DS 2

PSI* — 2016/2017 Le 01/10/2016.
D.S. 2 (4 heures)
Exercice
Soit n≥1un entier. On considère la matrice carrée d’ordre nà coefficients réels Asuivante :
A=
2−1 0 ··· 0
−1 2 −1....
.
.
0−1 2 ...0
.
.
.......2−1
0· · · 0−1 2
.
Plus précisément, si l’on désigne par a
i,j
le coefficient de Asitué sur la i-ième ligne et la j-ième colonne,
pour n≥2, tous les a
i,j
sont nuls, sauf :
a
i,i
= 2 pour i= 1, . . . , n et a
i,i+1
=a
i+1,i
=−1pour i= 1, . . . , n −1
et, pour n= 1,Aest la matrice à une ligne et une colonne dont le seul élément est a
1,1
= 2.
1) Pour chaque kde {1, . . . , n}on pose λ
k
= 2 1−cos kπ
n+ 1. En simplifiant l’expression
−sin (p−1) θ+ 2 sin pθ−sin (p+ 1) θ,
montrer que les λ
k
sont les valeurs propres de Aet indiquer une base de vecteurs propres de A, par
leurs composantes sur la base canonique (e
1
, . . . , e
n
)de R
n
.
2) On se propose de déterminer autrement les valeurs propres de A.
On désigne par Ila matrice identité d’ordre net l’on pose B=A−2I.
Pour chaque n≥1, on désigne par P
n
le polynôme caractéristique de B:P
n
:x→ det (xI −B).
a) Déterminer une relation de récurrence entre P
n
(x),P
n+1
(x)et P
n+2
(x).
b) Pour xappartenant à l’intervalle ]−2,2[, on pose θ= arccos x
2.
Donner une expression simple de P
n
(x)en fonction de θ.
Déterminer alors les valeurs propres de B, puis celles de A.
Problème A
Dans tout le problème, ndésigne un entier naturel supérieur ou égal à 2, Eun C-espace vectoriel
de dimension net B= (e
1
, . . . , e
n
)une base de E. On note M
n
(C)l’ensemble des matrices carrées
d’ordre nà coefficients complexes et, si Aen est un élément, le polynôme caractéristique de Asera
χ
A
(t) = det (tI
n
−A), où I
n
désigne la matrice unité de M
n
(C).
Pour A= (a
i,j
)dans M
n
(C), on note Ala matrice de terme général a
i,j
et A
∗
la transposée de A.
Partie I
On considère des complexes a
0
, . . . , a
n−1
et l’on note u(resp. w) l’endomorphisme de Edont la matrice
dans la base Best A(resp. W), où
A=
a
0
a
1
a
2
··· a
n−2
a
n−1
a
n−1
a
0
a
1
......a
n−2
a
n−2
a
n−1
..........
.
.
.
.
..........a
1
a
2
a
2
......a
0
a
1
a
1
a
2
· · · a
n−2
a
n−1
a
0
et W=
0 1 0 · · · 0 0
0 0 1 ......0
0 0 ..........
.
.
.
.
..........1 0
0......0 1
1 0 · · · 0 0 0
On note enfin P(X) = a
0
+a
1
X+···+a
n−1
X
n−1
=
n−1
k=0
a
k
X
k
.

PSI* — 2016/2017 — D.S. 2 (4 heures) Page 2/4
1) a) Pour kcompris entre 1 et n, expliciter w(e
k
).
b) Pour 1≤p≤n,1≤k≤n, calculer w
p
(e
k
)(faire une récurrence sur p).
En déduire que w
n
= Id
E
.
c) Établir que west diagonalisable, donner son spectre et ses sous-espaces propres. Prouver qu’il existe
Uinversible telle que U
∗
=U
−1
vérifiant : U
∗
W U est diagonale.
2) On note C[W]l’ensemble des R(W), lorsque Rparcourt C[X].
a) Montrer que, si une matrice Mest élément de C[W], alors U
∗
MU est diagonale.
b) Établir que tout élément de C[W]commute avec W.
c) Soit Mune matrice qui commute avec W; on note ml’endomorphisme représenté par Mdans la
base B. Montrer que tout sous-espace propre de west stable par m. En déduire que U
∗
MU est
diagonale, puis que Mest élément de C[W](on montrera que U
∗
MU est un polynôme en U
∗
W U).
Conclusion ?
d) Diagonaliser A.
3) On note Qle polynôme caractéristique de A. En utilisant 2)d), prouver que les racines de Qsont
réelles si et seulement si A
∗
=A.
