Chapitre 4.9a – La quantité de mouvement relativiste

Chapitre 4.9a – La quantité de mouvement relativiste
Deux usages au facteur de Lorentz
Le facteur de Lorentz  apparaît régulièrement dans les équations relativistes. Nous avons vu que le
facteur  est utilisé dans les transformations de Lorentz de la position et du temps. Le calcul du facteur
 fait intervenir la vitesse relative v xAB entre deux référentiels A et B où il y aura transformation de
valeur de position et de temps :
Exemple :
Temps propre mesuré dans A et transformé vers B.
Vitesse relative :
v xAB
Temps propre :
TA
Facteur gamma :
  1 / 1  v xAB 2 / c 2
Temps dilaté :
TB   TA
Le facteur de Lorentz  peut également être employé dans la définition d’une grandeur physique ou

dans une loi physique. Dans ce cas, le calcul du facteur  fait intervenir la vitesse v A de l’objet dans
un référentiel A. Voici les notations que nous utiliserons :
Une particule O se déplace avec un module de
vitesse v OA dans un référentiel A :
Une particule O se déplace selon l’axe x avec une
vitesse v xOA dans un référentiel A :
 OA  1 / 1  v OA 2 / c 2
2
2
où v OA  v xOA  v yOA  v zOA
 xOA  1 / 1  v xOA 2 / c 2
où v yOA  0 , v zOA  0
2
La conservation de la quantité de mouvement

La quantité mouvement p permet d’évaluer l’état
de mouvement d’un objet ou d’un système. Selon
Newton, lorsqu’il n’y a pas
 de force extérieure
exercée sur un système ( Fext  0 ), cette quantité
doit être conservée (1ière loi de Newton). C’est ce
qui se produit lors d’une collision. Plusieurs
forces normales sont en jeux, mais puisqu’elles se
retrouvent en paire action-réaction, leurs
influences ne modifient pas la quantité de
mouvement du système (3ième loi de Newton).
https://abdurahmaankenny.wordpress.com/

En mécanique classique, la quantité de mouvement p se définit comme étant le produit de la masse de
 

l’objet au repos m multipliée par la vitesse ordinaire de l’objet v ( p  mv ). Puisque la vitesse dépend
du choix de référentiel, la quantité de mouvement aussi dépend du choix de référentiel. Cependant, le
1ier postulat de la relativité impose que les lois physiques sont les mêmes dans tous les référentiels
inertiels. S’il existe un référentiel inertiel observant la conservation de la quantité de mouvement, alors
tous les autres référentiels doivent observer également cette conservation, mais avec des valeurs
numériques différentes.
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 1
Situation A : La collision élastique classique d’un électron et d’un positron. Dans un accélérateur de
particule, un électron ( me  9,11  10 31 kg ) se déplace vers la droite avec une vitesse de 0,7 c et entre
en collision élastique avec un positron ( m e  9,11  10 31 kg ) se déplaçant vers la gauche avec une
vitesse de 0,7 c . Après la collision, l’électron se déplace vers le haut avec une vitesse de 0,7 c et le
positron se déplace vers le bas avec une vitesse de 0,7 c . On désire vérifier si la quantité de mouvement
classique p x  mv x est conservée (a) selon l’accélérateur de particule et (b) selon un observateur se
déplaçant vers la droite à 0,7 c par rapport à l’accélérateur de particule.
Dans ce problème, nous avons deux référentiels et deux objets à étudier :
A : L’accélérateur de particule
B : Observateur à 0,7 c
1 : Électron
2 : Positron
Voici deux représentations graphiques du mouvement de l’électron et du positron selon nos deux
référentiels :
Selon l’accélérateur de particule
Selon l’observateur à 0,7 c
v B1
0,7 c
0,7 c
0,7 c
v xB 2
0,7 c
vB2
Selon l’accélérateur de particule, nous avons les mesures de vitesses suivantes :
Vitesses des particules (selon le référentiel de l’accélérateur A)
Vitesse initiale
Vitesse finale
l’électron
positron
l’électron
positron
v x1A  0,7 c
v y1A  0
v x 2 A  0,7 c
v y 2A  0
v x1A  0
v y1A  0,7 c
v x 2A  0
v y 2 A  0,7 c
Vitesse relative entre les référentiels
Vitesse de l’observateur B par rapport à l’accélérateur A
v xBA  0,7 c
Vitesse de l’accélérateur A par rapport à l’observateur B
v xAB  0,7 c
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 2
Évaluons la quantité de mouvement classique selon l’axe x de l’électron (1) et du positron (2) avant
collision et après la collision selon l’accélérateur (A) :
Avant la collision :
Électron 1 :
Positron 2 :
(Référentiel A)
p x1A  m1v x1A
p x 2 A  m2 v x 2 A
Après la collision :



