x sin x )
Exercice 4.7
Etudier la fonction
f (x) = x
x + 1
. Tracer sa courbe représentative.
Montrer que pour tout
x > 0
:
x - x2
2 < f (x) < x
.