Topologie. - Mathematiques pour les PLP.

Topologie.
I. Pourquoi la topologie.
Comme tout concept math´ematique la topologie sert `a codifier de fa¸con parfaite des
notions qui restent en g´en´eral intuitives dans la vie courante. Quand peut-on dire qu’un ˆetre
math´ematique, par exemple un point ou une fonction, est plus proche qu’un autre d’une
mˆeme valeur limite ? Voila un beau sujet de litt´erature. Quand peut-on dire ˆetre plus proche
que son voisin du point infini ? Ici on pressent d´ej`a la philosophie.
Une des premi`eres notions de la topologie sera celle de voisinage, quasiment au sens
commun du terme. La notion de voisinage, explicite ou implicite, est indispensable pour
d´efinir le concept de limite.
Les concepts de la topologie sont l`a pour simplifier le discours et non le compliquer !
II. Filtre des voisinages d’un point.
On appelle filtre des voisinages d’un point xdu r´ef´erentiel Eune famille V(x) de parties de
Ev´erifiant les quatre axiomes suivants :
(V1)∀(V,W)V ∈ V(x)V ⊂ W =
⇒ W ∈ V(x)
Tout sur-ensemble d’un voisinage de xest un voisinage de x.
(V2)∀(V,W)V ∈ V(x)W ∈ V(x) =
⇒ V ∩ W ∈ V(x)
L’intersection de deux voisinage de xest un voisinage de x.
(V3)∀ V V ∈ V(x) = ⇒x∈ V
Tout voisinage de xcontient x.
(V4)∀ V V ∈ V(x) =⇒ ∃ W ∈ V(x)W ⊆ V ∀ y y ∈ W = ⇒ W ∈ V(y)
En particulier, il existe un voisinage Wde xvoisinage de chacun de ses points.
On appelle voisinage ´epoint´e de xun voisinage de xpriv´e du point xlui-mˆeme.
x
V
W
La notion math´ematique de voisinage ne semble pas
contrarier la notion assez vague utilis´ee par le bon sens
commun, on imagine assez facilement le cytoplasme
d’une cellule molle dont xest un ´el´ement constitutif.
Le probl`eme se corse quand on cherche `a d´efinir le
«voisinage »de l’infini. La notion de filtre g´en´eralise
alors la notion de voisinage.
Filtre.
On appelle filtre sur l’ensemble Eune famille non vide
Fde parties de Ev´erifiant les trois axiomes suivants :
(F1)∀(V,W)V ∈ F V ⊂ W =⇒ W ∈ F.
(F2)∀(V,W)V ∈ F W ∈ F =
⇒ V ∩ W ∈ F .
(F3)∅/∈ F, la famille Fne contient pas l’ensemble vide.
On v´erifie que la famille des voisinages d’un point x0forme un filtre.
Le filtre de Fr´echet engendr´e par les sections finissantes, s(n) = {m m ∈Nn<m}, de
Nest un bon exemple de ce que l’on peut consid´erer comme «voisinage »de l’infini.
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III. Les ensembles ouverts.
D´efinition 1 :
Dans le r´ef´erentiel Eon appelle ouvert toute partie Ωqui est un voisinage de chacun de ses
points.
D´efinition 2 :
On appelle famille d’ouverts sur l’ensemble Eune famille Ode parties de Ev´erifiant les
trois axiomes suivants :
(O1) Toute union - d´enombrable ou non - d’ouverts est un ouvert.
(O2) Toute intersection finie d’ouverts est un ouvert.
(O3) L’ensemble vide ∅et l’ensemble plein, E, sont des ouverts.
On ´etablit que la d´efinition en tout point de Ed’une famille de voisinages est ´equivalente `a
la d´efinition d’une famille d’ouverts dans E. Nous nous limiterons `a montrer que la d´efinition
1 entraˆıne la d´efinition 2.
Soit Ωl’union d’une suite d’ouverts Ωi, tout point xde Ωest ´el´ement d’au moins un ouvert
Ωidonc Ω, sur-ensemble de Ωi, est un voisinage de x.Ωest un voisinage de chacun de ses
points, c’est un ouvert.
Soit Ωl’intersection des ouverts Ω1et Ω2, tout point xde Ωest ´el´ement d’au moins un
voisinage V1inclus dans Ω1et d’un voisinage V2inclus dans Ω2. L’intersection V1∩ V2est
un voisinage de xinclus dans Ω, donc Ωest un voisinage de chacun de ses points, c’est un
ouvert.
L’ensemble plein Eest bien sˆur un voisinage de chacun des ses points, c’est donc un ouvert.
Il est impossible de trouver un ´el´ement de l’ensemble vide dont ce dernier ne soit pas un
voisinage, donc l’ensemble vide est un ouvert.
D´efinitions :
On appelle espace topologique la structure form´ee par un ensemble Emuni d’une famille
d’ouverts.
On appelle ferm´e le compl´ementaire d’un ouvert. Les propri´et´es des ferm´es se d´eduisent de
celles des ouverts, notons simplement que l’union finie de ferm´es est un ferm´e mais qu’une
union d´enombrable de ferm´es n’est, en g´en´eral, pas un ferm´e.
