i. méthodes élémentaires - E

I. MÉTHODES ÉLÉMENTAIRES
Objekttyp:
Chapter
Zeitschrift:
L'Enseignement Mathématique
Band (Jahr): 33 (1987)
Heft 1-2:
L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE
PDF erstellt am:
25.05.2017
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ramènent le problème de la recherche de conditions nécessaires et suffisante*
des zéros dans les
pour l'existence du Q.D.-schéma à celui de la distribution
été
s.r.l.
arbitraire
à
relativement
une
s.r.l. H hn . (Ce problème
?a
?
étudié en [6].)
B.
ÉTUDE ARITHMÉTIQUE
La théorie des suites récurrentes est une mine inépuisable
qui renferme toutes les propriétés des nombres ; en calculani
les termes consécutifs de telles suites, en décomposani
ceux-ci en facteurs, en recherchant par l'expérimentation les
lois de l'apparition et de la reproduction des nombres
premiers, on fera progresser d'une manière systématique
l'étude des propriétés des nombres et de leurs applications
dans toutes les branches des Mathématiques.
Edouard Lucas (Théorie des Nombres]
I.
MÉTHODES ÉLÉMENTAIRES
1.
Propriétés de périodicité
Le premier résultat de ce type est dû à Lagrange, la proposition
suivante est essentiellement due à Carmichael.
Proposition.
Soit E, une suite à valeurs dans un anneau
de récurrence linéaire (à coefficients dans se)
la
relation
vérifiant
se
et
On suppose que £ ne prend qu'un nombre fini de valeurs; alors £, est
ultimement périodique. De plus, lorsque a Q n'est pas un diviseur de zéro,
la suite £ est purement périodique.
Considérons la suite fë B , Ç B + 1 , ..., n +k-i)n&o des k-uples de valeurs suc
cessivesde £. Si E, ne prend qu'un nombre fini de valeurs alors ces /c-uples
ne prennent aussi qu'un nombre fini de valeurs, il existe donc n 0
0
et t > 0 tels que
Z>
àla relation de récurrence cette égalité reste vraie pour tout n n 0
et on a donc )n+t = £,? pour n
0 . C'est la première assertion.
Supposons en outre a 0 non diviseur de zéro et que n 0 a été choisi
1 alors la relation de récurrence
minimal. Si on ano
montre que
Grâce
t
nO.n
=°> ce q ui implique >no _ 1 = 0 +,_ 15 formule qui
contredit la minimalité de 0 . On a donc n 0 =0, autrement dit la suite
E, est bien
purement périodique.
?
a ofé»o-i-£iio+t-i)
nO.n
On peut en déduire une démonstration du théorème de Kronecker.
Corollaire. Soit
sont de module au plus
Soient
=9,
9X9
X
1,
02,...,0
2 ,
un entier algébrique non nul dont tous les conjugués
alors 9 est une racine de F unité.
0
...,
9d9
d
les conjugués de
9etXd?
son polynôme minimal sur Z. Pour n entier
+ ... + 93. Alors la suite (ÇJ vérifie
ad - x X
0 posons
d
x?
?a0
...
n=9"+92
l'intervalle [?d, +d~]. Enfin a 0 est
non nul, la proposition implique donc que (£J est purement périodique.
Soit tla période, onaÇ ( = 0 ; soit 9^ + ... + 9^ = d, et comme |9£ < 1
1, ..., d, 8 f =1.
D
pour
de plus les £? sont des entiers de
|
i=
Le cas particulier de la proposition 1 le plus intéressant est celui où
se = F p ( = Z/pZ), p étant (comme toujours !) un nombre premier. Considérons
donc une série s.r.l. £ à valeurs dans F p et vérifiant
L= F
G=Xk?
la plus petite extension de F p dans laquelle le polynôme
k x
XX ~
? ... ?a0 se décompose en facteurs linéaires. Alors
_1
0) et sa période
£ est ultimement périodique (purement périodique si a 0
d
est un diviseur de p(p ? 1), ce qu'on voit en utilisant les formules (3) et
(4) de A.1.2 [d'une part les
appartiennent à L* et vérifient donc
7
les
du binôme modulo p admettent p
coefficients
d'autre
_
part
pj
des
G
si
racines simples alors la période
n'a
outre
en
comme période] ;
que
divise p d ? 1. Le cas des suites récurrentes linéaires binaires est très simple.
