Semaine 4 - Étienne Thibierge

Colles semaine 4, sujet A
Langevin–Wallon, PT 2016-2017
Hydrostatique et changements d’état
Questions de cours
1 - Représenter l’allure du diagramme des frigoristes d’un corps pur. Représenter l’allure d’une isotherme et d’une
isobare dans ce diagramme.
2 - Établir la relation de la statique des fluides.
Éléments de correction de l’exercice 0 :
Frigoristes = pression-enthalpie massique. Basse enthalpie : liquide, moyenne enthalpie : L+G, haute enthalpie :
gaz.
Exercice 1 : Formation de la neige artificielle
[oral CCP]
◦
La neige artificielle est obtenue en pulvérisant de fines gouttes d’eau liquide à T1 = 10 C dans l’air ambiant
à Ta = −15 ◦C. On suppose que cette goutte reçoit de la part de l’air extérieur, pendant la durée dt, un transfert
thermique δQ = h [Ta − T (t)] s dt où s est la surface de la goutte.
Données :
. masse volumique de l’eau liquide ρ = 1,00 · 103 kg · m−3 ;
. capacité thermique massique à pression constante cP = 4,18 · 103 J · kg−1 ;
. enthalpie massique de fusion de la glace `f = 335 kJ · kg−1 .
1 - Dans un premier temps la goutte d’eau supposée sphérique de rayon R = 0,20 mm se refroidit en restant liquide.
Établir l’équation différentielle vérifiée par T (t).
2 - En déduire la durée t1 au bout de laquelle T (t) est égale à T0 = −5,0 ◦C. Faire l’application numérique avec
h = 65 W · m−2 · K−1 .
3 - Lorsque la goutte atteint la température T0 = −5,0 ◦C, la surfusion cesse : la goutte est partiellement solidifiée et sa
température devient égale à 0,0 ◦C. Calculer la fraction x de liquide restant à solidifier en supposant la transformation
très rapide et adiabatique.
4 - Au bout de combien de temps t2 la goutte est-elle complètement solidifiée ?
Éléments de correction de l’exercice 1 :
Voir site perso de Matthieu Rigaut, exercice 5 du TD 5 de thermodynamique PCSI programme 2002, http:
//www.matthieurigaut.net/public/sup/thd/cotdthd05.pdf
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Colles semaine 4, sujet A : Hydrostatique et changements d’état
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Étienne Thibierge, 13 octobre 2016, www.etienne-thibierge.fr
Colles semaine 4, sujet B
Langevin–Wallon, PT 2016-2017
Hydrostatique et changements d’état
Questions de cours
1 - Représenter l’allure du diagramme de Clapeyron d’un corps pur. Représenter l’allure d’une isotherme et d’une
isobare dans ce diagramme.
2 - Énoncer les identités thermodynamiques pour un système fermé sans réaction chimique.
Éléments de correction de l’exercice 0 :
La « coubre de bulle » de la figure est plutôt appelée « courbe d’ébullition ».
Exercice 1 : Atmosphère isotherme
[oral banque PT]
On assimile l’air à un gaz parfait placé dans un champ de pesanteur constant. L’air est composé de 78% de
diazote, 21% de dioxygène et 1 % d’argon.
Données :
. Masses molaires : M (Ar) = 18 g · mol−1 , M (N2 ) = 28 g · mol−1 et M (O2 ) = 32 g · mol−1 ;
. Volume molaire de l’air dans les CNTP : 22,4 L · mol−1 .
1 - À partir des données, retrouver la valeur numérique de la constante des gaz parfaits R.
2 - Calculer la masse molaire de l’air.
3 - Établir l’équation différentielle vérifiée par la pression dans l’atmosphère dans le modèle isotherme.
4 - La résoudre et calculer la pression au sommet de l’Everest (8848 m) en fonction de la pression atmosphérique au
niveau de la mer. Commenter.
Éléments de correction de l’exercice 1 :
1
CNTP = 1 bar et 0 ◦C. D’après la loi des GP,
R=
P Vm
= 8,31 J · mol−1 · K−1 .
T
2
Mair = 0,78 M (N2 ) + 0,21 M (O2 ) + 0,01 M (Ar) = 29 g · mol−1 .
3
Loi de l’hydrostatique et des gaz parfaits :
dP
Mg
+
P =0
dz
RT0
4
Solution exponentielle décroissante. PEverest ' 0,33Patm . Ordre de grandeur correct.