p x1A  9,11  10 31 0,7 c 

p x1A  1,913  10 22 kg  m/s

p x 2 A  9,11  10 31  0,7 c 

p x 2 A  1,913  10 22 kg  m/s


(Référentiel A)
Électron 1 :
p x1A  m1v x1A

p x1A  0 kg  m/s
( v x1A  0 )
Positron 2 :
p x 2 A  m2 v x 2 A

p x 2 A  0 kg  m/s
( v x 2A  0 )
(a) Nous observons qu’il y a conservation de la quantité de mouvement selon l’accélérateur (A) :



p x1A f  p x 2 A f  p x1A i  p x 2 A i
 p f   pi

0  0  1,913  10 22    1,913  10 22 

00 ■
Évaluons la vitesse selon l’axe x de l’électron (1) et du positron (2) selon l’observateur à 0,7 c (B).
Pour ce faire, nous devons utiliser les transformations de Lorentz des vitesses parallèles du référentiel
de l’accélérateur (A) vers le référentiel de l’observateur (B) :
Avant la collision :
Électron 1 :
Positron 2 :
v x1B 
v x 2B 
(Référentiel B)
v x1A  v xAB
 v  v 
1   x1A  xAB 
 c  c 
v x 2 A  v xAB
 v  v 
1   x 2 A  xAB 
 c  c 
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
0,7 c    0,7 c 

v x1B 

v x1B  0

v x 2B 

v x 2 B  0,9396 c
 0,7 c   0,7 c 
1 


 c  c 
 0,7 c    0,7 c 
  0,7 c   0,7 c 
1 


 c  c 
Page 3
Après la collision :
Électron 1 :
Positron 2 :
v x1B
(Référentiel B)
v x1A  v xAB


 v x1A  v xAB 
1 


 c  c 
v x 2B 
v x 2 A  v xAB
 v  v 
1   x 2 A  xAB 
 c  c 
v x1B 
0   0,7 c 
 0   0,7 c 
1   

 c  c 

v x1B  0,7 c

v x 2 B  0,7 c
(Idem : v x 2 B  v x1B )
Évaluons la quantité de mouvement classique selon l’axe x de l’électron (1) et du positron (2) avant
collision et après la collision selon l’observateur à 0,7 c (B) :
Avant la collision :
Électron 1 :
Position 2 :
(Référentiel B)
p x1B  m1v x1B
p x 2 B  m2 v x 2 B
Après la collision :
Électron 1 :
Position 2 :
p x 2 B  m2 v x 2 B

p x1B  9,11  10 31 0

p x1B  0 kg  m/s

p x 2 B  9,11  10 31  0,9396 c 

p x 2 B  2,568  10 22 kg  m/s

(Référentiel B)
p x1B  m1v x1B






p x1B  9,11  10 31  0,7 c 

p x1B  1,913  10 22 kg  m/s

p x 2 B  9,11  10 31  0,7 c 

p x 2 B  1,913  10 22 kg  m/s


(b) Nous observons qu’il n’y a pas conservation de la quantité de mouvement selon l’observateur à
0,7 c :



p x1A f  p x 2 A f  p x1A i  p x 2 A i
 p f   pi

 1,913  10    1,913  10   0   2,568  10 

 3,826  10 22  2,568  10 22
22
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
22
22
■
Page 4
La quantité de mouvement relativiste
En relativité, nous devons modifier l’expression de la quantité de

mouvement classique p  mv puisqu’elle n’est valide que dans le
référentiel de l’objet en mouvement. Dans ce référentiel, cette
quantité de mouvement est nulle puisque l’objet est immobile
dans son référentiel. Ainsi, pour préserver la conservation de la
quantité de mouvement dans tous les référentiels, il faut
reformuler la quantité de mouvement.
Référentiel observant
l’objet en mouvement

p
Ainsi, l’expression relativiste de la quantité de mouvement d’une
masse au repos m qui est observée se déplaçant à une vitesse

v sera égale à l’expression suivante :
où

v
y
z
x


p   mv
p x   x mv x
(expression vectorielle)
(selon l’axe x uniquement)

p : Quantité de mouvement de l’objet ( kg  m/s )
m : Masse de l’objet mesuré au repos (kg)

v 0 : Vitesse propre de l’objet (m/s)

v : Vitesse ordinaire de l’objet (m/s)