L'entier d ne peut alors prendre que les valeurs 1 ou 2. Plus précisément,
si Ç vérifie
Soit
pd
aa
k
p7p -
d-id
-i
=al+
4a 0 et supposons p impair. Le symbole de Legendre
posons À
permet de caractériser les cas d = 1 ou 2: on a
Ainsi, on a les trois possibilités suivantes
:
(i) À est un résidu quadratique modulo p, alors la période t divise
P-I
(ii) À n'est pas un résidu quadratique modulo p, alors t divise
2
p2p
?
1,
(iii) A = 0, alors t divise p(p? 1).
On peut raffiner l'assertion (ii) de la manière suivante. Supposons
(?
\Pj
?1.
=
1
Soient p 1 et
dans le corps F p2 et soit
= a p). On a d'une part
p2p
2
les racines du
a l'automorphisme
polynôme
X2X 2
?
a±X
?a0
de Frobenius de ce corps
(a(oc)
et
d'autre part
D'où
ce
qui prouve l'assertion suivante.
e l'ordre de ?a0 dans le corps F , alors si A n'est pas résidu
p
quadratique modulo p, la période divise e(p + 1).
(ii)' Soit
Exemple
et les
1 :
Reprenons la suite de Fibonacci. On a alors,
trois cas précédents sont
(i) p
= 5k ±
1,
la période divise p
(ii) p
= 5k ±
2,
la période divise 2(p +l) (c'est encore vrai pour p =
la période est égale à 20.
(iii) p =
5
,
?
1,
On en déduit aussitôt les propriétés de divisibilité suivantes
si p
si p
=
=
5k
±
1
5k
±
2 alors p divise
alors p divise F n lorsque p
?
1
divise n ,
F n lorsque p +
1
divise n ,
:
2)
[en effet, F. =
£Î^I
Pi
enfin si p =
divise n.
5
donc
P2
Fp+l =
Pi
on vérifie directement que
5
~P^= o],
~
P2
divise F n si et seulement si
5
Exemple 2 Le critère de Lucas peut être obtenu comme corollaire de l'étude
:
2w
-^?
?=
précédente. Soit
co~ 2m ,
-
le nombre d'or. On considère la suite d'entiers
m=l,2,
3, ..., ainsi r m =3,7, 47, ..., et on peut calculer
aisément les r m grâce à la relation évidente r m +1 =r2 ?2. En fait si
définie par L o =2,L1 =1, L n+2
dite de Lucas
(L n ) est la s.r.l.
=Lw+x+Ln pour n 0, on arm = LL 2 m . On a alors le critère de primalité
suivant.
rm =
co
+
?
Proposition
2.
SozY
M=Mp=2P?l,
si, et seulement si,
?
p
rp - 1
s _j
( moc j
M premier, M ? 8. 16"?
ce
Inversement, supposons
An
M
Alors
+3
e£
soit
est premier
=0 (mod M).
Supposons d'abord
?M+i
un nombre premier de la forme
le p lème nombre de Mersenne.
rr
qq
1
=
2 (mod
5),
donc
Uj implique bien
p_ x
=0 (mod M).
On a alors
M
(**)
Supposons que
M
se
décompose sous la forme
où les pi sont des nombres premiers de la forme 5a ±
± 2, et on a
1
et les q^ sont
des nombres premiers de la forme 5a
Comme les congruences (*) et (**) sont valables pour tout diviseur de
M, on voit que l'ordre de G) modulo chaque diviseur premier de M est
exactement P+1 Donc les p t et les qj sont respectivement de la forme
2P+l.2
.
Le premier cas est impossible puisqu'on aurait p t > M; le second cas n'est
donc
?
q j9 M est bien premier!
possible que pour k }
=letona
M=
Ce test s'applique par exemple pour p = 7 et montre que 127 est
premier, de la même manière (mais après plus de calculs !) on peut montrer
127 est aussi premier.
D'autres tests de primalité sur les nombres de Mersenne et de Fermât
figurent dans l'ouvrage de Sierpinski [56], chap. X.
que
M127M
U équation
2.
de
Pell-Fermat
r
une « conique » définie sur Z, elle peut alors être caractérisée
à coefficients entiers de la forme
équation
une
par
Soit
En multipliant cette équation par a, on a la forme équivalente (si a^O)
Si
a=oetc
Si a
=
c
=
x' = x + y, y'
ce
à
oon obtient
une écriture analogue.
non nul (sinon F est une droite) et en posant
y on peut mettre l'équation de F sous la forme
0 alors b est
= x ?
qui nous ramène au cas précédent.
