sous-groupes de Z^n

Agrégation interne de mathématiques
Thème :S€oŠuŒš-€g‰r€oŠuŒp€eš
1
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RK
Zn
Description des sous-groupes de Zn
Soit G un groupe abélien, dont la loi est notée additivement, isomorphe à Zn . Si φ : Zn → G est un
isomorphisme, alors, en posant ei = φ(0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) (où le 1 est à la iième place), φ est de la
forme :
φ :
Zn
→
G
(x1 , x2 , . . . , xn ) 7→ x1 e1 + x2 e2 + . . . + xn en
Une famille telle famille (e1 , e2 , . . . , en ) est appelée base G.
Deux bases éventuelles ont même longueur : si (e1 , e2 , . . . , en ) et (f1 , f2 , . . . , fm ) sont deux bases de
G, alors il existe A = (ai,j )i,j ∈ Mn,m (Z) et B = (bi,j )i,j ∈ Mm,n (Z) telles que :
∀j ∈ [[1, m]], fj =
n
X
ai,j ei
et
∀i ∈ [[1, n]], ei =
i=1
Il vient, pour tout j ∈ [[1, m]], fj =
n
X
i=1
ai,j
m
X
bk,i fk
k=1
m
X
bk,i fk =
k=1
m
n
X
X
k=1
!
bk,i ai,j
fk , d’où BA = Im . De la
i=1
même façon, AB = In et l’on a m = Tr(BA) = Tr(AB) = n.
Si un groupe abélien G admet une base de longueur n, c’est-à-dire est isomorphe à Zn , l’entier n est
donc déterminé de manière unique. On dit que G est un groupe abélien libre de rang n.
Proposition 1 Si H est un sous-groupe de Zn , alors H est un groupe abélien libre de rang r 6 n.
Preuve : par récurrence sur n.
n = 1 : Un sous-groupe de Z sont de la forme aZ, donc isomorphe à {0} ou Z. Il est donc libre de rang
r = 0 ou 1.
Supposons n > 1 et le résultat vrai au rang n − 1. Soit H un sous-groupe de Zn . Notons p : Zn → Z
l’application définie par p(x1 , x2 , . . . , xn ) = x1 . L’ensemble p(H) est un sous-groupe de Z. Si p(H) =
{0} alors H ⊂ {0} × Z n−1 et l’hypothèse de récurrence permet de conclure. Sinon, p(H) est de la
forme aZ, où a ∈ N∗ . Soit f1 ∈ H tel que p(f1 ) = a. On a, pour tout x ∈ H, l’existence de k ∈ Z
tel que p(x) = k.a = k.p(f1 ) d’où p(x − k.f1 ) = 0 et x − k.f1 ∈ ({0} × Zn−1 ) ∩ H. Ceci montre
H = Zf1 ⊕ ({0} × Zn−1 ) ∩ H (la somme est clairement directe puisque Zf1 ⊕ ({0} ∩ Zn−1 ) = {0})
et l’hypothèse de récurrence permet de conclure.
Théorème 1 Soient G un groupe abélien libre de rang n et H un sous-groupe de G, de rang r 6 n. Il
existe une base (e1 , e2 , . . . , en ) de G et a1 , a2 , . . . , ar ∈ N \ {0} vérifiant ai |ai+1 pour tout i ∈ [[1, r − 1]]
et tels que (a1 e1 , a2 e2 , . . . , ar er ) soit une base de H.
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Preuve : Commençons par faire le constat suivant. Si (e1 , e2 , . . . , en ) est une base d’un groupe abélien
G, on conserve une base en considérant la famille obtenue en procédant à l’une des opérations élémentaires suivantes :
• Remplacement de ei par −ei , opération codée ei ← −ei .
• Échange des deux vecteurs de la base, opération codée ei ↔ ej .
• Remplacement de ei par ei + bej , où b ∈ Z (et j 6= i), opération codée ei ← ei + bej .
Soient maintenant H un sous-groupe de G, une base (e1 , e2 , . . . , en ) et une base (f1 , f2 , . . . , fr ) de H.
Notons A ∈ Mn,r (Z) la matrice des coordonnées des fj relativement à la base (ei )i . La modification
de (ei )i par l’une des transformations élémentaires mentionnées ci-dessus se traduit sur la matrice A
par une opération élémentaire sur ses lignes. Plus précisément,
• ei ← −ei correspond à Li ← −Li
• ei ↔ ej correspond à Li ↔ Lj
• ei ← ei + bej correspond à Lj ← Lj − bLi
De la même façon, une opération élémentaire sur les vecteurs de la base (f1 , f2 , . . . , fr ) se traduit par
une opération élémentaire sur les colonnes de A :
• fi ← −fi correspond à Ci ← −Ci
• fi ↔ fj correspond à Ci ↔ Cj .
• fi ← fi + bfj correspond à Ci ← Ci + bCj
Le théorème sera donc prouvé dès lors qu’on aura montré que par une succession d’opération élémentaires sur les lignes et colonnes de A, on peut aboutir à une matrice de la forme


a1


..