( v0   v )

2
2
2
( v  vx  v y  vz )
 : Facteur gamma avec vitesse ordinaire de l’objet
(   1/ 1  v 2 / c 2 )
Preuve :
Considérons une particule O immobile
dans son propre référentiel possédant une
masse au repos égale à m. Étant immobile,
sa quantité de mouvement dans son
référentiel est nulle ce qui donne

d rO


pO  m vO  m
0 .
dt O
Référentiel O
Référentiel A
yO
O
zO
yA

vO  0
A
zA
xO
Considérons maintenant un référentiel A observant la particule O

en mouvement à vitesse v OA selon un axe w tel que

2
2
2
v OA  v OA  v wOA  v xOA  v yOA  v zOA
permettant de décomposer la vitesse selon l’axe x, y et z tel que
v xOA  v wOA cos x  , v yOA  v wOA cos y  , v zOA  v wOA cos z 
Note de cours rédigée par : Simon Vézina

v OA
O
xA
Référentiel A
yA
A
zA
y
O

v OA
wA
 x xA
Page 5
Utilisons la transformation de Lorentz selon l’axe w
wA  
OA
wO  v wOA t O 
avec
 OA 
1
2
1  v OA / c 2
afin de définir la position de la particule dans le référentiel A et ainsi représenter la quantité de
mouvement de la particule dans le référentiel A.
Puisque la particule est uniquement immobile dans le référentiel O, alors nous avons
v wO 
d wO
 0.
dt O
Appliquons la dérivée du temps selon un écoulement de temps dt O à notre transformation de Lorentz.
Cette variation de temps sera interprétée par le référentiel A comme étant un écoulement de temps
dilaté puisque la particule O est immobile dans son référentiel ce qui correspond à un écoulement de
temps propre dans le référentiel O :
wA  
OA
wO  v wOA t O 

d wA
d

 OA wO  v wOA t O 
dt O
dt O


 d wO
d wA
  w OA 
 v wOA 
dt O

 dt O
Si l’on multiplie par la masse m de la particule l’équation précédente et que l’on introduit la définition
de la quantité de mouvement p w  m v w selon l’axe w, nous obtenons la transformation de la quantité
de mouvement p w du référentiel O du temps propre vers le référentiel A du temps dilaté tel que
m

 d wO
d wA
  w OA  m
 m v wOA 
dt O

 dt O

p wA   w OA  p wO  m v wOA 
où p wA  m dwA / dt O est l’interprétation de la quantité de mouvement de la particule O dans le

référentiel A. Puisque p O  p wO  0 selon le référentiel O, alors nous avons l’expression
p wA   w OA m v wOA
de la quantité de mouvement de la particule O selon l’axe w dans le référentiel A
Puisque l’axe w est décomposable selon l’axe x, y et z par des règles de trigonométrie, nous pouvons
affirmer vectoriellement que


p A   OA m v OA
avec
p xA   OA m v xOA , p yA   OA m v yOA et p zA   OA m v zOA . ■
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 6
Situation B : La collision élastique relativiste d’un électron et d’un positron. En se référent à la
situation A, on désire vérifier si la quantité de mouvement relativiste p x   mv x est conservée (a)
selon l’accélérateur de particule et (b) selon un observateur se déplaçant vers la droite à 0,7 c .
Selon l’accélérateur de particule
0,7 c
0,7 c
(a)
0,7 c
0,7 c
La vérification de la quantité de mouvement dans le référentiel de l’accélérateur (A) n’est pas
nécessaire, car la conclusion sera identique à la situation A. Il y aura conservation de la
quantité de mouvement, car la situation est parfaitement symétrique avec une quantité de
mouvement totale en x égale à zéro.
Vérifions maintenant que cette nouvelle définition de la quantité de mouvement est conservée dans le
référentiel de l’observateur à 0,7 c :
Selon l’observateur à 0,7 c (avec les résultats trouvés dans la situation A)
v B1
0,7 c
0,7 c
0,9396 c
vB2
Pour évaluer la quantité de mouvement relativiste p x   mv x , nous avons besoin du module de la
vitesse v B de chaque particule, car ce terme se retrouve dans le terme  . Pour ce faire, nous devons
évaluer la vitesse v yB de chaque particule avant et après la collision. Pour ce faire, nous devrons utiliser
la transformation des vitesses perpendiculaires de Lorentz où un facteur  de transformation utilisant
v xAB est nécessaire.
Commençons par calculer le  de transformation de A vers B :
  1 / 1  v xAB 2 / c 2