Ainsi, par un changement convenable de coordonnées, on peut
l'étude de l'équation
se
limiter
?
pour c' > 0, F est une ellipse qui, bien entendu, n'a qu'un nombre
fini de coordonnées entières (que l'on peut calculer facilement),
?
pour c' = 0, F est une parabole, nous n'étudierons pas
encore déterminer facilement les points entiers de F),
?
pour c' < 0, F est une hyperbole et par un nouveau changement
coordonnées on peut mettre l'équation sous la forme
ce cas
(on peut
de
(E)
Nous excluons encore le cas trivial où k est nul. Nous sommes donc ramenés
à l'étude de cette équation, dite de Pell-Fermat. Si
D = 2 est le carré
d'un entier on a la décomposition
u2u
qu'un nombre fini de points que l'on trouve de manière évidente.
On supposera donc désormais que D n'est pas un carré.
La théorie de l'équation de Pell-Fermat est bien connue. On montre
(cf. par exemple Borevitch et Schafarevitch [10], chap. 11, § 5, Th. 1) qu'il
existe un nombre fini de solutions (x (1 \ )/ (1) ), ..., (x (k \ y {k) ) qui peuvent être
calculées effectivement, telles que toute solution (x, y) vérifie
et F n'a
où
1
i
k,
sgZ,etB
est
l'unité fondamentale de l'anneau
Z^D]
dont la norme est égale à 1.
On a donc les formules
et
Ceci montre qu'il existe un nombre fini de suites récurrentes binaires
(/c)
(k)
(1)
(1)
admettant toutes X2X 2 -(e+ e" 1 )^
comme échelle
, ...,
, ..., rj
, rj
telles que les solutions de l'équation (E) soient exactement les couples
-1
(Ç^Tii0), 1< î<fcetw>o.
Exemple
1 :
Considérons l'équation
On sait que l'unité fondamentale du corps Q(>/5) est le nombre d'or
oo
=
de conjugué
=? ?"
1
.
D'autre part l'anneau des
entiers de ce corps est principal, donc si x, y est une solution avec x > 0
0 tel que
et y
0, il existe n
On voit aussitôt que les deux signes doivent être + , donc
Ensuite, on constate que n doit être multiple de trois, soit
(1, 0), (9, 4), (161, 72), ... et elles
=
Les solutions sont donc (x s ,y s )
vérifient
On peut exprimer ces nombres en fonction des nombres de Fibonacci et
de Lucas,
[On
a plus généralement
L2L
?5F2 =(? 1)" 4 pour tout n
2
Exemple 2: Considérons l'équation
inconnus (et entiers
Si
n=
2m
+
mais comme
disons n
=
1
!).
Posons
X = 2x +
est impair, posons
/6\
?
I
I
x(x + 1)
y=
2 m,
= ?1, l'équation n'a
2m. Posons encore y
=
1 ;
=
3
.2k
?
5
0]
où x et k sont
l'équation devient
alors
pas de solution. Donc n est pair,
2 m, alors
Donc X = 3z et
On peut montrer (cf. [42]) que les solutions y
0 sont les valeurs de la
suite (y s ) définie par
Donc
y_ 2 = 16, y_ 1 =
=
4, y x = 11,
2 = 40... et on constate
seuls y 0 et y_ 2 sont des puissances de 2
qui correspondent aux deux solutions de l'équation initiale
...
5,
que pour les petites valeurs de
y0
|s|
y2y
et
Nous allons montrer que ce sont les seules. D'abord ce sont les seules
7 (i.e. m
pour k<6. Supposons que l'équation ait une solution avec k
alors y=yt ? 2 m . On vérifie sans peine que ceci impose
mod 16
(regarder y s modulo 32). On considère enfin (y s ) modulo 31, cette suite est
t=6
de période 32 (on a
I
?J
= ?1)
et
Mais, modulo 31, les puissances de 2 sont 1, 2, 4, 8 et 16. Donc
l'équation considérée n'a que les deux solutions notées précédemment.
La méthode appliquée ici est un cas particulier d'un algorithme général
présenté en [42] et qui s'applique à toutes les équations diophantiennes
de la forme f(x) = c a n , où
est un polynôme du second degré ; c'est
ainsi que l'on peut obtenir une nouvelle démonstration du fait que l'équation
de Ramanujan-Nagell 2 + 7 = 2" sont obtenues pour n = 3, 4, 5, 7, 15
(on considère des congruences modulo 7681, voir [43]).
