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R´esum´e (suite)
R´ecemment Yu.V. Nesterenko a montr´e comment un
argument suppl´ementaire permettait simplement d’´etablir
l’irrationalit´e des nombres erpour rrationnel et du nombre
π. Cette d´emonstration fournit une introduction naturelle `a
la m´ethode de Hermite et aux approximants de Pad´e.
Un autre exemple de d´emonstration d’irrationalit´e dˆu `a
Liouville et bas´e sur le mˆeme raisonnement concerne le
nombre ϑ=Pn≥02−n2. Les am´eliorations du th´eor`eme de
Liouville par Thue, Siegel, Dyson, Roth, Ridout, Schmidt
notamment permettent de montrer la transcendance de
Pn≥02−unquand (un)n≥0est une suite qui croˆıt
suffisamment vite, mais cela ne permet pas d’atteindre le
cas de un=n2. Il a fallu attendre 1996 et le th´eor`eme de
Nesterenko sur les fonctions modulaires pour savoir que le
nombre ϑest transcendant.
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