.





a
r 


 0 ... 0 


 .
.. 

 .
. 
 .
0
...
0
où les ai sont comme dans l’énoncé. L’algorithme suivant permet d’aboutir à une matrice de ce type :
Étape 1 : Choisir un couple (i, j) tel que Ai,j soit non nul. Le placer en position (1, 1) (à l’aide des
opérations Cj ↔ C1 puis Li ↔ L1 ).
Étape 2 : Pour chaque j ∈ [[2, r]], effectuer l’opération Cj ← Cj − qC1 , où q est le quotient dans la
division euclidienne de A1,j par A1,1 .
S’il existe j ∈ [[2, r]] tel que A1,j 6= 0, opérer Cj ↔ C1 et recommencer l’étape 2.
Noter qu’à chaque itération de cette boucle à l’exception de la dernière, |A1,1 | diminue strictement.
Lorsque cette boucle s’achève, la première ligne est nulle à l’exception de A1,1 .
Étape 3 : Pour chaque i ∈ [[2, n]], effectuer l’opération Li ← Li − qL1 , où q est le quotient dans la
division euclidienne de Ai,1 par A1,1 .
S’il existe i ∈ [[2, n]] tel que Ai,1 6= 0, opérer Li ↔ L1 et recommencer l’étape 3.
Noter qu’à chaque itération de cette boucle à l’exception de la dernière, |A1,1 | diminue strictement.
Lorsque cette boucle s’achève, la première ligne et la première colonne sont nulles à l’exception de
A1,1 .
2
Étape 4 : S’il existe un couple (i, j) ∈ [[2, n]] × [[2, r]] tel que Ai,j ne soit pas multiple de A1,1 , alors faire
Li ↔ Lj et retourner à l’étape 2. Sinon, fin de l’algorithme.
On voit aisément que
! cet algorithme s’achève. Lorsque tel est le cas, la matrice A est de la forme
a1
01,r−1
, où A0 ∈ Mn−1,r−1 (Z) et tous les coefficients de A0 sont des multiples de a1 .
0n−1,1
A0
Il suffit ensuite d’appliquer de manière récursive de cet algorithme à la matrice A0 pour achever la
preuve.
Remarque : on peut prouver l’unicité de la suite a1 , a2 , . . . , ar , qui sont appelés les facteurs invariants
de H.
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Applications
• Soit G un groupe abélien libre de rang n. Soit H un sous-groupe de G et r son rang. Alors H est
d’indice fini dans G si et seulement si r = n. Lorsque tel est le cas on a, en notant B une base de G et
C une base de H :
[G : H] = det(C)
B
• Soit G un groupe abélien fini. Soit e1 , . . . , en une famille génératrice finie de G. L’application
Zn
→
(x1 , x2 , . . . , xn ) 7→
G
x1 e1 + x2 e2 + . . . + xn en
est un morphisme surjectif. Son noyau est un sous-groupe H de Zn et l’on a G ' Zn /H. Puisque G
est fini, H est d’indice fini dans Zn et son rang vaut n. Il existe donc une base (e1 , e2 , . . . , en ) de Zn et
a1 , . . . , an ∈ N∗ , ai |ai+1 , tels que (a1 e1 , a2 e2 , . . . , an en ) soit une base de H. Il vient
G ' Z/a1 Z × Z/a2 Z × . . . × Z/an Z
(quitte à éliminer les premiers facteurs, on peut supposer ai > 2).
• Soit z ∈ Z[i]\{0} (anneau des entiers de Gauss). L’idéal (z) = zZ[i] est en particulier un sous-groupe
de Z[i]. On voit aisément que (z, iz) en est une base. L’indice de (z) dans Z[i] vaut donc det (z, iz) =
(1,i)
N (z) (où l’on note N (z) = |z|2 , qu’on appelle classiquement la norme de z). En particulier, si z est
un élément premier de Z[i], alors Z[i]/(z) est un corps et le théorème de Lagrange dans le groupe
multiplicatif des inversibles conduit à l’énoncé suivant, équivalent dans Z[i] du petit théorème de
Fermat :
∀w ∈ Z[i], pgcd(w, z) = 1 =⇒ wN (z)−1 ≡ 1 [z]
En particulier, si p ∈ N∗ est un entier premier (dans Z) vérifiant p ≡ 3 [4] alors p est premier dans Z[i]
et
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∀w ∈ Z[i], p 6 |w =⇒ wp −1 ≡ 1 [p]
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Généralisation
Tout ceci reste vrai en remplaçant Z par un anneau euclidien A, modulo l’introduction de la structure
de A-module. La structure de A-module est une structure similaire à celle d’espace vectoriel, les