  1 / 1   0,7 c 2 / c 2

  1,40
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 7
Évaluons la vitesse selon l’axe y de l’électron (1) et du positron (2) selon l’observateur à 0,7 c (B).
Utilisons la transformation de Lorentz des vitesses perpendiculaires du référentiel de l’accélérateur (A)
vers le référentiel de l’observateur (B) :
Avant la collision :
Électron 1 :
v y1B 
Positron 2 :
v y 2B 
(Référentiel B)
v y1A
 v

 1  xAB
v x1A 
2
c


v y 2A
 v

 1  xAB
v x2A 
2
c


Après la collision :
Électron 1 :
v y1B 
v y 2B 
v y1B  0
( v y1A  0 )

v y 2B  0
( v y 2A  0 )
(Référentiel B)
v y1A

 1 

Positron 2 :

v xAB

v x1A 
2
c

v y 2A

 1 

v xAB

v x2A 
2
c


v y1B 
0,7 c 
1,401   0,27 c  0


v y1B  0,5 c

v y 2B 

v y 2B

c
 0,7 c 
1,401   0,27 c  0

 0,5 c

c
Évaluons maintenant le module des vitesses v B de chaque particule avant et après la collision :
Avant la collision :
(Référentiel B)
2
2
Électron 1 :
v1B  v x1B  v y1B
Positron 2 :
v2B  v x 2B  v y 2B
2
Après la collision :
Électron 1 :
Positron 2 :
2

v1B  0
( v x1B  0 , v y1B  0 )

v 2 B  0,9396 c
( v x 2 B  0,9396 c , v y 2 B  0 )
(Référentiel B)
2
v1B  v x1B  v y1B
2
2
v2B  v x 2B  v y 2B
2
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
 0,7 c 2  0,5 c 2

v1B 

v1B  0,860 c

v2B 

v 2 B  0,860 c
 0,7 c 2   0,5 c 2
Page 8
Voici un tableau synthèse des vitesses selon le référentiel de l’observateur à 0,7 c (B) :
Vitesses des particules (selon l’observateur B)
Vitesse initiale
l’électron
Vitesse finale
positron
l’électron
position
v x1B  0
v y1B  0
v x 2 B  0,9396 c
v y 2B  0
v x1B  0,7 c
v y1B  0,5 c
v x 2 B  0,7 c
v y 2 A  0,5 c
v1B  0
v 2 B  0,9396 c
v1B  0,860 c
v 2 B  0,860 c
Représentation graphique des vitesses ci-haut
0,860 c
0,5 c
0,7 c
0,7 c
0,9396 c
0,860 c
0,5 c
Évaluons la quantité de mouvement relativiste p x   mv x selon l’axe x de chaque particule avant et
après la collision selon le référentiel de l’observateur à 0,7 c (B) :
Avant la collision :
Électron 1 :
Positron :
(Référentiel B)
p x1B   m1v x1B
p x 2 B   m2 v x 2 B
m1v x1B

p x1B 

p x1B 

p x1B  0 kg  m/s

p x2B 
2
1  v1B / c
(   1/ 1  v 2 / c 2 )
2
9,11  10 0
31
1  0 / c 2
2
m2 v x 2 B
2
1  v2B / c
(   1/ 1  v 2 / c 2 )
2
9,11  10  0,9396 c 

31

p x2B

p x 2 B  7,503  10 22 kg  m/s
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
1  0,9396 c  / c 2
2
Page 9
Après la collision :
Électron 1 :
Positron 2 :
(Référentiel B)
p x1B   m1v x1B
p x 2 B   m2 v x 2 B
m1v x1B
p x1B 

