sous-groupes de Z^n

Agrégation interne de mathématiques RK
Thème : Zn
1 Description des sous-groupes de Zn
Soit Gun groupe abélien, dont la loi est notée additivement, isomorphe à Zn. Si φ:Zn→Gest un
isomorphisme, alors, en posant ei=φ(0,...,0,1,0,...,0) (où le 1est à la iième place), φest de la
forme :
φ:Zn→G
(x1, x2, . . . , xn)7→ x1e1+x2e2+. . . +xnen
Une famille telle famille (e1, e2, . . . , en)est appelée base G.
Deux bases éventuelles ont même longueur : si (e1, e2, . . . , en)et (f1, f2, . . . , fm)sont deux bases de
G, alors il existe A= (ai,j )i,j ∈Mn,m(Z)et B= (bi,j )i,j ∈Mm,n(Z)telles que :
∀j∈[[1, m]], fj=
n
X
i=1
ai,j eiet ∀i∈[[1, n]], ei=
m
X
k=1
bk,ifk
Il vient, pour tout j∈[[1, m]],fj=
n
X
i=1
ai,j
m
X
k=1
bk,ifk=
m
X
k=1 n
X
i=1
bk,iai,j !fk, d’où BA =Im. De la
même façon, AB =Inet l’on a m= Tr(BA) = Tr(AB) = n.
Si un groupe abélien Gadmet une base de longueur n, c’est-à-dire est isomorphe à Zn, l’entier nest
donc déterminé de manière unique. On dit que Gest un groupe abélien libre de rang n.
Proposition 1 Si Hest un sous-groupe de Zn, alors Hest un groupe abélien libre de rang r6n.
Preuve : par récurrence sur n.
n= 1 : Un sous-groupe de Zsont de la forme aZ, donc isomorphe à {0}ou Z. Il est donc libre de rang
r= 0 ou 1.
Supposons n > 1et le résultat vrai au rang n−1. Soit Hun sous-groupe de Zn. Notons p:Zn→Z
l’application définie par p(x1, x2, . . . , xn) = x1. L’ensemble p(H)est un sous-groupe de Z. Si p(H) =
{0}alors H⊂ {0} × Zn−1et l’hypothèse de récurrence permet de conclure. Sinon, p(H)est de la
forme aZ, où a∈N∗. Soit f1∈Htel que p(f1) = a. On a, pour tout x∈H, l’existence de k∈Z
tel que p(x) = k.a =k.p(f1)d’où p(x−k.f1) = 0 et x−k.f1∈({0} × Zn−1)∩H. Ceci montre
H=Zf1⊕({0} × Zn−1)∩H(la somme est clairement directe puisque Zf1⊕({0} ∩ Zn−1) = {0})
et l’hypothèse de récurrence permet de conclure.
Théorème 1 Soient Gun groupe abélien libre de rang net Hun sous-groupe de G, de rang r6n. Il
existe une base (e1, e2, . . . , en)de Get a1, a2, . . . , ar∈N\ {0}vérifiant ai|ai+1 pour tout i∈[[1, r −1]]
et tels que (a1e1, a2e2, . . . , arer)soit une base de H.
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Preuve : Commençons par faire le constat suivant. Si (e1, e2, . . . , en)est une base d’un groupe abélien
G, on conserve une base en considérant la famille obtenue en procédant à l’une des opérations élé-
mentaires suivantes :
•Remplacement de eipar −ei, opération codée ei← −ei.
•Échange des deux vecteurs de la base, opération codée ei↔ej.
•Remplacement de eipar ei+bej, où b∈Z(et j6=i), opération codée ei←ei+bej.
Soient maintenant Hun sous-groupe de G, une base (e1, e2, . . . , en)et une base (f1, f2, . . . , fr)de H.
Notons A∈Mn,r(Z)la matrice des coordonnées des fjrelativement à la base (ei)i. La modification
de (ei)ipar l’une des transformations élémentaires mentionnées ci-dessus se traduit sur la matrice A
par une opération élémentaire sur ses lignes. Plus précisément,
•ei← −eicorrespond à Li← −Li
•ei↔ejcorrespond à Li↔Lj
•ei←ei+bejcorrespond à Lj←Lj−bLi
De la même façon, une opération élémentaire sur les vecteurs de la base (f1, f2, . . . , fr)se traduit par
une opération élémentaire sur les colonnes de A:
•fi← −ficorrespond à Ci← −Ci
•fi↔fjcorrespond à Ci↔Cj.
