1 Analyse Combinatoire

Licence Economie-Gestion, 2ème Année
Fiche de TD de Probabilités.
Année universitaire : 2014-2015.
Ce recueil d’exercices est plus que largement inspiré des exercices produits par Brice de
Lavarène, du livre d’exercices de probabilités pour ingénieurs d’Antoine Clerc [1], du polycopié
d’exercices de Fabrice Rossi et Fabrice Le Lec [2] et du récent ouvrage de probabilités pour
l’économie-gestion de Christophe Hurlin et Valérie Mignon [3], dont les références exactes sont
précisées à la fin de ce recueil.
1 Analyse Combinatoire
Exercice 1. Un professeur doit évaluer les connaissances d’un groupe de 30 étudiants. Il décide
d’en interroger oralement 8 choisis au hasard parmi les 30.
1. De combien de façons peut-il constituer une liste de 8 étudiants s’il précise l’heure de
passage de chacun d’eux ?
2. Ayant choisi 8 étudiants, de combien de façons peut-il définir l’ordre de passage ?
3. De combien de façons peut-il constituer une liste de 8 étudiants s’il ne précise pas l’heure
de passage de chacun d’eux ?
Exercice 2. L’enseignant d’un cours magistral met en place un concours pour motiver ses étu-
diants : l’étudiant avec la meilleure moyenne gagne une tablette tactile (Wifi+3G), le second une
tablette seulement Wifi, et le troisième une mini-tablette.
1. Sachant qu’il n’y a pas d’ex æquo possible, combien y a-t-il de façons de distribuer ces trois
prix sur un amphi de 389 étudiants ?
2. Même question si les trois prix sont identiques (trois tablettes tactiles Wifi+3G pour les
trois premiers) ?
3. Si l’on fixe les trois meilleurs étudiants, combien y a-t-il d’ordres d’arrivées possibles pour
le trio de tête ?
4. Quelle égalité peut-on écrire entre les résultats des trois questions précédentes ?
5. Mêmes questions pour nétudiants et plauréats.
Exercice 3. Combien de nombres de
1. six chiffres peut-on former à partir du nombre 354553 ?
2. trois chiffres peut-on former avec les chiffres 1 et 2 ?
Exercice 4. 12 personnes disposent de 3 voitures de 6, 4 et 2 places respectivement. De combien
de manières peut-on affecter ces 12 personnes aux 3 voitures ?
1

Exercice 5. On tire 5 cartes d’un jeu de 32 cartes, sans remise. Seule la "main" obtenue est
importante.
1. Combien de résultats peut-on obtenir ?
2. Combient y a-t-il de manières d’obtenir 5 cartes de même couleur (trèfle, carreau, coeur
ou pique) ?
3. Combient y a-t-il de manières d’obtenir 3 rois exactement ?
4. Combient y a-t-il de manières d’obtenir 3 rois et 2 as ?
2 Axiomes des probabilités
2.1 Ensembles
Exercice 6. On note E l’ensemble des personnes inscrites sur les listes électorales pour les deux
dernières élections présidentielles en France, en 2007 et 2012. Les personnes dans E pouvaient
donc voter aux deux élections. On étudie seulement les votes du second tour. On note :
— NS1 l’ensemble des personnes ayant voté pour Nicolas Sarkozy en 2007, et NS2 l’en-
semble des personnes ayant voté pour Nicolas Sarkozy en 2012 ;
— SR l’ensemble des personnes ayant voté pour Ségolène Royal en 2007 ;
— FH l’ensemble des personnes ayant voté pour François Hollande en 2012 ;
— B1 l’ensemble des personnes ayant voté blanc (ou nul) en 2007 ;
— en enfin A2 l’ensemble des personnes n’ayant pas voté en 2012.
Déterminer le contenu des ensembles suivants en utilisant uniquement l’ensemble E, les six en-
sembles définis au dessus et les opérations ensemblistes classiques (intersection, union et com-
plémentaire) :
1. NS : l’ensemble des personnes ayant voté deux fois pour Nicolas Sarkozy ;
2. PS : l’ensemble des personnes ayant voté au moins une fois pour un candidat du parti
socialiste ;
3. B2 : l’ensemble des personnes ayant voté blanc (ou nul) en 2012 ;
4. F : l’ensemble des personnes qui n’ont pas voté en 2007 et ont voté François Hollande en
2012.
5. A : l’ensemble des personnes s’étant abstenues exactement une fois (attention, le vote blanc
ou nul n’est pas une abstention).