IV. Un peu de vocabulaire.
On appelle int´erieur d’une partie Ale plus grand ouvert ˚ Ainclus dans A.
On appelle fermeture ou adh´erence d’une partie Ale plus petit ferm´e Acontenant A.
Un point xest dit adh´erent `a une partie Asi et seulement si l’intersection de tout voisinage
de xavec Aest non vide.
On appelle fronti`ere de A, l’ensemble A\˚
A.
On d´emontre que l’adh´erence de Aest l’ensemble des points adh´erents `a A.
V. Base de filtre.
F´etant un filtre sur l’ensemble Eun sous-ensemble non vide Bde Fest une base du filtre
Fsi et seulement si on v´erifie :
∀ V V ∈ F ⇐⇒ ∃ W ∈ B W ⊆ V
Dans l’ensemble Nle filtre de Fr´echet est d´efini par la base des «sections finissantes »,
s(n) = {m m ∈Nn < m}.
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Si Best une base du filtre Fon dit que le filtre Fest engendr´e par B.
Dans un espace m´etrique, le filtre des voisinages d’un point est engendr´e par l’ensemble des
boules ouvertes centr´ees en ce point :
x
x0
B(x0, r)
V
Dans un ensemble Emuni d’une distance d, on appelle boule
ouverte de centre x0et de rayon rnon nul l’ensemble
B(x0, r) = {x∈E d(x0, x)< r}.
On appelle boule ferm´ee de centre x0et de rayon rnon
nul l’ensemble B(x0, r) = {x∈E d(x0, x)≤r}.
On d´emontre que cette notation est coh´erente car B(x0, r)
est effectivement l’adh´erence de B(x0, r).
Un ensemble Vest un voisinage de x0si et seulement si il
contient une boule ouverte de centre x0.
Une ´etude plus pouss´ee des espaces m´etriques utilise l’in´egalit´e du triangle pour ´etablir que
les boules ouvertes sont des ouverts.
VI. La notion de limite d’une application.
L’ensemble d’arriv´ee, F, est muni d’une structure d’espace topologique, chaque point xde F
a donc un filtre de voisinages V(x).
On sera amen´e `a utiliser divers filtres Fdans l’ensemble de d´epart E.
On dit qu’une application fde Edans Fadmet la limite lsuivant le filtre Fde Esi et
seulement on v´erifie l’une des propositions suivantes :
(L1)∀ V ∈ V(l)∃ U ∈ F f(U)⊆ V.
(L2)∀ V ∈ V(l)f−1(V)∈ F.
Remarques :
1/ Si on connaˆıt une base Bde Fon peut remplacer la proposition (L1) par une proposition
(L0
1) plus pratique :
(L0
1)∀ V ∈ V(l)∃ U ∈ B f(U)⊆ V.
2/ Si le filtre Fest le filtre des voisinages d’un point x0on retrouve la d´efinition de la
continuit´e de la fonction fen x0.
3/ Si le filtre Fest le filtre de Fr´echet, on retrouve la d´efinition de la limite d’une suite.
4/ Dans les d´efinitions pr´ec´edentes rien ne dit que la limite, si elle existe, est unique !
Propri´et´e de Hausdorff. (Trennung )
On dit qu’un espace topologique Eest s´epar´e si et seulement si on v´erifie la proposition :
(T)∀(a, b)∈ E2a6=b=⇒ ∃ (V,W)∈ V(a)× V(b)V ∩ W =∅
Th´eor`eme :
Dans un espace s´epar´e la limite, si elle existe, est unique.
Remarquons que les espaces m´etriques munis de la topologie associ´ee `a la distance sont
toujours s´epar´es ce qui fait que la propri´et´e de Hausdorff est en g´en´eral implicite dans les
expos´es les plus classiques.
a ε b
Si on pose ε=1
3d(a, b), les deux boules B(a, ε) et
B(b, ε) sont largement disjointes.
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VII. Limite d’une fonction en un point adh´erent `a son ensemble de d´efinition.
On consid`ere maintenant une fonction fde l’espace topologique Edans l’espace topologique Fet
El’ensemble de d´efinition de f.
Soit aun point adh´erent `a Emais non ´el´ement de E, on d´emontre facilement que la famille FE,
restriction au sous ensemble Edu filtre Fdes voisinages de a, est un filtre sur E.
On dit qu’une fonction fde Edans F, non d´efinie au point aadh´erent `a son ensemble de d´efinition
Eadmet la limite lau voisinage de asi et seulement si l’application restreinte fEadmet la limite
lsuivant le filtre FEde E.
On notera : lim
x→a
x∈E
f(x) = l
Attention !
La recherche de la limite lutilise le filtre Fdes voisinages de adans le r´ef´erentiel E( ou une de
ses bases ) et non le filtre FEform´e des intersections des ´el´ements de Favec l’ensemble E:
(L1) devient : ∀ V ∈ V(l)∃ U ∈ F f(U ∩ E)⊆ V.