•fi←fi+bfjcorrespond à Ci←Ci+bCj
Le théorème sera donc prouvé dès lors qu’on aura montré que par une succession d’opération élémen-
taires sur les lignes et colonnes de A, on peut aboutir à une matrice de la forme
a1...
ar
0. . . 0
.
.
..
.
.
0. . . 0
où les aisont comme dans l’énoncé. L’algorithme suivant permet d’aboutir à une matrice de ce type :
Étape 1 : Choisir un couple (i, j)tel que Ai,j soit non nul. Le placer en position (1,1) (à l’aide des
opérations Cj↔C1puis Li↔L1).
Étape 2 : Pour chaque j∈[[2, r]], effectuer l’opération Cj←Cj−qC1, où qest le quotient dans la
division euclidienne de A1,j par A1,1.
S’il existe j∈[[2, r]] tel que A1,j 6= 0, opérer Cj↔C1et recommencer l’étape 2.
Noter qu’à chaque itération de cette boucle à l’exception de la dernière, |A1,1|diminue strictement.
Lorsque cette boucle s’achève, la première ligne est nulle à l’exception de A1,1.
Étape 3 : Pour chaque i∈[[2, n]], effectuer l’opération Li←Li−qL1, où qest le quotient dans la
division euclidienne de Ai,1par A1,1.
S’il existe i∈[[2, n]] tel que Ai,16= 0, opérer Li↔L1et recommencer l’étape 3.
Noter qu’à chaque itération de cette boucle à l’exception de la dernière, |A1,1|diminue strictement.
Lorsque cette boucle s’achève, la première ligne et la première colonne sont nulles à l’exception de
A1,1.
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Étape 4 : S’il existe un couple (i, j)∈[[2, n]] ×[[2, r]] tel que Ai,j ne soit pas multiple de A1,1, alors faire
Li↔Ljet retourner à l’étape 2. Sinon, fin de l’algorithme.
On voit aisément que cet algorithme s’achève. Lorsque tel est le cas, la matrice Aest de la forme
a101,r−1
0n−1,1A0!, où A0∈Mn−1,r−1(Z)et tous les coefficients de A0sont des multiples de a1.
Il suffit ensuite d’appliquer de manière récursive de cet algorithme à la matrice A0pour achever la
preuve.
Remarque : on peut prouver l’unicité de la suite a1, a2, . . . , ar, qui sont appelés les facteurs invariants
de H.
2 Applications
•Soit Gun groupe abélien libre de rang n. Soit Hun sous-groupe de Get rson rang. Alors Hest
d’indice fini dans Gsi et seulement si r=n. Lorsque tel est le cas on a, en notant Bune base de Get
Cune base de H:
[G:H] = det
B(C)
•Soit Gun groupe abélien fini. Soit e1, . . . , enune famille génératrice finie de G. L’application
Zn→G
(x1, x2, . . . , xn)7→ x1e1+x2e2+. . . +xnen
est un morphisme surjectif. Son noyau est un sous-groupe Hde Znet l’on a G'Zn/H. Puisque G
est fini, Hest d’indice fini dans Znet son rang vaut n. Il existe donc une base (e1, e2, . . . , en)de Znet
a1, . . . , an∈N∗,ai|ai+1, tels que (a1e1, a2e2, . . . , anen)soit une base de H. Il vient
G'Z/a1Z×Z/a2Z×. . . ×Z/anZ
(quitte à éliminer les premiers facteurs, on peut supposer ai>2).
•Soit z∈Z[i]\{0}(anneau des entiers de Gauss). L’idéal (z) = zZ[i]est en particulier un sous-groupe
de Z[i]. On voit aisément que (z, iz)en est une base. L’indice de (z)dans Z[i]vaut donc det
(1,i)(z, iz) =
N(z)(où l’on note N(z) = |z|2, qu’on appelle classiquement la norme de z). En particulier, si zest
un élément premier de Z[i], alors Z[i]/(z)est un corps et le théorème de Lagrange dans le groupe
multiplicatif des inversibles conduit à l’énoncé suivant, équivalent dans Z[i]du petit théorème de
Fermat :
∀w∈Z[i],pgcd(w, z) = 1 =⇒wN(z)−1≡1 [z]
En particulier, si p∈N∗est un entier premier (dans Z) vérifiant p≡3 [4] alors pest premier dans Z[i]
et
∀w∈Z[i], p 6 |w=⇒wp2−1≡1 [p]
3 Généralisation
Tout ceci reste vrai en remplaçant Zpar un anneau euclidien A, modulo l’introduction de la structure
de A-module. La structure de A-module est une structure similaire à celle d’espace vectoriel, les
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scalaires étant pris dans A. C’est donc un ensemble Mmuni de deux lois + : M×M→Met
.:A×M→Mvérifiant (avec les quantificateurs adéquats) :
(A, +) est un groupe abélien,
a.(x+y) = a.x +a.y
(a+b).x =a.x +b.x
a.(b.x)=(ab).x
1A.x =x
Un instant de réflexion convainc qu’un groupe abélien n’est pas autre chose qu’un Z-module. On passe
de la structure de groupe abélien (dont on note additivement la loi) à la structure de Z-module en
posant ∀k∈Z, k.x = (x+x+. . . +x)(kfois) ou k.x =−(−x−x−. . . −x)(−kfois) selon le signe
de ket on passe de la structure de Z-module à la structure de groupe abélien en « oubliant » la loi ..
