manoeuvres orbitales

Rappels
Le carré de la norme du vecteur vitesse en coordonnées polaires est :
2
2
2
2
+ =dt
d
r
dt
dr
Vq
[1]
Les composantes radiale (selon l’axe xθ) et tangentielle (selon l’axe yθ) du vecteur
accélération exprimées dans le référentiel polaire ont également été déterminées
précédemment :
02 2
2
2
2
2
2
=+
-= -
dt
d
r
dt
d
dt
dr
r
dt
d
r
dt rd
qq
mq
[2]
Les trajectoires étudiées sont des ellipses, conformément à la 1ere loi de Kepler, dont
l’expression en coordonnþes polaires est :
( )
0
2
2
cos qqm ++
=kA k r
[3’]
avec :
a
bk 22 =
m
[3’’]
aba
e
kA 222 -
==
m
[3’’’]
et vérifient la 2eme loi de Kepler :
k
dt
d
r= q
2
[4]
Théorþme de lýénergie
Lorsque l’on multiplie dans l’expression [2] le premier terme par
dt
dr
et le second terme par
dt
dq
on obtient :
dt
dr
r
dt
d
dt
dr
r
dt rd
dt
dr -=
- 2
2
2
2mq
[5’]
02 2
2
2
2
=+  dt
d
dt
d
r
dt
d
dt
dr
rqqq
[5’’]
L’þquation [5’’] permet d’þcrire :
2
2
2
22
dt
d
dt
d
r
dt
d
dt
dr
r
dt
d
dt
dr
rqqqq + = -
[6]
que l’on peut rþintroduire dans [5’] pour obtenir :
0
22
2
2
2
2
2=++
+ dt
dr
rdt
d
dt
d
r
dt
d
dt
dr
r
dt rd
dt
dr mqqq
[7]

En remarquant que :
-=
=+
=
rdt
d
dt
dr
r
dt
d
r
dt
d
dt
d
dt
d
r
dt
d
dt
dr
r
dt
dr
dt
d
dt rd
dt
dr
mm
qqqq
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
[8]
il vient immédiatement :
0
2
1
2
12
2
2
=
-
+ rdt
d
r
dt
dr
dt
dmq
[9]
La relation [9] implique que l’expression
rdt
d
r
dt
dr mq -
+
2
2
2
2
1
2
1
est une constante
U et associþe ý l’þquation [1] permet d’þcrire l’expression partielle du théorþme de lýénergie
signifiant qu’il y a conservation de l’þnergie sur l’orbite :
U
r
V=- m
2
2
[10]
où
2
2
V
est l’þnergie cinþtique,
r
m
-
l’þnergie potentielle et
U
l’þnergie totale.
La distance au foyer de l’ellipse
( )
0
2
2
cos qqm ++
=kA k r
est minimale lorsque
( ) 1cos 0=+qq
et prend la valeur :
2
2
min kA
k
r+ =m
[11]
Dans ce cas, il est évident que la vitesse radiale est nulle :
min
@0 rr
dt
dr ==
[12]
Ce qui permet d’þcrire immþdiatement d’aprüs [1] :
min
@rr
dt
d
rV == q
[13]
La combinaison avec la formule [4] donne la valeur de la vitesse sur la trajectoire au plus
proche du foyer de l’ellipse :
min
@rr
r
k
V==
[14]
Soit
min
2@rr
kkA
V=
+
=m
[15]
La combinaison des équations [10], [11] et [15] permet alors d’þcrire :
2
242
2k
kA
U
-
=m
[16]
L’utilisation des þquations [3’’] et [3’’’] dans [16] donne :
a
U -= 2
m
[17]

