+ x

MathsL1S1
I bis : Deux applications de 1 + x + · · · + xn = . . .
1 − xn+1
est fondamentale en mathématiques pures et
1−x
appliquées. Voici deux exemples de son utilisation :
– Un emprunt est remboursable par mensualités constantes :
Elle permet de calculer la mensualité et la somme restant due si l’emprunteur ne peut
plus faire face aux échéances.
– On considére le développement décimal illimité d’un nombre réel :
Elle permet de montrer que si ce développement est périodique, ou périodique à partir
d’un certain rang, alors le nombre est rationnel.
La formule 1 + x + · · · + xn = . . .
1
Remboursements par mensualités constantes
Exercice 1 : Un particulier emprunte un capital de 200.000A
C au taux mensuel de 0,5%,
remboursable par mensualités constantes en N années, le premier remboursement se faisant
un mois après le versement du capital.
1. Calculer la mensualité m lorsque N = 3. Quelle est la somme restant due si le particulier
ne peut plus faire face à ses échéances après le versement de la mensualité numéro a,
avec a = 18.
2. Mêmes questions avec N = 5 et a = 30.
3. Mêmes questions avec N = 10 et a = 60.
4. Mêmes questions avec N = 20 et a = 120.
Exercice 2 : Vous empruntez 200.000A
C au taux annuel de 6%, remboursables en 10 ans.
Votre banquier vous annonce que le remboursement se faisant par mensualités constantes, le
taux mensuel sera ”évidemment” de 0,5%. Si vous êtes surpris, il vous dira que la différence
est minime, et vous parlera volontiers des antiques traditions des banques, dans lesquelles on
utilisait jadis des bouliers (”Alors vous pensez bien que pour extraire une racine douzième
avec un boulier. . . !”)
1. Quel est le taux mensuel (sous forme d’un pourcentage arrondi à deux chiffres après la
virgule) équivalent à 6% annuel ?
2. La tradition du boulier, outre son côté émouvant, permet-elle à votre banquier de réaliser
une belle opération financière ?
3. Mêmes questions si le taux annuel est de 12%.
1
2
Développement décimal illimité des nombres rationnels
On note traditionnellement (et universellement) :
– N l’ensemble des entiers positifs :
N = {0, 1, 2, . . . , n, . . .}
– Z l’ensemble des entiers relatifs :
Z = {. . . , −n, . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . , n, . . .}
– N∗ et Z∗ les ensembles N et Z privés de 0.
– Q l’ensemble des rationnels :
Q={
a
/ a ∈ Z , b ∈ Z∗ } avec
b
a
c
=
b
d
ssi ad = bc
– R l’ensemble des nombres réels
Soit x ∈ [0, 1[ un nombre réel. Il admet un développement décimal illimité (d.d.i.) :
0, a1 a2 a3 . . . an . . .
obtenu de la manière suivante :
– Il existe a1 {0, 1, 2, . . . , 9} tel que :
a1 + 1
a1
≤x<
10
10
– Il existe a2 {0, 1, 2, . . . , 9} tel que :
a2
a1 a2 + 1
a1
+ 2 ≤x<
+
10 10
10
102
– Il existe a3 {0, 1, 2, . . . , 9} tel que :
a1
a2
a3
a1
a2
a3 + 1
+ 2 + 3 ≤x<
+ 2+
10 10
10
10 10
103
– Et ainsi de suite. . .
Si il existe n tel que :
a1
a2
an
+ 2 + ··· + n
10 10
10
on dit que x est un nombre décimal. C’est un nombre rationnel qui a en base 10 (c’est à dire
dans l’écriture usuelle des nombres à l’aide de 10 chiffres) une expression de la forme :
x=
x=
A
a1 a2 . . . an
=
n
10
10n
2
Il admet donc un développement décimal fini, qui est aussi un développement décimal illimité :
x = 0, a1 a2 . . . an = 0, a1 a2 . . . an 0 . . . 0 . . . = 0, a1 a2 . . . an 0
(la barre au-dessus d’une séquence indiquant le fait qu’elle est indéfiniment répétée).
a2
a1
an
+ 2 + · · · + n est l’l’approximation décimale par défaut de x
10 10
10
près, et l’on écrit :
x = 0, a1 a2 . . . an . . .
Sinon, pout tout n,
à 10−n
Plus généralement tout nombre réel x admet un développement décimal illimité :
a0 ∈ Z
x = a0 , a1 a2 . . . an . . .
(a0 est la partie entière de x)
Réciproquement on admettra qu’étant donné un développement décimal illimité :
0, a1 a2 . . . an . . .
il représente un nombre réel, qui appartient à [0, 1[ si tous les ai ne sont pas égaux à 9 (voir
l’exercice 1, plus loin).
Exercice 1 : Un nombre décimal a deux d.d.i.
1. Quelle est la limite de la suite :
n
X
9
10k
k=1
!
n∈N∗
lorsque n tend vers l’infini ?
2. En déduire que 0, 99 . . . 9 · · · = 0, 9 est un autre d.d.i. de 1. Quelle est le plus commode
des deux (et donc le plus utilisé) ?
3. Généraliser en montrant que tout décimal :
x = a0 +
A
a1 a2 . . . an
=
a
+
0
10n
10n
an 6= 0
a deux d.d.i.
123.456.789
Exemple : Donner les deux d.d.i. de
109
√
Exercice 2 : D.d.i. de 2
2
2
En utilisant le fait que pour deux nombres positifs
√ x et y, x < y est équivalent à x < y ,
montrer que 1,4142. . . est le début du d.d.i. de 2.
3
Définition 3 : Un développement décimal illimité est périodique à partir d’un certain
rang ou ultimement périodique si il est de la forme :
a0 , b1 b2 . . . bm a1 a2 . . . an a1 a2 . . . an . . . a1 a2 . . . an · · · = a0 , b1 b2 . . . bm a1 a2 . . . an
Il est périodique si la séquence b1 b2 . . . bm est vide, donc si le développement est de la forme :
a0 , a1 a2 . . . an a1 a2 . . . an . . . a1 a2 . . . an · · · = a0 , a1 a2 . . . an
Proposition 1 Le développement décimal illimité d’un nombre réel est périodique ou ultimement périodique si et seulement si il est rationnel.
Démonstration :
a
1. Si x = est rationnel, son d.d.i. est donné par la suite des quotients dans la division
b
”avec virgule” de a par b. Comme à chaque étape le reste est un entier compris entre 0
et b − 1, une fois calculée la partie entière, au bout de b étapes au plus :
– soit on trouve 0 : le nombre est un rationnel décimal, les chiffres de son d.d.i. sont
égaux à 0 (ou 9 si l’on préfère !) à partir d’un certain rang
– soit on retrouve l’un des restes précédents, et la séquences des quotients (et des restes)
va se reproduire indéfiniment de manière identique.
2. Si x = a0 , b1 b2 . . . bm a1 a2 . . . an , en notant B le nombre qui s’écrit en base 10 : b1 b2 . . . bm
et A le nombre qui s’écrit en base 10 : a1 a2 . . . an , la suite d’approximations décimales
de x :
!
N
1 X A
B
+
10m 10m k=1 10nk
∗
N ∈N
converge vers un rationnel.
Exercice 3 : Quels sont les d.d.i de :
1
3
2
3
1
125
999
125
12
7
49
13
49
26
Exercice 4 : Quels sont les rationnels dont le d.d.i est :
0, 01
0, 010
0, 010101
1, 12
4
1, 123
1, 123456