Partie II : application aux équations algébriques de degré 3
Ici n= 3 et W=
0 1 0
0 0 1
1 0 0
.
On considère le polynôme à coefficients réels Q(X) = X
3
+pX +q,p= 0.
1) Soit A=
0b c
c0b
b c 0
. Montrer que Q=χ
A
si et seulement si
b
3
+c
3
=−q
3bc =−p
et qu’il existe (b, c)dans C
2
vérifiant ce système.
2) (b, c)étant ainsi choisi, exprimer Acomme un polynôme en Wet en déduire les racines de Q.
3) a) En utilisant le I.3), donner une condition nécessaire et suffisante simple sur bet cpour que les
racines de Qsoient réelles.
b) À l’aide de II.1), prouver que les racines de Qsont réelles si et seulement si 4p
3
+ 27q
2
≤0.
4) Exemple : trouver les racines de Q(X) = X
3
−2X−12.
5) Pour P(X) = X
3
+αX
2
+βX +γ, en calculant P(X+t), montrer que la recherche des racines de P
peut se ramener au cas précédent (i.e. le cas α= 0).
Problème B
Notations
Kdésigne Rou C. Soit nun entier supérieur ou égal à 1. I
n
désigne la matrice identité de M
n
(K).
Si fest un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension nreprésenté par la matrice Adans
une base donnée, on note Sp fou Sp Al’ensemble des valeurs propres de f,χ
f
ou χ
A
son polynôme
caractéristique et Tr fou Tr Asa trace.
En outre, si Aappartient à M
n
(R), on note Sp
C
Al’ensemble des valeurs propres de A, lorsque Aest
considérée comme un élément de M
n
(C).
K[X]est le K-espace vectoriel des polynômes à coefficients dans Ket N
n
est l’ensemble {1,2, . . . , n}.

PSI* — 2016/2017 — D.S. 2 (4 heures) Page 3/4
Partie I
Le but de la partie Iest de prouver le théorème de C-H, que l’on n’utilisera donc pas
dans cette partie.udésigne un endomorphisme de K
n
.
1) Soit Fun sous-espace vectoriel de K
n
, stable par u.
Si vdésigne l’endomorphisme induit par usur F, montrer que χ
v
divise χ
u
.
2) Pour tout xélément de K
n
, on définit l’ensemble F
u
(x)par :
F
u
(x) = y∈K
n
/∃P∈K[X]y=P(u) (x).
Montrer que F
u
(x)est un sous-espace vectoriel de K
n
stable par u.
3) Dans cette question, on suppose que xest un élément non nul de K
n
.
a) Montrer l’existence d’un plus petit entier naturel qpour lequel la famille de vecteurs
x, u (x), . . . , u
q
(x)est liée. Pour la fin de cette partie, qest ainsi fixé.
b) Soit (a
0
, a
1
, . . . , a
q
)une famille de scalaires non tous nuls telle que
q
j=0
a
j
.u
j
(x) = 0 et Sle polynôme
de K[X]défini par S(X) =
q
j=0
a
j
.X
j
.
Montrer que a
q
est non nul, puis que x, u (x), . . . , u
q−1
(x)est une base de F
u
(x).
c) Pour tout i∈ {0,1, . . . , q}, on pose α
i
=a
i
a
q
et l’on note vl’endomorphisme induit par usur F
u
(x).
Montrer que
χ
v
(X) =
q
i=0
α
i
.X
i
,
donner la valeur de χ
v
(u) (x)et en déduire que :
le polynôme caractéristique de uest un polynôme annulateur de u.
Partie II
Pour toutes matrices Aet Bde M
n
(R)on note h
A,B
l’endomorphisme de M
n
(R)défini par :
∀M∈ M
n
(R)h
A,B
(M) = AM −MB
et ˜ h
A,B
l’endomorphisme de M
n
(C)défini par :
∀M∈ M
n
(C)˜ h
A,B
(M) = AM −MB.
1) Soient A
0
et B
0
les matrices de M
2
(R)données par :
A
0
=0 2
−1 3 , B
0
=2 2
−1−1
a) Déterminer Sp
C
A
0
et Sp
C
B
0
.
b) On considère la base canonique B=E
1,1
, E
1,2
, E
2,1
, E
2,2
de M
2
(R)et on note H
0
la matrice dans
cette base de l’endomorphisme h
A
0
,B
0
.
