+ x

MathsL1S1
I bis : Deux applications de 1 + x+···+xn=. . .
La formule 1 + x+··· +xn=. . . 1−xn+1
1−xest fondamentale en math´ematiques pures et
appliqu´ees. Voici deux exemples de son utilisation :
– Un emprunt est remboursable par mensualit´es constantes :
Elle permet de calculer la mensualit´e et la somme restant due si l’emprunteur ne peut
plus faire face aux ´ech´eances.
– On consid´ere le d´eveloppement d´ecimal illimit´e d’un nombre r´eel :
Elle permet de montrer que si ce d´eveloppement est p´eriodique, ou p´eriodique `a partir
d’un certain rang, alors le nombre est rationnel.
1 Remboursements par mensualit´es constantes
Exercice 1 : Un particulier emprunte un capital de 200.000AC au taux mensuel de 0,5%,
remboursable par mensualit´es constantes en Nann´ees, le premier remboursement se faisant
un mois apr`es le versement du capital.
1. Calculer la mensualit´e mlorsque N= 3. Quelle est la somme restant due si le particulier
ne peut plus faire face `a ses ´ech´eances apr`es le versement de la mensualit´e num´ero a,
avec a= 18.
2. Mˆemes questions avec N= 5 et a= 30.
3. Mˆemes questions avec N= 10 et a= 60.
4. Mˆemes questions avec N= 20 et a= 120.
Exercice 2 : Vous empruntez 200.000AC au taux annuel de 6%, remboursables en 10 ans.
Votre banquier vous annonce que le remboursement se faisant par mensualit´es constantes, le
taux mensuel sera ”´evidemment” de 0,5%. Si vous ˆetes surpris, il vous dira que la diff´erence
est minime, et vous parlera volontiers des antiques traditions des banques, dans lesquelles on
utilisait jadis des bouliers (”Alors vous pensez bien que pour extraire une racine douzi`eme
avec un boulier. . . !”)
1. Quel est le taux mensuel (sous forme d’un pourcentage arrondi `a deux chiffres apr`es la
virgule) ´equivalent `a 6% annuel ?
2. La tradition du boulier, outre son cˆot´e ´emouvant, permet-elle `a votre banquier de r´ealiser
une belle op´eration financi`ere ?
3. Mˆemes questions si le taux annuel est de 12%.
1

2 D´eveloppement d´ecimal illimit´e des nombres ration-
nels
On note traditionnellement (et universellement) :
–Nl’ensemble des entiers positifs :
N={0,1,2, . . . , n, . . .}
–Zl’ensemble des entiers relatifs :
Z={. . . , −n, . . . , −2,−1,0,1,2, . . . , n, . . .}
–N∗et Z∗les ensembles Net Zpriv´es de 0.
–Ql’ensemble des rationnels :
Q={a
b/ a ∈Z, b ∈Z∗}avec a b=c dssi ad =bc
–Rl’ensemble des nombres r´eels
Soit x∈[0,1[ un nombre r´eel. Il admet un d´eveloppement d´ecimal illimit´e (d.d.i.) :
0, a1a2a3. . . an. . .
obtenu de la mani`ere suivante :
– Il existe a1{0,1,2,...,9}tel que :
a1
10 ≤x < a1+ 1 10
– Il existe a2{0,1,2,...,9}tel que :
a1
10 +a2 102≤x < a1 10 +a2+ 1 102
– Il existe a3{0,1,2,...,9}tel que :
a1
10 +a2 102+a3 103≤x < a1 10 +a2 102+a3+ 1 103
– Et ainsi de suite. . .
Si il existe ntel que :
x=a1
10 +a2 102+··· +an 10n
on dit que xest un nombre d´ecimal. C’est un nombre rationnel qui a en base 10 (c’est `a dire
dans l’´ecriture usuelle des nombres `a l’aide de 10 chiffres) une expression de la forme :
x=A
10n=a1a2. . . an 10n
2

