Chapitre 1.14 – Le mouvement d`une particule dans un champ

Chapitre 1.14 – Le mouvement d’une particule dans
un champ électrique uniforme
L’accélération d’une particule chargée dans un champ électrique
v
Une particule chargée plongée dans un champ électrique subit une accélération1 a dont le
module est v égal au produit de la charge q de la particule avec le module du champ
électrique E le tout divisé par la masse m de
v la particule. L’orientation de l’accélération
dépend de l’orientation du champ électrique E et du signe de la charge q :
v
v qE
a=
m
où
v
a : Accélération de la particule chargée (m/s2)
q : Charge électrique de la particule (C)
v
E : Champ électrique constant (N/C)
m : Masse de la particule (kg)
v
E
q2 < 0
v
a2
q1 > 0
v
a1
Preuve :
Évaluons l’accélération
de masse m et de charge q plongé dans un champ
v d’une particule
ième
électrique arbitraire E à partir de la 2
loi de Newton :
v
v
v
v
v
⇒
Fe = ma
(Seulement la force électrique Fe )
∑ F = ma
v
v
v
v
⇒
q E = ma
(Remplacer Fe = qE )
v
v qE
v
⇒
a=
■
(Isoler a )
m
Accélération dans un champ électrique uniforme
Lorsqu’une particule chargée est plongée dans un champ électrique uniforme E y , elle
subit alors une accélération constante a y . Ainsi, les équations du mouvement de la
particule se résument aux équations du MUA. Si la particule se déplace en deux
dimensions, la forme de la trajectoire sera alors une parabole2 :
• x (t ) = x 0 + v x0 t
• Ex = 0
• v y (t ) = v y 0 + a y t
• E y = constant
1
• y (t ) = y 0 + v y 0 t + a y t 2
qE y
2
⇒ ax = 0 , a y =
2
2
m
• v y ( x ) = v y 0 + 2a y ( y − y 0 )
1
On néglige les effets de radiation électromagnétique. Dans les faits, l’énergie requise pour déformer le champ
électromagnétique durant l’accélération de la particule est très faible ( ≈ 10 −16 K sur ∆x = 50 cm à 1 kV ).
2
Cette situation est comparable au mouvement d’un projectile sous l’effet d’une gravité constante.
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 1
Situation A : Un électron dans un accélérateur. Un électron, initialement au repos, est
accéléré entre deux plaques, dans un champ électrique d’intensité 105 N/C. On désire (a)
évaluer le temps qu’il faudra pour atteindre la vitesse de 0,2c (c’est la vitesse de la lumière
et elle vaut 3x108 m/s) et (b) la distance qu’il aura alors parcourue ?
Supposons la situation suivante où le champ électrique est orienté selon l’axe x négatif :
v
v
v
E = − E i = −1 × 10 5 i N/C
Appliquons la 2ième loi de Newton à l’électron afin d’évaluer l’accélération :
v
v
v
v
F
=
m
a
⇒
F
(Force électrique seulement)
∑
e = ma
v
v
v
v qE
v
⇒
a=
( Fe = qE et isoler a )
m
v
v − 1,6 × 10 −19 − 1 × 10 5 i
⇒
a=
(Remplacer valeurs num.)
9,11 × 10 −31
v
v
v
a = 1,756 × 1016 i m/s 2
⇒
(Évaluer a )
(
)(
(
)
)
Évaluons le temps requis pour atteindre la vitesse de 0,2 c à l’aide des équation du MUA
selon l’axe x :
vx = v x0 + a xt
⇒
(0,2 ∗ 3 × 10 ) = (0) + (1,756 × 10 )t
(Remplacer valeur num.)
⇒
t = 3,417 × 10 −9 s
(Calcul)
8
16
(a)
Évaluons la distance parcourue par l’électron : ( ∆x = x car x0 = 0 )
x = x0 + v x0t +
1
a xt 2 ⇒
2
⇒
(
)
x = (0 ) + (0 ) 3,417 × 10 −9 +
x = 0,10 m
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
1
1,756 × 1016 3,417 × 10 −9
2
(
)(
2
)
(b)
Page 2
Situation B : Un électron entre deux PPIUC. Un
électron pénètre horizontalement entre deux PPIUC de
longueur L séparée par une distance h, avec une vitesse
initiale v0 tel que montré ci-contre. On désire évaluer
l’expression du module du champ électrique E permettant
à l’électron de sortir du système de plaques en frôlant la
plaque supérieure. (Négliger la force gravitationnelle, car
la masse de l’électron est trop faible.)
Voici l’expression du champ électrique selon notre système d’axe :
v
v
E = −E j
Appliquons la 2ième loi de Newton à l’électron :
v
v
v
v
⇒
Fe = ma
∑ F = ma
v
v qE
⇒
a=
m
v
v (− e )(− E j )
⇒
a=
(me )
⇒
(Force électrique seulement)
v
v
v
( Fe = qE et isoler a )
(Remplacer valeurs)
v eE v
a=
j
me
v
(Évaluer a )
Appliquons l’équation du MUA au mouvement selon l’axe x et évaluons le temps pour
traverser les deux plaques : ( a x = 0 )
x = x0 + v x 0 t +
1
axt 2 ⇒
2
⇒
(L ) = (0) + (v0 )t + 1 (0)t 2
(Remplacer paramètres)
2
t=
L
v0
(Isoler t)
Appliquons l’équation du MUA au mouvement selon l’axe y :
y = y0 + v y 0 t +
1
a yt 2 ⇒
2
⇒


(h ) = (0 ) + (0)t + 1  e E t 2
2  me 
1  e E  L

h = 
2  me  v0
⇒



(Remplacer tout sauf t)
2
2hme v0
E=
eL2
(Remplacer t)
2
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
(Isoler E)
Page 3
Tube cathodique
CRT monitor
Déflexion par plaque chargée
(champ électrique)
Déflexion par courant électrique circulant
dans des bobines de fil conducteur
(champ magnétique)
(tube dans un oscilloscope)
(tube dans une télévision)
Exercices
1.14.11 Une incursion dans un champ électrique
uniforme. Sur le schéma ci-contre, chaque carreau
mesure 10 cm de côté. Dans la moitié de gauche, le
champ électrique est nul ; dans la moitié de droite règne
un champ électrique uniforme orienté vers la droite. Un
électron est lancé à partir du point A : 0,2 µs plus tard, il
pénètre dans le champ électrique au point B. (a)
Sachant que l’électron ressort du champ électrique au
point C, déterminez le module du champ. (b) Décrivez
un montage réel qui pourrait créer le champ électrique
représenté.
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 4