.
/
x2x
Exemple 3: Nous allons montrer que les seuls carrés de la suite de
Lucas 2, 1, 3, 4, 7 ... sont 1 et 4 et que les seuls carrés de la suite de Fibo
nacci0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 ... sont 0, 1 et 144. Ce
résultat est dû à Cohn [20] (voir aussi le chapitre 8 du livre de Mordell [48]).
ce
qui permet d'étendre la définition de
les deux suites sont de période 6
ces suites
àn
0.
Modulo
4,
comme on le voit sur cette table.
2
FF
de la table on déduit que
De la relation hh n2
n = 4(- 1)" et
-5
Démontrons d'abord l'assertion sur Ln
Si n=2m est pair la formule L 2m
=L*?2 montre que L
n
ne peut être
un carré.
Supposons donc n impair. Il suffit de considérer le cas n > 0, et même
5 (L 1
=4 sont des carrés). On peut écrire
avec t = 3 r , k > 0, k = ±2 (mod 6) et c = 1 ou 3. Et les formules
Lk
jointes au fait que
Si
n=c+2.tk
=letL3
n
L
est un carré
n
(
est
impair montrent que
I=+l mais comme L
k
=3 (mod 4) c'est impossible.
Passons maintenant aux nombres de Fibonacci F n
Si n = 1 (mod 4), supposons
(sinon F n = 1 est un carré). Comme
3 r,
écrivons
haut
plus
modulo 6. Les
avec
.
n^l
n=l+2tk
t=
formules
et le
fait que L k est impair, impliquent
et comme nous l'avons déjà
n
=
k= ±2
1
et
Si n
Fn =
=
3
vu cette congruence est impossible. Donc
1.
(mod 4), le changement de n en
?n
nous ramène au cas
précédent.
Si
n=2n
est
pair alors F 2m = F m L m
=x2
et on peut supposer
m>o
?Sim
conséquent m =
?Sim=o (mod 3)
ou
1
3,
Fn =
alors (F m ,
4
1
=1
donc F m =y2 et L m = z 2 . Par
ou 8; le seul carré est encore 1.
Lm)
0 (mod 3) on a (F m9
Lm)
- 5/
=2et
donc F m
=2y2
et
Lm
=2 z 2
.
qui est impossible modulo 8.
Si m=2m' alors F m L m =2 y 2 . Si m' est impair on a F m / =2t2
et L m , =w2 donc m! = 1 ou 3etFn = 1 ou 144. Si m' est pair alors
FF
3
dans ce cas, tout ce qui précède montre que n=3.2Ss
m =t2;
et que les nombres de Fibonacci d'indices n/4, n/16 ... sont tous des
carrés mais, comme 6 =Bet 48 ne sont pas des carrés, ce dernier cas
est impossible. [Il n'est pas nécessaire de calculer i7^ : si
48 =x2
alors F24 =2y2 puis 12 =2 z 2 , mais 12 = 322.]
Si m est
impair on
a
z4z
,
= ?1,
ce
.
>
F6F
F4BF
F4BF
Ll2L
Ll2L
II.
MÉTHODES p-ADIQUES
Pour une introduction aux nombres p-adiques, le lecteur pourra consulter
Borevitch et Schafarevitch [10] ou J. P. Serre [54], et pour une étude plus
détaillée de l'analyse p-adique Y. Amice [2] ou K. Mahler [36].
1.
Le théorème de Skolem-Mahler
Théorème. Soit (£?) une suite récurrente linéaire à valeurs entières.
Alors V ensemble des indices n tels que £,? soit nul est égal à une union
finie de progressions arithmétiques (certaines de ces progressions peuvent être
de raison nulle et V union peut même être vide !).
Comme en A.1.3, écrivons
£?
sous la forme
à coefficients dans le corps de nombres L
soit
idéal premier de L tel que les ©„ soient
et
),
un
...,(ù
k
,
tous des
Il est facile de voir que, pour tout 8 > 0, il existe un
les
=
Pj étant des polynômes
Q(cù 1
entier T tel que
En particulier,
il
existe un entier T tel que chacune des T fonctions
(à valeurs dans le complété L^p de L)
soient
où exp et Log sont l'exponentielle et le logarithme
définies et analytiques pour x parcourant l'anneau Z p des entiers p-adiques
(p étant le nombre premier au-dessous de Ss).