i. méthodes élémentaires - E

I. MÉTHODES ÉLÉMENTAIRES
Objekttyp: Chapter
Zeitschrift: L'Enseignement Mathématique
Band (Jahr): 33 (1987)
Heft 1-2: L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE
PDF erstellt am: 25.05.2017
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ramènent le problème de la recherche de conditions nécessaires et suffisante*
pour l'existence du Q.D.-schéma àcelui de la distribution des zéros dans les
s.r.l. Hhn .(Ce problème ?relativement àune s.r.l. arbitraire ?a été
étudié en [6].)
B. ÉTUDE ARITHMÉTIQUE
La théorie des suites récurrentes est une mine inépuisable
qui renferme toutes les propriétés des nombres ;en calculani
les termes consécutifs de telles suites, en décomposani
ceux-ci en facteurs, en recherchant par l'expérimentation les
lois de l'apparition et de la reproduction des nombres
premiers, on fera progresser d'une manière systématique
l'étude des propriétés des nombres et de leurs applications
dans toutes les branches des Mathématiques.
Edouard Lucas (Théorie des Nombres]
I. MÉTHODES ÉLÉMENTAIRES
1. Propriétés de périodicité
Le premier résultat de ce type est dû àLagrange, la proposition
suivante est essentiellement due àCarmichael.
Proposition. Soit E, une suite àvaleurs dans un anneau se et
vérifiant la relation de récurrence linéaire (à coefficients dans se)
On suppose que £ne prend qu'un nombre fini de valeurs; alors £, est
ultimement périodique. De plus, lorsque aQn'est pas un diviseur de zéro,
la suite £est purement périodique.
Considérons la suite fëB,ÇB+1,..., Z>n+k-i)n&o des k-uples de valeurs suc
cessivesde £. Si E, ne prend qu'un nombre fini de valeurs alors ces /c-uples
ne prennent aussi qu'un nombre fini de valeurs, il existe donc n00
et t>0tels que
Grâce àla relation de récurrence cette égalité reste vraie pour tout nn0
et on adonc t)n+t =£,? pour nnO.n 0.C'est la première assertion.
Supposons en outre a0non diviseur de zéro et que n0aété choisi
minimal. Si on ano 1alors la relation de récurrence montre que

aofé»o-i-£iio+t-i) =°> ce qui implique >no _1=0+,_ 15 formule qui
contredit la minimalité de nO.n 0.On adonc n0=0, autrement dit la suite
E, est bien purement périodique. ?
On peut en déduire une démonstration du théorème de Kronecker.
Corollaire. Soit 0un entier algébrique non nul dont tous les conjugués
sont de module au plus 1, alors 9est une racine de Funité.
Soient 9X9 X=9, 02,...,0 2,..., 9d9 dles conjugués de 9etXd? ad-xXdx? ... ?a0
son polynôme minimal sur Z. Pour nentier 0posons n=9"+92
+... +93. Alors la suite (ÇJ vérifie
de plus les £? sont des entiers de l'intervalle [?d, +d~]. Enfin a0est
non nul, la proposition implique donc que (£J est purement périodique.
Soit tla période, onaÇ(=0;soit 9^ +... +9^ =d, et comme |9£ |<1
pour i= 1, ..., d, 8f=1. D
Le cas particulier de la proposition 1le plus intéressant est celui où
se =Fp(=Z/pZ), pétant (comme toujours !) un nombre premier. Considérons
donc une série s.r.l. £àvaleurs dans Fpet vérifiant
Soit L= Fpd la plus petite extension de Fpdans laquelle le polynôme
G=Xk? aak_1XXk~x?... ?a0 se décompose en facteurs linéaires. Alors
£est ultimement périodique (purement périodique si a00) et sa période
est un diviseur de p(pd?1), ce qu'on voit en utilisant les formules (3) et
(4) de A.1.2 [d'une part les p7p7-appartiennent àL* et vérifient donc
pjd-id -i _d'autre part les coefficients du binôme modulo padmettent p
comme période] ;en outre si Gn'a que des racines simples alors la période
divise pd?1. Le cas des suites récurrentes linéaires binaires est très simple.
L'entier dne peut alors prendre que les valeurs 1ou 2. Plus précisément,
si Çvérifie
posons À=al+ 4a0et supposons pimpair. Le symbole de Legendre
permet de caractériser les cas d=1ou 2: on a

Ainsi, on ales trois possibilités suivantes :
(i) Àest un résidu quadratique modulo p, alors la période tdivise
P-I
(ii) Àn'est pas un résidu quadratique modulo p, alors tdivise p2p 2?1,
(iii) A=0, alors tdivise p(p? 1).
On peut raffiner l'assertion (ii) de la manière suivante. Supposons
(? 1=?1. Soient p1et p2p 2les racines du polynôme X2X 2?a±X ?a0
\Pj
dans le corps Fp2 et soit al'automorphisme de Frobenius de ce corps
(a(oc) =ap). On ad'une part
et d'autre part
D'où
ce qui prouve l'assertion suivante.
(ii)' Soit el'ordre de ?a0 dans le corps Fp,alors si An'est pas résidu
quadratique modulo p, la période divise e(p +1).
Exemple 1:Reprenons la suite de Fibonacci. On aalors,
et les trois cas précédents sont
(i) p=5k ±1, la période divise p?1,
(ii) p=5k ±2, la période divise 2(p +l) (c'est encore vrai pour p=2)
(iii) p=5,la période est égale à20.
On en déduit aussitôt les propriétés de divisibilité suivantes :
si p=5k ±1alors pdivise Fnlorsque p?1divise n,
si p=5k ±2alors pdivise Fnlorsque p+1divise n,

[en effet, F. =£Î^I donc Fp+l =~P^= o],
Pi -P2 Pi ~P2
enfin si p=5on vérifie directement que 5divise Fnsi et seulement si 5
divise n.
Exemple 2:Le critère de Lucas peut être obtenu comme corollaire de l'étude
précédente. Soit ?= -^?-le nombre d'or. On considère la suite d'entiers
rm=co2w +co~ 2m,m=l,2, 3, ..., ainsi rm=3,7, 47, ..., et on peut calculer
aisément les rmgrâce àla relation évidente rm+1 =r2 ?2. En fait si
(Ln)est la s.r.l. ?dite de Lucas ?définie par Lo=2,L1 =1, Ln+2
=Lw+x+Ln pour n0, on arm =LL2m.On aalors le critère de primalité
suivant.
Proposition 2. SozY pun nombre premier de la forme An +3 e£ soit
M=Mp=2P?l, le plème nombre de Mersenne. Alors Mest premier
si, et seulement si, rp-1=0 (mod M).
Supposons d'abord Mpremier, M?8. 16"? 1=2(mod 5), donc
?M+i s_j (mocjce qq Ujimplique bien
Inversement, supposons rrp_x=0 (mod M). On aalors
M
(**)
Supposons que Mse décompose sous la forme
où les pi sont des nombres premiers de la forme 5a ±1et les q^ sont
des nombres premiers de la forme 5a ±2, et on a
Comme les congruences (*) et (**) sont valables pour tout diviseur de
M, on voit que l'ordre de G) modulo chaque diviseur premier de Mest
exactement 2P+l.2P+1.Donc les ptet les qjsont respectivement de la forme