CONGRUENCES DANS Z 1 Définition des - univers

CONGRUENCES DANS Z
Jean Chanzy
Université de Paris-Sud ∗
1 Définition des congruences :
Soient aet bdeux entiers relatifs, et nun entier naturel non nul.
Définition 1.1. On dit que aet bsont congrus modulo nsi aet bont même reste dans la division
euclidienne par n.
Notation : On note a≡b(n)ou a≡b(mod n).
Théorème 1 aet bont même reste dans la division euclidienne par nsi et seulement si a−best
divisible par n.
Démonstration :
1. Si aet bont même reste rdans la division euclidienne par n,a=nq1+ret b=nq2+r, avec
q1∈Z,q2∈Zet 0≤r < n. Alors a−b=nq1+r−(nq2+r) = n(q1−q2), donc n|(a−b).
2. Réciproquement, si n|(a−b),∃k∈Ztel que a−b=kn.Soit rle reste de la division euclidienne de
bpar n, alors b=nq +r, avec q∈Zet 0≤r < n. Donc a=b+kn =nq +r+kn = (q+k)n+r,
avec 0≤r < n et (q+k)∈Z.rest donc aussi le reste de la division euclidienne de apar n.
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Corollaire 1 D’après le théorème précédent, a≡b(n)si et seulement si n|(a−b).
2 Propriétés des congruences :
Soient a,b,c,a′et b′des entiers relatifs, et nun entier naturel non nul.
Propriétés
1. n|asi et seulement si a≡0 (n),
2. n≡0 (n),
3. a≡a(n),
4. Si a≡b(n)et b≡c(n), alors a≡c(n)(on dit que la relation de congruence modulo nest
transitive),
5. Si a≡b(n)et a′≡b′(n), alors a+a′≡b+b′(n),
6. Si a≡b(n)et a′≡b′(n), alors a×a′≡b×b′(n),
7. Si a≡b(n), alors ∀p∈N∗,ap≡bp(n)
8. Simplification dans une congruence : Si a×c≡b×c(n)et cest premier avec n, alors
a≡b(n).
Démonstration :
1. Conséquence directe du corollaire 1,
2. n|n, donc n|(n−0) et n≡0 (n),
∗Université de Paris-Sud,Bâtiment 425;F-91405 Orsay Cedex
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3. n|0, donc n|(a−a), donc a≡a(n),
4. Si n|(a−b)et n|(b−c),n|(a−b+b−c)donc n|(a−c),
5. Si n|(a−b)et n|(a′−b′),n|(a−b+a′−b′)donc n|(a+a′−(b+b′)),
6. Si n|(a−b)et n|(a′−b′), comme aa′−bb′= (a−b)a′+b(a′−b′),n|(aa′−bb′),
7. Si n|(a−b), comme ap−bp= (a−b)(ap−1+ap−2b+...+abp−2+bp−1,n|(ap−bp),
8. Pour cette démonstration, nous aurons besoin du théorème de Gauss :
Théorème 2 dit de Gauss Soient α,βet γtrois entiers relatifs non nuls. Si α|βγ et αest
premier avec β,α|γ.
Démonstration du théorème de Gauss : On démontre ce théorème dans le cas d’entiers naturels.
Soient p1, p2,..., prles nombres premiers de la décomposition de α, β et γen facteurs premiers,
et q1, q2,..., qr,s1, s2,..., sr,u1, u2,..., urdes entiers naturels tels qu’on puisse écrire
α=pq1
1×pq2
2×...×pqr
r,β=ps1
1×ps2
2×...×psr
ret γ=pu1
1×pu2
2×...×pur
r. Comme α|βγ, pour
tout itel que 1≤i≤r,qi≤si+ui. Comme αest premier avec β, si qi6= 0, alors si= 0, et si
si6= 0, alors qi= 0. Si qi6= 0, alors qi≤ui. Or dans la décomposition de αen facteurs premiers
n’apparaissent que des termes où qi6= 0, et dans la décomposition de βen facteurs premiers
n’apparaissent que des termes où sj6= 0, avec j6=i. Donc les nombres premiers qui apparaissent
dans la décomposition de αn’apparaissent que dans la décomposition de γet non dans celle de β,
et de plus pour tout itel que qi6= 0,qi≤ui, donc on a bien α|γ.2
Démontrons maintenant la huitième propriété : Si n|(a×c−b×c),n|((a−b)×c). Comme cest
premier avec n, par le théorème de Gauss, n|(a−b).
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3 Critères de divisibilité :
1. Un entier naturel est divisible par 10 s’il se termine par 0.
2. Un entier naturel est divisible par 2s’il se termine par un chiffre pair.
3. Un entier naturel est divisible par 5s’il se termine par 0ou 5.
4. Un entier naturel est divisible par 3(respectivement par 9) si la somme de ses chiffres est divisible
par 3(respectivement par 9).
5. Un entier naturel est divisible par 4(respectivement par 25) si le nombre formé par ses deux
derniers chiffres est divisible par 4(respectivement par 25).
6. Un entier naturel est divisible par 8(respectivement par 125) si le nombre formé par ses trois
derniers chiffres est divisible par 8(respectivement par 125).
7. Un entier naturel est divisible par 11 si la différence entre la somme de ses chiffres de rang pair et
la somme de ses chiffres de rang impair est divisible par 11.
Démonstration : Soit N=anan−1...a1a0un entier naturel. On peut écrire
N=an10n+an−110n−1+...+ 10a1+a0.
1. ∀p∈ {1; 2; ...;n−1; n},10p≡0 (10), donc N≡a0(10).10|Nsi et seulement si a0= 0.
2. ∀p∈ {1; 2; ...;n−1; n},10p≡0 (2), donc N≡a0(2).2|Nsi et seulement si 2|a0.
3. ∀p∈ {1; 2; ...;n−1; n},10p≡0 (5), donc N≡a0(5).5|Nsi et seulement si 5|a0.
4. ∀p∈ {1; 2; ...;n−1; n},10p≡1 (3), donc N≡(an+an−1+...+a1+a0) (3).3|Nsi et seulement
si 3|(an+an−1+...+a1+a0) (3). Idem pour 9.
5. ∀p∈ {2; ...;n−1; n},10p≡0 (4), donc N≡a1a0(4).4|Nsi et seulement si 4|a1a0. Idem pour
25.
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6. ∀p∈ {3; ...;n−1; n},10p≡0 (8), donc N≡a2a1a0(8).8|Nsi et seulement si 8|a2a1a0. Idem
pour 125.
7. ∀p∈ {1; 2; 3; ...;n−1; n},10p≡(−1)p(11), donc N≡(a0−a1+...+(−1)n−1an−1+(−1)nan) (11).
11|Nsi et seulement si 11|(a0−a1+...+ (−1)n−1an−1+ (−1)nan).
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