Chapitre 4.9a – La quantité de mouvement relativiste

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Chapitre 4.9a – La quantité de mouvement relativiste
Deux usages au facteur de Lorentz
Le facteur de Lorentz apparaît régulièrement dans les équations relativistes. Nous avons vu que le
facteur
est utilisé dans les transformations de Lorentz de la position et du temps. Le calcul du facteur
fait intervenir la vitesse relative ABx v entre deux référentiels A et B où il y aura transformation de
valeur de position et de temps :
Exemple : Temps propre mesuré dans A et transformé vers B.
Vitesse relative : ABx v
Facteur gamma : 2
2
AB /1/1 cvx
Temps propre : A T
Temps dilaté : AB TT
Le facteur de Lorentz peut également être employé dans la définition d’une grandeur physique ou
dans une loi physique. Dans ce cas, le calcul du facteur fait intervenir la vitesse A v
 de l’objet dans
un référentiel A. Voici les notations que nous utiliserons :
Une particule O se déplace avec un module de
vitesse OA v dans un référentiel A :
Une particule O se déplace selon l’axe x avec une
vitesse OAx v dans un référentiel A :
2
2
OAOA /1/1 cv
où 2
OA
2
OA
2
OAOA zyx vvvv 
2
2
OAOA /1/1 cvxx 
où 0
OA y
v, 0
OA  z
v
La conservation de la quantité de mouvement
La quantité mouvement
p
 permet d’évaluer l’état
de mouvement d’un objet ou d’un système. Selon
Newton, lorsqu’il n’y a pas de force extérieure
exercée sur un système ( 0
ext F
), cette quantité
doit être conservée (1ière loi de Newton). C’est ce
qui se produit lors d’une collision. Plusieurs
forces normales sont en jeux, mais puisqu’elles se
retrouvent en paire action-réaction, leurs
influences ne modifient pas la quantité de
mouvement du système (3ième loi de Newton).
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En mécanique classique, la quantité de mouvement
p
se définit comme étant le produit de la masse de
l’objet au repos m multipliée par la vitesse ordinaire de l’objet v
( vm
p
). Puisque la vitesse dépend
du choix de référentiel, la quantité de mouvement aussi dépend du choix de référentiel. Cependant, le
1ier postulat de la relativité impose que les lois physiques sont les mêmes dans tous les référentiels
inertiels. S’il existe un référentiel inertiel observant la conservation de la quantité de mouvement, alors
tous les autres référentiels doivent observer également cette conservation, mais avec des valeurs
numériques différentes.

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Situation A : La collision élastique classique d’un électron et d’un positron. Dans un accélérateur de
particule, un électron ( kg1011,9 31
e
m) se déplace vers la droite avec une vitesse de c7,0 et entre
en collision élastique avec un positron ( kg1011,9 31
e
m) se déplaçant vers la gauche avec une
vitesse de c7,0 . Après la collision, l’électron se déplace vers le haut avec une vitesse de c7,0 et le
positron se déplace vers le bas avec une vitesse de c7,0 . On désire vérifier si la quantité de mouvement
classique xx mvp  est conservée (a) selon l’accélérateur de particule et (b) selon un observateur se
déplaçant vers la droite à c7,0 par rapport à l’accélérateur de particule.
Dans ce problème, nous avons deux référentiels et deux objets à étudier :
A : L’accélérateur de particule 1 : Électron
B : Observateur à c7,0 2 : Positron
Voici deux représentations graphiques du mouvement de l’électron et du positron selon nos deux
référentiels :
Selon l’accélérateur de particule Selon l’observateur à c7,0
c7,0 c7,0
c7,0
c7,0
2Bx
v
2B
v
1B
v
Selon l’accélérateur de particule, nous avons les mesures de vitesses suivantes :
Vitesses des particules (selon le référentiel de l’accélérateur A)
Vitesse initiale Vitesse finale
l’électron positron l’électron positron
cvx7,0
A1 
0
A1  y
v
cvx7,0
A2
0
A2 y
v
0
A1 x
v
cvy7,0
A1
0
A2  x
v
cvy7,0
A2 
Vitesse relative entre les référentiels
Vitesse de l’observateur B par rapport à l’accélérateur A cvx7,0
BA 
Vitesse de l’accélérateur A par rapport à l’observateur B cvx7,0
AB 