Déterminer H
0
, puis Sp
C
H
0
et vérifier que
Sp
C
H
0
=a−b, (a, b)∈Sp
C
A
0
×Sp
C
B
0
.
c) Montrer que A
0
et B
0
sont diagonalisables dans M
2
(R). En est-il de même de H
0
dans M
4
(R)?
Soient maintenant Aet Bquelconques dans M
n
(R).
On se propose d’étudier les liens existant entre la diagonalisabilité de Aet Bet celle de h
A,B
.

PSI* — 2016/2017 — D.S. 2 (4 heures) Page 4/4
2) Soient a∈Sp
C
Aet b∈Sp
C
B. Montrer qu’il existe (V, W)∈(C
n
\ {0})
2
vérifiant les trois conditions
suivantes :
AV =a.V ,
t
WB =b.
t
Wet V
t
West vecteur propre de ˜ h
A,B
.
En déduire l’inclusion : a−b, (a, b)∈Sp
C
A×Sp
C
B⊂Sp ˜ h
A,B
.
3) Soient (X
i
)
1≤i≤n
et (Y
j
)
1≤j≤n
deux bases de R
n
.
Montrer que la famille de matrices X
it
Y
j
1≤i,j≤n
est une base de M
n
(R).
En déduire que, si Aet Bsont diagonalisables dans M
n
(R), il en est de même de h
A,B
.
Calculer dans ce cas Tr h
A,B
.
4) On note a
1
, a
2
, . . . , a
n
les valeurs propres, non nécessairement distinctes, de Adans C. En exprimant
χ
A
en fonction des a
i
, montrer que la matrice χ
A
(B)est inversible si et seulement si
Sp
C
A∩Sp
C
B=∅.
5) Soient λ∈Sp ˜ h
A,B
et Mun vecteur propre associé.
a) Montrer que, pour tout polynôme Pde C[X], on a la relation : P(A)×M=M×P(B+λ.I
n
).
b) Montrer que χ
A
(B+λ.I
n
)est non inversible.
c) En déduire, en utilisant II.2 et II.4 :
Sp ˜ h
A,B
=a−b, (a, b)∈Sp
C
A×Sp
C
B.
6) Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe Mnon nulle dans M
n
(C)telle que
AM =MB.
Dans toute la suite du problème, on suppose B=Aet on considère l’endomorphisme h
A,A
que l’on
notera plus simplement h
A
.
7) On suppose Adiagonalisable dans M
n
(R)et l’on note (V
1
, V
2
, . . . , V
n
)une base de vecteurs propres de
A, chaque vecteur V
i
étant associé à la valeur propre λ
i
. Pour tout (i, j)∈N
2
n
, on définit la matrice
M
i,j
de M
n
(R)par :
∀k∈N
n
M
i,j
V
k
=δ
j,k
.V
i
où δ
j,k
=1si j=k
0si j=k.
a) Montrer que la famille de matrices (M
i,j
)
1≤i,j≤n
est une base de M
n
(R).
b) Montrer que, pour tout (i, j, k)∈N
3
n
:
h
A
(M
i,j
)V
k
= (λ
i
−λ
j
).M
i,j
V
k
et en déduire que les matrices M
i,j
sont des vecteurs propres de h
A
.
c) On note µ
1
, µ
2
, . . . , µ
p
les valeurs propres distinctes de A,m
1
, m
2
, . . . , m
p
leurs ordres de multiplicité
respectifs et J=(i, j)∈N
2
n
/ λ
i
=λ
j
. Montrer que :
Ker h
A
= Vect {M
i,j
,(i, j)∈J}et dim Ker h
A
=
p
i=1
m
2
i
.
d) Montrer que dim Ker h
A
≥net que l’égalité a lieu si et seulement si Aadmet nvaleurs propres
distinctes.
e) On note R[A] = {Q∈ M
n
(R)/∃P∈R[X]Q=P(A)}. Montrer que si les nvaleurs propres
de Asont distinctes, I
n
, A, A
2
, . . . , A
n−1
constitue une base de R[A]et en déduire dans ce cas
Ker h
A
=R[A].
8) On suppose h
A
diagonalisable et on note (P
i,j
)
1≤i,j≤n
une base de vecteurs propres de h
A
, chaque
matrice P
i,j
étant associée à la valeur propre λ
i,j
.
Montrer que si Xest un vecteur propre de Aassocié à la valeur propre λ, la famille (P
i,j
X)
1≤i,j≤n
est
une famille génératrice de R
n
et en déduire que Aest diagonalisable.