et il vient pour finir l’expression complüte du théorþme de lýénergie pour une orbite
elliptique:
ar
V
-=- 22
2mm
[18]
où r est la distance au foyer, V la vitesse sur la trajectoire, a le demi-grand axe de l’orbite et ý
le coefficient gravitationnel du corps central.
Vitesse de satellisation et vitesse de libération
Si l’on considüre une orbite circulaire, nous sommes dans le cas oû r est constant et þgal ú a,
la vitesse sur l’orbite est constante et prend l’expression :
hR
Vcir + =m
[19]
oû R est le rayon du corps central et h l’altitude de l’orbite. Un engin spatial lancþ ý
l’horizontale ý cette vitesse se retrouve satellisþ sur une orbite circulaire.
Un autre cas remarquable est celui oû l’orbite prþsente un demi-grand axe infini (parabole
d’excentricitþ e þgale ý 1), on parle alors de vitesse de libþration :
hR
Vlib + =m2
[20]
Un engin spatial lancé à cette vitesse se retrouve injecté sur une orbite parabolique et
s’þloigne indþfiniment sur une branche de parabole avec une vitesse asymptotique nulle.
Lorsque le lancement est effectué à une vitesse supérieure à cette vitesse de libþration, l’engin
se retrouve injectþ sur une orbite hyperbolique et s’þloigne indþfiniment sur une branche
d’hyperbole avec une vitesse asymptotique þgale ý
22 liblancement VV -
.
Pour la Terre on a
239
1064,398600 - = sm
T
m
et
mRT3 106378=
, et il vient les résultats
suivants :
Altitude (km)
Vitesse de satellisation sur
une orbite circulaire ou 1ere
vitesse cosmique (m/s)
Vitesse de libération ou 2eme
vitesse cosmique (m/s)
200
7784
11008
400
7668
10845
1000
7350
10395
35786
3075
4348
Transfert de Hohmann
Le transfert de Hohmann dþfinit la technique de transfert ú coùt þnergþtique minimal d’un
vþhicule spatial entre deux orbites circulaires selon l’orbite elliptique dþfinie figure 1.

Figure 1 : Transfert de Hohmann
L’orbite initiale est une orbite circulaire de rayon
1
ar =
sur laquelle la vitesse est :
1
1a
Vm =
[21]
L’orbite finale est une orbite circulaire de rayon
2
ar =
sur laquelle la vitesse est :
2
2a
Vm =
[22]
Le transfert s’effectue en donnant une impulsion de vitesse
1
VD
au périastre de façon à
injecter le véhicule spatial sur une orbite elliptique de demi-grand axe
221 aa +
. A l’arrivþe ý
l’apoastre une seconde impulsion de vitesse
2
VD
est communiquée au véhicule spatial de
faúon ý circulariser l’orbite.
Si l’on þcrit le thþorüme de l’þnergie sur l’orbite de transfert elliptique au pþriastre, il vient :
( )
211
2
11 2aaa
VV
+
-=-
D+ mm
[23]
Soit en tenant compte de l’þquation [21] :
( ) 1211
2
12aaaa a
Vm
m-
+
=D
[24]
La vitesse du vþhicule ý son arrivþe ý l’apoastre est alors toujours selon le thþorüme de
l’þnergie :
( )
212
1
2aaa a
Va+ =m
[25]
L’impulsion de vitesse ý communiquer pour circulariser l’orbite est
a
VVV -=D 22
soit :
( )
212
1
2
22aaa a
a
V+ -=D m
m
[26]

Pour les transferts interplanétaires dits de Hohmann à partir de la Terre, il vient les résultats
suivants :
Destination
Périodicité des
lancements
Durée du trajet
Vitesse de lancement
1
VD
(km/s)
Mercure
3 mois 3 semaines
3 mois 2 semaines
14
Vénus
1 an 7 mois
4 mois 3 semaines
11,4
Mars
2 ans 1 mois
8 mois 2 semaines
11,5
Jupiter
1 an 1 mois
2 ans 9 mois
14,1
Saturne
1 an 2 semaines
6 ans
15,1
Uranus
1 an 1 semaine
16 ans
15,8
Neptune
1 an
30 ans 7 mois
16
Les temps de voyage pour les planètes à partir de Saturne sont dissuasifs et les moyens
techniques actuels ne permettent pas des vitesses de lancement beaucoup plus élevées que 14
km/s, de sorte que seul le recours à la technique de l’assistance gravitationnelle (transfert
d’þnergie cinþtique entre une planüte et la sonde lors du survol) permet aujourd’hui l’accüs
aux planètes lointaines.
par Didier Levavasseur
version initiale le 10 décembre 2003
corrections mineures le 25 août 2004