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Évaluons la quantité de mouvement classique selon l’axe x de l’électron (1) et du positron (2) avant
collision et après la collision selon l’accélérateur (A) :
Avant la collision : (Référentiel A)
Électron 1 : A11A1 xx vmp   cpx7,01011,9 31
A1
 m/skg10913,1 22
A1   x
p
Positron 2 : A22A2 xx vmp  
cpx7,01011,9 31
A2  
 m/skg10913,1 22
A2   x
p
Après la collision : (Référentiel A)
Électron 1 : A11A1 xx vmp   m/skg0
A1  x
p (0
A1  x
v)
Positron 2 : A22A2 xx vmp   m/skg0
A2  x
p (0
A2  x
v)
(a) Nous observons qu’il y a conservation de la quantité de mouvement selon l’accélérateur (A) :
 if pp   ixixfxfx pppp A2A1A2A1
2222 10913,110913,100  
 00  ■
Évaluons la vitesse selon l’axe x de l’électron (1) et du positron (2) selon l’observateur à c7,0 (B).
Pour ce faire, nous devons utiliser les transformations de Lorentz des vitesses parallèles du référentiel
de l’accélérateur (A) vers le référentiel de l’observateur (B) :
Avant la collision : (Référentiel B)
Électron 1 :
c
v
c
vvv
v
xx
xx
x
ABA1
ABA1
B1
1
cc cccc
vx7,07,0
1
7,07,0
B1
0
B1 x
v
Positron 2 :
c
v
c
vvv
v
xx
xx
x
ABA2
ABA2
B2
1
cc cccc
vx7,07,0
1
7,07,0
B2
 cvx9396,0
B2

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Après la collision : (Référentiel B)
Électron 1 :
c
v
c
vvv
v
xx
xx
x
ABA1
ABA1
B1
1
cc c
c
vx7,0
0
1
7,00
B1
 cvx7,0
B1
Positron 2 :
c
v
c
vvv
v
xx
xx
x
ABA2
ABA2
B2
1
 cvx7,0
B2
(Idem : B1B2 xx vv )
Évaluons la quantité de mouvement classique selon l’axe x de l’électron (1) et du positron (2) avant
collision et après la collision selon l’observateur à c7,0 (B) :
Avant la collision : (Référentiel B)
Électron 1 : B11B1 xx vmp   01011,9 31
B1
x
p
 m/skg0
B1  x
p
Position 2 : B22B2 xx vmp  
cpx9396,01011,9 31
B2  
 m/skg10568,2 22
B2  
x
p
Après la collision : (Référentiel B)
Électron 1 : B11B1 xx vmp   cpx7,01011,9 31
B1  
 m/skg10913,1 22
B1  
x
p
Position 2 : B22B2 xx vmp  
cpx7,01011,9 31
B2  
 m/skg10913,1 22
B2  
x
p
(b) Nous observons qu’il n’y a pas conservation de la quantité de mouvement selon l’observateur à
c7,0 :
 if pp   ixixfxfx pppp A2A1A2A1
222222 10568,2010913,110913,1  
 2222 10568,210826,3   ■

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La quantité de mouvement relativiste
En relativité, nous devons modifier l’expression de la quantité de
mouvement classique vm
p
 puisqu’elle n’est valide que dans le
référentiel de l’objet en mouvement. Dans ce référentiel, cette
quantité de mouvement est nulle puisque l’objet est immobile
dans son référentiel. Ainsi, pour préserver la conservation de la
quantité de mouvement dans tous les référentiels, il faut
reformuler la quantité de mouvement.
Ainsi, l’expression relativiste de la quantité de mouvement d’une
masse au repos m qui est observée se déplaçant à une vitesse
v
sera égale à l’expression suivante :
v
x
y
z
Référentiel observant
l’objet en mouvement
p
vmp 
(expression vectorielle) xxx mvp
(selon l’axe x uniquement)
où
p
 : Quantité de mouvement de l’objet ( m/skg
)
m : Masse de l’objet mesuré au repos (kg)
0
v
 : Vitesse propre de l’objet (m/s) ( vv
0 )
v
 : Vitesse ordinaire de l’objet (m/s) ( 222 zyx vvvv  )
: Facteur gamma avec vitesse ordinaire de l’objet ( 22 /1/1 cv )
Preuve :
Considérons une particule O immobile
dans son propre référentiel possédant une
masse au repos égale à m. Étant immobile,
sa quantité de mouvement dans son
référentiel est nulle ce qui donne
0
d
d
O
O
OO  t
r
mvmp
 .
0
O
v
O
O
x
O
y
O
z
Référentiel O
OA
v
O
A
x
A
y
A
A
z
Référentiel A
Considérons maintenant un référentiel A observant la particule O
en mouvement à vitesse OA
v
selon un axe w tel que
2
OA
2
OA
2
OAOAOAOA zyxw vvvvvv 
permettant de décomposer la vitesse selon l’axe x, y et z tel que
xwx vv
cos
OAOA , ywy vv
cos
OAOA , zwz vv
cos
OAOA
OA
v
O
A
x
A
y
A
A
z
A
w
x
y
Référentiel A