2
1  v1B / c
(   1/ 1  v 2 / c 2 )
2
9,11 10  0,7 c 

31

p x1B

p x1B  3,749  10 22 kg  m/s

p x 2 B  3,749  10 22 kg  m/s
1  0,860 c  / c 2
2
(Idem : v x 2 B  v x1B )
(b) Nous observons qu’il y a maintenant conservation de la quantité de mouvement selon l’observateur
à 0,7 c (B) :



p x1B f  p x 2 B f  p x1B i  p x 2 B i
 p f   pi

 3,749  10    3,749  10   0   7,503  10 

 7,50  10 22  7,50  10 22 ■
22
22
22
Situation C : La guerre des étoiles mortes, partie 1. Dans une guerre
futuriste où deux civilisations possèdent une technologie leur permettant
de lancer des trous noirs (étoile morte très massive) à haute vitesse, deux
trous noirs A et B se dirigent l’un vers l’autre. Selon la galaxie, le trou
noir A ayant une masse mA = 60 × 1030 kg se déplace 0,3 c et le trou noir
B ayant une masse de mB = 40 × 1030 kg se déplace à 0,5 c. Les deux
trous noirs sont initialement espacés par une distance très grande
(l’énergie gravitationnelle du système est nulle).
http://fr.wikipedia.org/wiki/Trou_noir
Image simulée d’un trou noir stellaire.
On désire (a) évaluer la quantité de mouvement du système constitué des deux trous noirs A et B après
la collision sachant qu’elle sera parfaitement inélastique et (b) peut-on évaluer la vitesse du système
des deux trous noirs après la collision ? (Remarque : La masse solaire est de 1,99 × 1030 kg.)
Évaluons la quantité de mouvement du trou noir A considérant qu’il se déplace dans le sens positif de
l’axe x :
p xA i   x m A v xA i
1
(Remplacer   1 / 1  v 2 / c 2 )

p xA i 

p xA i 

p xA i  0,3145 c m A
(Calcul)

p xA i  5,661  10 39 kg  m/s
(Évaluer p xA i )
2
1  v xA i / c 2
m A v xA i
1
1  0,3 c  / c
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
2
2
m A 0,3 c 
(Remplacer valeurs num.)
Page 10
Évaluons la quantité de mouvement du trou noir B considérant qu’il se déplace dans le sens négatif de
l’axe x :
p xB i   x m B v xB i
1
(Remplacer   1 / 1  v 2 / c 2 )

p xB i 

p xB i 

p xB i  0,5774 c m B
(Calcul)

p xB i  6,929  10 39 kg  m/s
(Évaluer p xB i )
2
1  v xB i / c 2
m B v xB i
1
1   0,5 c  / c
2
2
m B  0,5 c 
(Remplacer valeurs num.)
Évaluons la quantité de mouvement du système composé des deux trous noirs après la collision en
appliquant la conservation de la quantité de mouvement sachant que la force gravitationnelle est une
force interne au système ne créant par d’impulsion externe J x ext :
p x f  p x i  J x ext

p xA f  p xB f  p xA i  p xB i
( J x ext  0 )

p xA  B f  p xA i  p xB i
(Collision parf. inélas.)

p xA  B f  5,661  10 39   6,929  10 39

p xA  B f  1,268  10 39 kg  m/s

 

(Remplacer val. num.)
(Évaluer p xA  B f )
(a)
(b) Malheureusement, nous ne pouvons pas évaluer la vitesse du système des deux trous noirs avec
l’équation
p xA  B f   x m A  B v xA  B f où  x 
1
2
1  v xA  B f / c 2
en isolant v xA B f dans l’équation, car nous ne savons pas quelle sera la masse du système après la
collision. Ainsi,
m A  B  m A  m B  100  10 30 kg .
Puisqu’un trou noir ne peut pas émettre de rayonnement (en première approximation) car même la
lumière ne peut s’en échapper, nous ne savons pas comment l’énergie cinétique habituellement perdue
lors d’une collision parfaitement inélastique sera transformée.
Cependant, nous pouvons affirmer que cette énergie restera dans le système, car elle ne peut pas
s’échapper sous forme de rayonnement électromagnétique. On suppose également qu’il n’y a pas de
perte énergétique sous la forme d’onde gravitationnelle (mécanisme ondulatoire expérimentalement
observé en septembre 2015).
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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