Exercice 7. Soient A={x∈N:xest un entier impair}et B=x∈R:xvérifie x2−8x+ 15 = 0.
Montrer que B⊂A.
Exercice 8. Soient Ω = 1
2,0, π, 5,−√2,−4et A,Bet Ctrois sous-ensemble de Ω:
A=−√2, π, 0,B=5,1
2,−√2,−4et C=1 2,−4.
Déterminer :A∩B;A∪B;(A∪B)∩C;B∪Cet A∩B.
Exercice 9. Dans l’ensemble P(Ω) des parties d’un ensemble Ω, on définit l’opération différence
par : A−B=A∩B.
Montrer que l’on a :
1. (A−B)∩C= (A∩C)−B∩C
2

2. A−(B∩C)6= (A−B)∩(A−C)
Exercice 10. On lance deux dés. Une épreuve est identifée à un couple (x, y)où xest le nombre
de points amenés par le premier dé et ypar le second.
1. Décrire et dénombrer les ensembles suivants :
Ω: ensemble de tous les résultats possibles.
A: ensemble des résultats donnant une différence (en valeur absolue) de points paire.
B: ensemble des résultats donnant deux points égaux.
C: ensemble des résultats tels que l’un des dés au moins amène 1.
2. Caractériser par une phrase A∩B,A∪Bet A∩B.
2.2 Probabilités
Exercice 11. Lors d’un examen, le professeur propose un QCM composé de 4 questions. Pour
chaque question, il y a cinq réponses dont une et une seule s’avère être la bonne. L’étudiant doit
choisir une seule réponse.
1. Déterminer le nombre de grilles-réponse possibles.
2. Quelle est la probabilité qu’un étudiant réponde au hasard correctement à au moins deux
questions et obtienne la moyenne sur ce QCM ?
3. Mêmes questions avec un QCM de 20 questions comportant chacune quatre réponses pos-
sibles.
Exercice 12. On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. On considère les événements
suivants : A=“la carte tirée est un roi” et B=“la carte tirée est un trèfle”.
1. Définir l’espace fondamental associé à cette épreuve. Quel est son cardinal ?
2. Définir par une phrase les événements A,B,A∩Bet A∪B.
3. Calculer les probabilités P(A),P(B),P(A),P(B),P(A∩B)et P(A∪B).
Exercice 13. Calculer la probabilité qu’il y ait 3 filles et 2 garçons dans une famille de 5 enfants
(on supposera la probabilité de naissance d’une fille égale à la probabilité de naissance d’un
garçon).
Exercice 14. Soit l’expérience aléatoire : on jette trois dés.
1. Définir l’espace fondamental associé à cette épreuve. Quel est son cardinal ? Quelle est la
probabilité qu’avec les 3 numéros obtenus on puisse former le nombre 432 ?
2. On considère les événements :
—A="il y a au moins un as sur une des 3 faces",
—B="deux au moins des 3 faces sont identiques".
Calculer la probabilité des événements A,B, et A∩B.
Exercice 15. On donne deux événements Aet Btels que P(A)=0.81 et P(B) = 0.16. Calculer
P(A∪B)dans chacun des cas suivants :
1. Aet Bsont incompatibles.
3

2. P(A∩B)=0.11.
Exercice 16. Une boîte contient 9 jetons numérotés de 0 à 8. On tire simultanément deux jetons
de la boîte. On considère les événements A="obtenir deux nombres pairs" et B="obtenir
deux nombres multiples de 3".
1. Evaluer la probabilité des événements A,Bet A∩B.
2. Soit E="obtenir deux nombres pairs ou deux nombres multiples de 3". Que vaut P(E)?
Exercice 17. .
1. On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes et on remet la carte dans le paquet.
On tire de nouveau une carte au hasard. Un résultat est un couple de cartes. Quelle est la
probabilité de l’événement A="les deux cartes tirées sont des piques" ?
2. Même question mais en ne remettant pas la première carte tirée dans le paquet avant de
tirer la seconde.
Exercice 18. Un sac contient neuf boules. Quatre boules sont blanches et numérotées de 1 à
4. Cinq boules sont noires et numérotées de 1 à 5. On tire simultanément trois boules du sac.
Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
—A="Toutes les boules sont blanches" ;
—B="Les boules ne sont pas toutes de la même couleur" ;
—C="Il y plus de boules blanches que de boules noires" ;
—D="Les numéros des boules sont impairs".