Un cas courant est celui o`u la fonction fest d´efinie partout sauf en a. On parle parfois de
voisinages ´epoint´es de apour d´esigner les voisinages de apriv´es du point alui-mˆeme, mais
attention ce ne sont plus des voisinages puisqu’ils ne v´erifient pas l’axiome (V3).
Limite selon un sous ensemble.
Soit Eun sous ensemble de Eet aun point adh´erent `a E.
On consid`ere une fonction fde l’espace topologique Edans l’espace topologique F, d´efinie dans
un voisinage ´epoint´e de a.
On appelle limite de la fonction fselon l’ensemble Ela limite de l’application restreinte fE:
lim
x→a
x∈E
f(x) = lim
x→afE(x)
Pour qu’une fonction fadmette une limite en a, il faut et il suffit qu’elle admette la mˆeme limite
selon tous les sous ensembles auxquels aest adh´erent.
Nous verrons plus loin les limites unilat´erales dans R, un autre exemple classique est l’´etude de
l’application fde R2\ {(0,0)}dans Rd´efinie par :
f(x, y) = 2x y
x2+y2
La toplogie utilis´ee est celle des spaces euclidiens.
Nous consid´erons les limites respectives de fen (0,0) selon les deux axes, les deux bissectrices,
la parabole d’´equation y=x2, et la sinuso¨ıde d’´equation y= sin(x).
Nous obtenons les r´esultats suivants :
lim
(x, y)→(0,0)
y= 0
f(x, y) = 0 lim
(x, y)→(0,0)
x= 0
f(x, y) = 0
lim
(x, y)→(0,0)
y=x
f(x, y) = 1 lim
(x, y)→(0,0)
y=−x
f(x, y) = −1
lim
(x, y)→(0,0)
y=x2
f(x, y) = 0 lim
(x, y)→(0,0)
y= sin(x)
f(x, y) = 1
Il ne nous vient pas `a l’esprit de dire que fadmet une limite en (0,0).
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VIII. Quelques exemples dans R.
Sur la droite r´eelle les intervalles ]a−η, a +η[, η∈R+∗, forment une base des voisinages du
point a. On dit qu’une application fde R\ {a}dans Radmet la limite lau voisinage de asi et
seulement si :
(L00
1)∀ V ∈ V(l)∃η∈R+f(]a−η, a +η[\ {a})⊆ V.
En remarquant que les intervalles ]l−ε, l +ε[ forment une base des voisinages du point lon ´ecrit
la proposition ´equivalente :
∀ε∈R+∗∃η∈R+f(]a−η, a +η[\ {a})⊆]l−ε, l +ε[
Et on retrouve ainsi la forme traditionnelle :
∀ε∈R+∗∃η∈R+0<|x−a|< η = ⇒ |f(x)−l|< ε
Limite unilat´erale.
La droite r´eelle ´etant ordonn´ee, il est facile de d´efinir les limites `a gauche ou `a droite de aen
utilisant des fonctions fget fd, restrictions de la fonction faux demi-droites respectives ] − ∞, a[
et ]a, +∞[ :
Limite `a gauche, lim
x→a−
f(x) = lim
x→a
x < a
f(x) :
lim
x→a−
f(x) = l⇐⇒ ∀ ε∈R+∗∃η∈R+−η < x −a < 0 =
⇒ |f(x)−l|< ε
Limite `a droite, lim
x→a+f(x) = lim
x→a
a < x
f(x) :
lim
x→a+f(x) = l⇐⇒ ∀ ε∈R+∗∃η∈R+0< x −a < η =⇒ |f(x)−l|< ε
Dans ce qui pr´ec`ede, soulignons la clause restrictive, x6=a, qui justifie l’expression consacr´ee :
«pour qu’une fonction fsoit continue en a, il faut qu’elle soit d´efinie sur un voisinage de aet
admette en aune limite `a gauche et une limite `a droite ´egales `a f(a).»
«Voisinage de l’infini ».
Pour ´etudier ce que nous appelons abusivement voisinage de +∞, nous utilisons le filtre, F+∞,
engendr´e par les demi-droites ]A, +∞[.
L’analogie avec le filtre de Fr´echet est imm´ediate.
Nous retrouvons les expressions classiques, comme par exemple :
lim
x→x0
f(x) = +∞ ⇐⇒ ∀ V ∈ F+∞∃ U ∈ V(x0)f(U)⊆ V
⇐⇒ ∀ A∈R∃η∈R+∗f(B(x0, η)) ⊆]A, +∞[
ou encore :
lim
x→+∞f(x) = x0⇐⇒ ∀ V ∈ V(x0)∃ U ∈ F+∞f(U)⊆ V
⇐⇒ ∀ ε∈R+∗∃A∈Rf(]A, +∞[) ⊆B(x0, ε)
Au «voisinage de −∞ », nous utilisons le filtre, F−∞,engendr´e par les demi-droites ] − ∞, A[.
Dans un ensemble non ordonn´e, on peut utiliser les compl´ements d’une famille de boules de mˆeme
centre pour engendrer le filtre des voisinages d’un infini unique ...
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