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Colles semaine 4, sujet B : Hydrostatique et changements d’état
Langevin–Wallon, PT 2016-2017
Exercice 2 : De la glace qui fond
Dans un calorimètre aux parois calorifugées et de capacité thermique négligeable, on introduit une masse mliq =
1,00 kg d’eau liquide initialement à T1 = 20 ◦C. On y ajoute une masse mgl = 0,50 kg de glace à T2 = 0 ◦C. On
suppose que la transformation se fait à pression constante Patm = 1 bar.
Données : enthalpie massique de fusion de l’eau ∆fus h = 3,3 · 102 kJ · kg−1 et capacité thermique massique de l’eau
liquide c = 4,2 kJ · K−1 · kg−1 .
1 - On suppose qu’à l’état final l’eau est entièrement sous forme liquide. Déterminer sa température TF . Conclure.
2 - On suppose maintenant qu’à l’état final l’eau est présente sous forme d’un mélange solide et liquide. Que peut-on
dire sans calcul sur l’état final ? Déterminer la composition du mélange, c’est-à-dire la masse de chaque phase.
Éléments de correction de l’exercice 2 :
L’exercice est nettement plus rédigé que nécessaire.
Comme le calorimètre est calorifugé et que les systèmes n’y reçoivent aucun travail, alors d’après le premier
principe,
∆H = W6=p + Q = 0
Les transformations dans le calorimètre sont donc isenthalpiques. Dans tout l’exercice, le système considéré est
l’ensemble de l’eau contenue dans le calorimètre. Il s’agit bien d’un système fermé (masse constante), mais il n’est
pas homogène.
1 Raisonnons à partir de la transformation (auxilliaire) décrite figure 1. Elle a même état initial et même état final
que la transformation réelle, donc comme l’enthalpie est une fonction d’état, sa variation est la même au cours des
deux transformations.
liquide : mliq , T1
solide : mgl , T2 = Tfus
∆H = 0
∆H1
liquide : mliq , T1
liquide : mgl , T2 = Tfus
liquide : mgl + mliq , TF
∆H3
∆H2
liquide : mliq , T1
liquide : mgl , TF
Figure 1 – Schéma synoptique de la transformation. Hypothèse où l’état final est complètement liquide.
Calculons les variations d’enthalpie étape par étape :
. Étape 1 : la totalité de la glace fond tout en restant à la température de fusion T1 = 0 ◦C, le reste du système ne
subit aucune transformation, donc
∆H1 = mgl ∆fus h ;
. Étape 2 : la masse d’eau juste fondue, liquide, passe de T2 à TF , le reste du système ne subit aucune transformation,
donc
∆H2 = mgl c (TF − T2 ) ;
. Étape 3 : l’eau initialement liquide passe de T1 à TF , le reste du système ne subit aucune transformation, donc
∆H3 = mliq c (TF − T1 ) .
Ainsi, le bilan enthalpique global s’écrit
∆H = ∆H1 + ∆H2 + ∆H3
et donc
0 = mgl ∆fus h + mgl c (TF − T2 ) + mliq c (TF − T1 ) .
On en déduit alors
TF =
mgl c T2 + mliq c T1 − mgl ∆fus h
= 260 K = −13 ◦C .
(mgl + mliq )c
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Colles semaine 4, sujet B : Hydrostatique et changements d’état
Langevin–Wallon, PT 2016-2017
Il y a donc une contradiction : l’eau est supposée liquide, et pourtant à la température trouvée elle devrait être solide.
L’hypothèse d’eau complètement liquide est donc fausse.
2 Si l’eau est présente à la fois sous forme liquide et solide, alors comme la transformation est monobare à pression
atmosphérique, on connaît la température finale qui est l’unique température à laquelle une coexistence stable est
possible,
TF = Tfus = 0 ◦C .
La transformation auxilliaire sur laquelle on raisonne pour exprimer les variations d’enthalpie se compose de deux
étapes, indiquées figure 2.
. Étape 1 : la totalité de l’eau liquide refroidit jusqu’à la température Tfus , le reste du système ne subit aucune
transformation, donc
∆H1 = mliq c (Tfus − T1 ) ;
. Étape 2 : une fraction x d’eau solide (masse xmgl ) passe à l’état liquide, le reste du système ne subit aucune
transformation, donc
∆H2 = x mgl ∆fus h
liquide : mliq , T1
solide : mgl , T2 = Tfus
∆H = 0
liquide : mliq + xmgl , T2 = Tfus
solide : (1 − x)mgl , T2 = Tfus
∆H1
∆H2
liquide : mliq , T2 = Tfus
solide : mgl , T2 = Tfus
Figure 2 – Schéma synoptique de la transformation. Hypothèse où l’état final est une coexistence entre solide et
liquide.