3 Probabilités conditionnelles - Indépendance
Exercice 19. Une entreprise vend deux tablettes, notées A et B. Sur sa zone de marchandise
(population), la probabilité d’achat du produit A (resp. B) est égale à pA(resp. pB). On suppose
que les décisions d’achat des deux produits sont indépendantes.
1. Pour un individu de la population, quelle est la probabilité d’achat des deux produits ?
2. Pour un individu de la population, quelle est la probabilité d’achat de l’un des deux pro-
duits ?
Exercice 20. Une urne contient 5 boules : trois rouges, numérotées 1, 2, 3, et deux noires,
numérotées 1 et 2. On tire au hasard et simultanément deux boules de cette urne.
1. Quelle est la probabilité de l’événement A: “les deux boules tirées sont de la même couleur” ?
2. Quelle est la probabilité de l’événement B: “la somme des numéros des deux boules vaut
trois” ?
3. Quelle est la probabilité de Bsachant que Aest réalisé ?
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Exercice 21. Une usine fabrique des stylos à billes. Une étude statistique à montré que quatre-
vingt-dix pour cent de la production ne présente pas de défaut. Chaque stylo est soumis à un
contrôle de fabrication. Ce contrôle refuse quatre-vingt-quatorze pour cent des stylos avec défaut
et accepte quatre-vingt-douze pour cent des stylos sans défaut. On prélève au hasard un stylo
avant son passage au contrôle dans la production d’une journée. On désigne par D l’événement :
“le stylo a un défaut” et par A l’événement : “le stylo est accepté à l’issue du contrôle.”
1. Calculer les probabilités des événements E1=“le stylo est accepté et n’a pas de défaut” et
E2=“le stylo est accepté et a un défaut”.
2. Calculer la probabilité que le stylo soit accepté.
3. Le contrôle permet-il d’affirmer que moins d’un pour cent des stylos acceptés présente un
défaut ?
Exercice 22. On dispose de 5 urnes. Deux urnes parmi les cinq contiennent chacune deux boules
blanches et une boule noire ; une urne parmi les cinq contient dix boules noires ; les deux urnes
restantes contiennent chacune trois boules blanches et une boule noire.
On choisit au hasard une des urnes et on extrait une boule. Quelle est la probabilité pour
que la boule extraite soit blanche ?
Exercice 23. Dans une classe, on distingue deux types d’étudiants suivant leur filière d’origine.
Les étudiants ayant suivi la filière A ont une probabilité de 30% d’obtenir une mention Bien à
leur examen, tandis que ceux issus de la filière B ont une probabilité de 20%. La probabilité
qu’un étudiant pris au hasard soit issu de la filière A est égale à 70%. Quelle est la probabilité
qu’un étudiant ayant obtenu une mention Bien soit issu de la formation A ?
Exercice 24. Un fumeur décide d’arrêter. On suppose que si cette personne n’a pas fumé le jour
nalors la probabilité qu’elle fume le jour suivant est égale à 0.1. Mais si cette personne fume le
jour n, sa probabilité de fumer le jour suivant est égale à 0.8.
1. Exprimer la probabilité que cette personne fume le jour n+ 1 en fonction de la probabilité
qu’elle fume le jour n.
2. Déterminer la limite de cette probabilité avec n. Est-ce que cette personne va s’arrêter de
fumer ?
Indication : soit (un)n≥0, une suite arithmético-géométrique, de premier terme u0et véri-
fiant un+1 =aun+bpour a, b ≥0. Alors, un=an(u0−b) + b.
Exercice 25. Dans un cours de statistique, l’enseignant présente trois thèmes, A, B et C. Pour
évaluer un étudiant, l’enseignant choisit au hasard un (et un seul) thème selon les probabilités
suivantes : P(A) = 0.3,P(B) = 0.2. L’enseignant observe que les prestations des élèves dépendent
du thème. Il range ces prestations en trois catégories : E pour un échec total, R pour une
interrogation à revoir pour confirmer la compréhension du sujet et S pour un succés. L’enseignant
constate les performances suivantes :
Thème A 25 % des étudiants obtiennent un succés S, 30 % sont à revoir R, le reste en
échec ;
Thème B 40 % des étudiants sont en échec, pour 40 % en succés, le reste étant à revoir ;
Thème C On atteint ici 50 % d’échec, 30 % à revoir, le reste en succés.
1. Calculer la probabilité qu’un étudiant soit en échec dans cette procédure d’évaluation.
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