DM6 - MP*1

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MP*1 2016/2017
DM6
Centrale MP 2015- extrait
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Dans un gaz parfait monoatomique, l’énergie cinétique d’une particule vaut 𝑒𝑐 = 𝑘𝐵 𝑇
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D’après la loi de Boltzmann, la densité particulaire de particules d’énergie 𝑒𝑝 est 𝑛 = 𝐴𝑒𝑥𝑝 (−
𝑒𝑝
𝑘𝐵 𝑇
)
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Exercice facultatif :
Approche microscopique de la conduction électrique
On considère un milieu homogène isotrope conducteur, de conductivité 𝜎, comprenant
par unité de volume 𝑛𝑜 électrons mobiles, à l’exclusion de tout autre type de porteurs de
charge participant à la conduction.
Chacun de ces électrons peut être assimilé à une particule de masse 𝑚 et de charge – 𝑒
libre de se mouvoir à l’intérieur du matériau considéré. Pour décrire les propriétés du milieu,
on suppose que cette particule subit en fait de nombreux chocs, affectant chacun de façon
indépendante le mouvement : la vitesse juste après un choc est totalement indépendante de la
vitesse avant le choc ; elle est orientée dans n’importe quelle direction de l’espace,
indépendamment de la valeur de son module.
On considérera dans la suite que les moyennes statistiques coïncident avec les
moyennes temporelles.
1) Pour un électron donné, on considère que les chocs surviennent à une suite de dates
t k k 1..n distribuée de telle façon que la durée 𝜃 séparant deux chocs successifs obéit à la loi
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 
de probabilité : p   . exp   

 
où 𝜏 est une constante. La probabilité que cette durée soit comprise entre 𝜃 et 𝜃 + 𝑑𝜃 vaut
p( ).d .
a) Vérifier que 𝑝(𝜃) est bien une loi de probabilité.
b) Calculer la valeur moyenne de la durée 𝜃 séparant deux chocs successifs.
c) Calculer la valeur moyenne du carré 𝜃 2 .
2) On suppose qu’il n’existe aucun champ électrique, aucune induction magnétique
appliquée au matériau.
a) Quelle doit être la valeur moyenne dans le temps, après de nombreux chocs,
de la vitesse d’un électron donné ?
b) Soit 𝐾 l’énergie cinétique associée, pour un électron, à cette agitation
désordonnée. Définir et calculer la valeur quadratique moyenne 𝑣𝐾 de la vitesse d’un électron.
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3) On place le matériau étudié dans un champ électrique uniforme et constant 𝐸⃗𝑜 =
𝐸𝑜 𝑒𝑥 .
a) On note 𝑟𝑘 et 𝑣𝑘 la position et la vitesse de l’électron immédiatement après
le choc survenu à la date 𝑡𝑘 . Déterminer la vitesse instantanée 𝑣 à tout instant 𝑡 de l’intervalle
[𝑡𝑘 , 𝑡𝑘+1 [. En déduire 𝑟𝑘+1 − 𝑟𝑘 , puis la valeur moyenne de 𝑟𝑘+𝑁 − 𝑟𝑘 après un grand nombre
𝑁 de chocs.
b) Déterminer l’expression de la vitesse de dérive 𝑣𝑑 , valeur moyenne dans le
temps de la vitesse d’un électron sous l’effet du champ électrique, en fonction de 𝐸⃗𝑜 , 𝑒, 𝜏 et 𝑚.
c) Montrer qu’on obtiendrait la même expression en ignorant le mouvement
désordonné des électrons, mais en supposant que chacun d’eux est soumis à une force
supplémentaire de friction de la forme : 𝐹 = −𝑟𝑣