Le bilan enthalpique global s’écrit donc
∆H = 0 = mliq c (Tfus − T1 ) + x mgl ∆fus H
soit
x=
mliq c (T1 − Tfus )
= 0,51 .
mgl ∆fus h
Cette valeur est physiquement acceptable : on en déduit que l’hypothèse est validée. Ainsi, dans l’état final, le
calorimètre contient 1,25 kg d’eau liquide et 0,25 kg de glace, le tout à 0 ◦C.
Une hypothèse fausse se traduirait par une valeur de x négative ou supérieure à 1.
Attention à la cohérence physique des hypothèses lors de la construction de la transformation auxilliaire :
si l’eau liquide refroidit, alors pour conserver l’enthalpie il faut nécessairement que de la glace fonde. Dans
le cas où vous auriez supposé que l’eau refroidissait puis gelait, vous auriez abouti à une contradiction.
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Colles semaine 4, sujet B : Hydrostatique et changements d’état
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Étienne Thibierge, 13 octobre 2016, www.etienne-thibierge.fr
Colles semaine 4, sujet C
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Hydrostatique et changements d’état
Questions de cours
1 - Représenter l’allure du diagramme entropique d’un corps pur. Représenter l’allure d’une isotherme et d’une
isobare dans ce diagramme.
2 - Établir les conditions d’évolution et d’équilibre d’un corps pur sous deux phases.
Éléments de correction de l’exercice 0 :
Exercice 1 : Atmosphère adiabatique et polytropique
Cet exercice propose d’envisager d’autres modèles d’atmosphère
que celui de l’atmosphère isotherme, qui ne permet évidemment pas
d’expliquer les variations de températures observées, récapitulées
sur la courbe ci-contre. On se limitera à la troposphère, c’est-à-dire
la couche occupant les douze premiers kilomètres de l’atmosphère
en partant de la surface de la Terre. On rappelle que le coefficient
isentropique γ de l’air modélisé comme un gaz parfait diatomique
est égal à 7/5. Sa masse molaire vaut 29,0 g · mol−1 .
On appelle gradient de température δ =
dT
.
dz
1 - On rappelle que pour une transformation adiabatique réversible d’un gaz parfait la loi de Laplace indique que le
produit P V γ est constant. Déterminer deux exposants x et y tels que le produit T x P y soit constant.
2 - En déduire la relation donnant dT /T en fonction de dP/P et γ.
3 - Établir l’expression du gradient de température adiabatique δadiab en fonction de γ, Mair , g et R. Donner sa
valeur pour l’air.
4 - À partir de la figure, donner la valeur de la température à 10 km d’altitude ainsi que celle du gradient de
température réel δréel . Commenter la qualité du modèle, à comparer notamment au modèle d’atmosphère isotherme.
5 - Les transformations réelles au sein de l’atmosphère ne sont en fait ni isothermes ni adiabatiques, mais entre les
deux. On les appelle polytropiques et elles vérifient P V q = cte où le coefficient polytropique q est supérieur à 1.
Déterminer sa valeur à partir de la figure.
6 - En déduire le profil de température T (z).
7 - Même question pour le profil de pression P (z).
8 - Calculer numériquement T et P à 10 km d’altitude.
Éléments de correction de l’exercice 1 :
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Colles semaine 4, sujet C : Hydrostatique et changements d’état
1
P 1−γ T γ = cte.
2
On prend le logarithme et on différencie :
3
On identifie la relation de la statique des fluides :
dP = −ρgdz = −
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dT
γ − 1 dP
=
T
γ P
MP
P γ
dz ≡
dT
RT
T γ−1
δad =
d’où
M g(1 − γ)
= −10 · 10−3 K · m−1 .
Rγ
4
T = −45 ◦C soit δréel = −6 · 10−3 K · m−1 . Le modèle adiabatique est pas génial non plus.
5
q joue le rôle de γ dans les calculs, donc
δréel =
M g(1 − q)
Rq
6
δ = cte donc tout simplement T = T0 − δz.
7
Même analogie q ↔ γ, d’où
P (z) = P0
8
T
T0
q=
d’où
q/(q−1)
= P0
Mg
' 1,2 .
M g + Rδréel
δz
1−
T0
q/(q−1)
En prenant T0 = 288 K on trouve T = 231 K = −42 ◦C et P = 0,27 bar.
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