multizêtas, multizêtas formelles, algèbre de double

P1\ {0,1,∞}
(s1, . . . , sr)s1>2
ζ(s1, . . . , sr) = X
n1>···>nr
1
ns1
1· · · nsr
r
s1r= 1
s1
z∈C
Lis1,...,sr(z) = X
n1>···>nr
zn1
ns1
1· · · nsr
r
·

ζ(s1, . . . , sr) = limR3z→1−Lis1,...,sr(z)
dLis1,...,sr=(ω0Lis1−1,...,srs1>2
ω1Lis2,...,srs1= 1
ω0=dz
zω1=dz 1−z
Lis1,...,sr(z) = Z0<ts<···<t1<z ωi1(t1)· · · ωis(ts)
s=s1+· · · +srij= 1 j∈ {s1, s1+s2, . . . , s1+· · · +sr}ij= 0
ζ(s1, . . . , sr) = Z0<ts<···<t1<1 ωi1(t1)· · · ωis(ts)
h=Qhx, yi
h1=hyh0=xhyh1
yi=xi−1y ys1· · · ysrh0
ˆ
ζ(ys1· · · ysr) = ζ(s1, . . . , sr)ˆ ζh0Q
x0=x
x1=y
ˆ
ζ(xi1· · · xis) = Z0<ts<···<t1<1 ωi1(t1)· · · ωis(ts)
ˆ
ζ(xi1· · · xik)ˆ ζ(xik+1 · · · xik+`) = X
σ∈Sk,` Z0<uk+`<···<u1<1
ωi1(uσ(1))· · · ωik+`(uσ(k+`))
Sk,` [[1, k +`]]
[[1, k]] [[k+ 1, k +`]]
ˆ
ζ(xi1· · · xik)ˆ ζ(xik+1 · · · xik+`) = ˆ ζX
σ∈Sk,`
xiσ−1(1) · · · xiσ−1(k+`)
xi1· · · xik↑xik+1 · · · xik+`=X
σ∈Sk,`
xiσ−1(1) · · · xiσ−1(k+`)

h h h0=h0
ˆ
ζ:h0→R
ζ(2)2=ˆ ζ(xy xy)=2ζ(2,2) + 4 ζ(3,1)
ζ(s1, . . . , sk)ζ(sk+1, . . . , sk+`) = X
σ∈S∗
k,` X
n1>···>nk+`
1
ns1
σ(1) · · · nsk+` σ(k+`)
S∗
k,` [[1, k+`]]
[[1, k]] [[k+ 1, k +`]]
h0
ˆ
ζ(ys1· · · ysk)ˆ ζ(ysk+1 · · · ysk+`)
ˆ
ζ ys1· · · ysk
ysk+1 · · · ysk+`
ys1· · · yskysk+1 · · · ysk+`yi
ysiysjysi+ji6k < j
∗h1=h1
∗h0=h0 ∗
ˆ
ζ
ζ(2)2= 2 ζ(2,2) + ζ(4)
ζ(4) = 4 ζ(3,1)
ζ(3,1,...,3,1
| {z }
r
) = 2π4r
(4r+ 2)!
ˆ
ζˆ ζ∗,:
h1
∗,→R
h1
∗D:
h1
∗→h1 ∗
D(yk1· · · ykr) = (yk2· · · ykrk1= 1
0

reg∗:h1
∗→h0 ∗
reg∗=
∞
X
i=0
(−1)i
i!y∗i
1∗Di
ˆ
ζˆ ζ∗=ˆ ζ◦reg∗
u∈h0ˆ ζ(y u −y1∗u)=0
k>0ZkQ R
k ζ(s1, . . . , sr)s1+· · · +sr=k
Zk
dk= dimQZk
dk=dk−2+dk−3
Pk>0dktk=1
1−t2−t3
ζ(3) π
R
w∈ {x, y}∗Z(w)
FnZ(w)w
n F0=QF1= 0 F=Ln>0Fn
Z∗(w) = Z(πy(w)) + Pn>1
(−1)n−1
nhyn, wiZ(xn−1y)
πyy
F Z F
Z(w)Z(w0) = Z(w w0)w, w0x y
Z∗(w)Z∗(w0) = Z∗(w∗w0)w, w0yi
nfz =
F Z>3/F Z2
>1VectQ(Z(w)|w∈h>3)
Z(w w0)Z∗(w∗w0)w w0
nfzn= VectQ(Z(w)|w∈hn)/Vect(Z(w w0), Z∗(w∗w0))

Z(w w0)w w0n Z(w w0)
w w0n y
f∈h
w1w2
hf, w1w2i= 0
fLie[x, y]
f w1w2
yi
hf, w1∗w2i= 0
f
h
f∈hnn
f∗f
y xi−1y=yi
(−1)n−1
nhf, xn−1yiyn
1
ds h
f3
f
f∗
ds nfz∗nfz
ndsnnfz∗
n
nfzn
Z(hn)
Z(hn)×hn−→ Q
(Z(w), w0)7−→ hZ(w), w0i=hw, w0i=δw,w0
δnfz∗
n
f∈hnZ(w w0)Z∗(w∗w0)
f∈hn
Z(w w0)w w0n