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scalaires étant pris dans A. C’est donc un ensemble M muni de deux lois + : M × M → M et
. : A × M → M vérifiant (avec les quantificateurs adéquats) :
(A, +) est un groupe abélien,
a.(x + y) = a.x + a.y
(a + b).x = a.x + b.x
a.(b.x) = (ab).x
1A .x = x
Un instant de réflexion convainc qu’un groupe abélien n’est pas autre chose qu’un Z-module. On passe
de la structure de groupe abélien (dont on note additivement la loi) à la structure de Z-module en
posant ∀k ∈ Z, k.x = (x + x + . . . + x) (k fois) ou k.x = −(−x − x − . . . − x) (−k fois) selon le signe
de k et on passe de la structure de Z-module à la structure de groupe abélien en « oubliant » la loi . .
Les théorèmes concernant les sous-groupes de Zn peuvent être regardés comme des théorèmes concernant les sous-Z-modules de Zn et sont transposables ainsi que leur démonstration, en théorèmes
décrivant les sous-modules de An , A euclidien (et même A principal mais la preuve doit alors être
revisitée).
Dans ce qui suit A est donc un anneau euclidien.
Un A-module sera dit libre de rang n s’il est isomorphe à An , c’est-à-dire s’il admet une base de
longueur n (deux bases ont nécessairement même longueur – preuve identique au cas A = Z si A est
de caractéristique nulle).
Proposition 2 Si M est un sous-module de An , alors M est un module libre de rang r 6 n.
Théorème 2 Soient M un A-module libre de rang n et N un sous-module de M , de rang r 6 n. Il existe
une base (e1 , e2 , . . . , en ) de M et a1 , a2 , . . . , ar ∈ A \ {0} vérifiant ai |ai+1 pour tout i ∈ [[1, r − 1]] et tels
que (a1 e1 , a2 e2 , . . . , ar er ) soit une base de H.
Et comme pour les groupes fini, on déduit que tout A-module admettant une famille génératrice finie
(on dit de type fini) est isomorphe à un module de la forme
A/(a1 ) × . . . , A/(ar ) × As
où a1 , a2 , . . . , ar ∈ A \ {0} et vérifient ai |ai+1 pour tout i ∈ [[1, r − 1]].
Une application très classique de ce résultat est la suivante. On considère un K-espace vectoriel E de
dimension finie et u ∈ L(E). On munit E d’une structure de K[X]-module en posant
∀P ∈ K[X], ∀x ∈ E, P.x = P (u)(x)
Si on se rappelle qu’un endomorphisme u est dit cyclique s’il existe a ∈ E tel que a, u(a), . . . , un−1 (a)
soit une base de E, on vérifie que dire que u est cyclique équivaut à dire que le K[X]-module associé
E est monogène (les endomorphismes cycliques et les groupes cycliques sont donc des concepts très
voisins).
N’importe quelle famille génératrice de l’espace vectoriel E est aussi une famille génératrice du K[X]module E. Comme l’espace vectoriel E est de dimension finie, E est isomorphe en tant que K[X]module à
K[X]/(P1 ) × . . . , K[X]/(Pr )
où P1 , P2 , . . . , Pr ∈ K[X] \ {0} et vérifient Pi |Pi+1 pour tout i ∈ [[1, r − 1]]. Les Pi sont appelés les
invariants de similitude de u. Notons φ : K[X]/(P1 )×. . . , K[X]/(Pr ) → E un isomorphisme et posons
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Fi = φ({0} × . . . × {0} × K[X]/(Pi ) × {0} × . . . × {0}), alors E =
r
M
Fi , Fi est stable par u. De plus,
i=1
u opère sur Fi exactement comme la multiplication par X dans K[X] modulo Pi :
u(φ(0, . . . , 0, [Q]Pi , 0, . . . , 0))
= X.(φ(0, . . . , 0, [Q]Pi , 0, . . . , 0))
= φ(X.(0, . . . , 0, [Q]Pi , 0, . . . , 0))
= φ(0, . . . , 0, [XQ]Pi , 0, . . . , 0)
Or l’application [Q]Pi 7→ [XQ]Pi est un endomorphisme cyclique de K[X]/(Pi ). On a donc prouvé que
E se décompose en somme directe de sous-espaces stables par Fi sur lesquels u induit des endomorphismes cycliques (théorème de Frobenius).
Remarque : pour plus de détails sur les invariants de similitude, on pourra lire le document de Gregory
Vial à l’adresse http ://www.bretagne.ens-cachan.fr/math/people/gregory.vial/files/cplts/ivs.pdf.
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