Il admet donc un d´eveloppement d´ecimal fini, qui est aussi un d´eveloppement d´ecimal illimit´e :
x= 0, a1a2. . . an= 0, a1a2. . . an0. . . 0. . . = 0, a1a2. . . an0
(la barre au-dessus d’une s´equence indiquant le fait qu’elle est ind´efiniment r´ep´et´ee).
Sinon, pout tout n,a1
10 +a2 102+··· +an 10nest l’l’approximation d´ecimale par d´efaut de x
`a 10−npr`es, et l’on ´ecrit :
x= 0, a1a2. . . an. . .
Plus g´en´eralement tout nombre r´eel x admet un d´eveloppement d´ecimal illimit´e :
x=a0, a1a2. . . an. . . a0∈Z
(a0est la partie enti`ere de x)
R´eciproquement on admettra qu’´etant donn´e un d´eveloppement d´ecimal illimit´e :
0, a1a2. . . an. . .
il repr´esente un nombre r´eel, qui appartient `a [0, 1[ si tous les aine sont pas ´egaux `a 9 (voir
l’exercice 1, plus loin).
Exercice 1 : Un nombre d´ecimal a deux d.d.i.
1. Quelle est la limite de la suite :
n
X
k=1
9
10k!n∈N∗
lorsque n tend vers l’infini ?
2. En d´eduire que 0,99 . . . 9··· = 0,9 est un autre d.d.i. de 1. Quelle est le plus commode
des deux (et donc le plus utilis´e) ?
3. G´en´eraliser en montrant que tout d´ecimal :
x=a0+A
10n=a0+a1a2. . . an 10nan6= 0
a deux d.d.i.
Exemple : Donner les deux d.d.i. de 123.456.789
109
Exercice 2 : D.d.i. de √2
En utilisant le fait que pour deux nombres positifs xet y,x < y est ´equivalent `a x2< y2,
montrer que 1,4142. . . est le d´ebut du d.d.i. de √2.
3

D´efinition 3:Un d´eveloppement d´ecimal illimit´e est p´eriodique `a partir d’un certain
rang ou ultimement p´eriodique si il est de la forme :
a0, b1b2. . . bma1a2. . . ana1a2. . . an. . . a1a2. . . an··· =a0, b1b2. . . bma1a2. . . an
Il est p´eriodique si la s´equence b1b2. . . bmest vide, donc si le d´eveloppement est de la forme :
a0, a1a2. . . ana1a2. . . an. . . a1a2. . . an··· =a0, a1a2. . . an
Proposition 1 Le d´eveloppement d´ecimal illimit´e d’un nombre r´eel est p´eriodique ou ulti-
mement p´eriodique si et seulement si il est rationnel.
D´emonstration :
1. Si x=a
best rationnel, son d.d.i. est donn´e par la suite des quotients dans la division
”avec virgule” de apar b. Comme `a chaque ´etape le reste est un entier compris entre 0
et b−1, une fois calcul´ee la partie enti`ere, au bout de b´etapes au plus :
– soit on trouve 0 : le nombre est un rationnel d´ecimal, les chiffres de son d.d.i. sont
´egaux `a 0 (ou 9 si l’on pr´ef`ere !) `a partir d’un certain rang
– soit on retrouve l’un des restes pr´ec´edents, et la s´equences des quotients (et des restes)
va se reproduire ind´efiniment de mani`ere identique.
2. Si x=a0, b1b2. . . bma1a2. . . an, en notant Ble nombre qui s’´ecrit en base 10 : b1b2. . . bm
et Ale nombre qui s’´ecrit en base 10 : a1a2. . . an, la suite d’approximations d´ecimales
de x: B
10m+1 10m
N
X
k=1
A
10nk !N∈N∗
converge vers un rationnel.
Exercice 3 : Quels sont les d.d.i de :
1
3
2
3
1
125
999
125
12
7
49
13
49
26
Exercice 4 : Quels sont les rationnels dont le d.d.i est :
0,01 0,010 0,010101 1,12 1,123 1,123456
4