Les théorèmes concernant les sous-groupes de Znpeuvent être regardés comme des théorèmes concer-
nant les sous-Z-modules de Znet sont transposables ainsi que leur démonstration, en théorèmes
décrivant les sous-modules de An,Aeuclidien (et même Aprincipal mais la preuve doit alors être
revisitée).
Dans ce qui suit Aest donc un anneau euclidien.
Un A-module sera dit libre de rang ns’il est isomorphe à An, c’est-à-dire s’il admet une base de
longueur n(deux bases ont nécessairement même longueur – preuve identique au cas A=Zsi Aest
de caractéristique nulle).
Proposition 2 Si Mest un sous-module de An, alors Mest un module libre de rang r6n.
Théorème 2 Soient Mun A-module libre de rang net Nun sous-module de M, de rang r6n. Il existe
une base (e1, e2, . . . , en)de Met a1, a2, . . . , ar∈A\ {0}vérifiant ai|ai+1 pour tout i∈[[1, r −1]] et tels
que (a1e1, a2e2, . . . , arer)soit une base de H.
Et comme pour les groupes fini, on déduit que tout A-module admettant une famille génératrice finie
(on dit de type fini) est isomorphe à un module de la forme
A/(a1)×. . . , A/(ar)×As
où a1, a2, . . . , ar∈A\ {0}et vérifient ai|ai+1 pour tout i∈[[1, r −1]].
Une application très classique de ce résultat est la suivante. On considère un K-espace vectoriel Ede
dimension finie et u∈L(E). On munit Ed’une structure de K[X]-module en posant
∀P∈K[X],∀x∈E, P.x =P(u)(x)
Si on se rappelle qu’un endomorphisme uest dit cyclique s’il existe a∈Etel que a, u(a), . . . , un−1(a)
soit une base de E, on vérifie que dire que uest cyclique équivaut à dire que le K[X]-module associé
Eest monogène (les endomorphismes cycliques et les groupes cycliques sont donc des concepts très
voisins).
N’importe quelle famille génératrice de l’espace vectoriel Eest aussi une famille génératrice du K[X]-
module E. Comme l’espace vectoriel Eest de dimension finie, Eest isomorphe en tant que K[X]-
module à
K[X]/(P1)×...,K[X]/(Pr)
où P1, P2, . . . , Pr∈K[X]\ {0}et vérifient Pi|Pi+1 pour tout i∈[[1, r −1]]. Les Pisont appelés les
invariants de similitude de u. Notons φ:K[X]/(P1)×...,K[X]/(Pr)→Eun isomorphisme et posons
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Fi=φ({0} × . . . × {0} × K[X]/(Pi)× {0} × . . . × {0}), alors E=
r
M
i=1
Fi,Fiest stable par u. De plus,
uopère sur Fiexactement comme la multiplication par Xdans K[X]modulo Pi:
u(φ(0,...,0,[Q]Pi,0,...,0)) = X.(φ(0,...,0,[Q]Pi,0,...,0))
=φ(X.(0,...,0,[Q]Pi,0,...,0))
=φ(0,...,0,[XQ]Pi,0,...,0)
Or l’application [Q]Pi7→ [XQ]Piest un endomorphisme cyclique de K[X]/(Pi). On a donc prouvé que
Ese décompose en somme directe de sous-espaces stables par Fisur lesquels uinduit des endomor-
phismes cycliques (théorème de Frobenius).
Remarque : pour plus de détails sur les invariants de similitude, on pourra lire le document de Gregory
Vial à l’adresse http ://www.bretagne.ens-cachan.fr/math/people/gregory.vial/files/cplts/ivs.pdf.
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