1 Analyse Combinatoire

Licence Economie-Gestion, 2ème Année
Fiche de TD de Probabilités.
Année universitaire : 2014-2015.
Ce recueil d’exercices est plus que largement inspiré des exercices produits par Brice de
Lavarène, du livre d’exercices de probabilités pour ingénieurs d’Antoine Clerc [1], du polycopié
d’exercices de Fabrice Rossi et Fabrice Le Lec [2] et du récent ouvrage de probabilités pour
l’économie-gestion de Christophe Hurlin et Valérie Mignon [3], dont les références exactes sont
précisées à la fin de ce recueil.
1
Analyse Combinatoire
Exercice 1. Un professeur doit évaluer les connaissances d’un groupe de 30 étudiants. Il décide
d’en interroger oralement 8 choisis au hasard parmi les 30.
1. De combien de façons peut-il constituer une liste de 8 étudiants s’il précise l’heure de
passage de chacun d’eux ?
2. Ayant choisi 8 étudiants, de combien de façons peut-il définir l’ordre de passage ?
3. De combien de façons peut-il constituer une liste de 8 étudiants s’il ne précise pas l’heure
de passage de chacun d’eux ?
Exercice 2. L’enseignant d’un cours magistral met en place un concours pour motiver ses étudiants : l’étudiant avec la meilleure moyenne gagne une tablette tactile (Wifi+3G), le second une
tablette seulement Wifi, et le troisième une mini-tablette.
1. Sachant qu’il n’y a pas d’ex æquo possible, combien y a-t-il de façons de distribuer ces trois
prix sur un amphi de 389 étudiants ?
2. Même question si les trois prix sont identiques (trois tablettes tactiles Wifi+3G pour les
trois premiers) ?
3. Si l’on fixe les trois meilleurs étudiants, combien y a-t-il d’ordres d’arrivées possibles pour
le trio de tête ?
4. Quelle égalité peut-on écrire entre les résultats des trois questions précédentes ?
5. Mêmes questions pour n étudiants et p lauréats.
Exercice 3. Combien de nombres de
1. six chiffres peut-on former à partir du nombre 354553 ?
2. trois chiffres peut-on former avec les chiffres 1 et 2 ?
Exercice 4. 12 personnes disposent de 3 voitures de 6, 4 et 2 places respectivement. De combien
de manières peut-on affecter ces 12 personnes aux 3 voitures ?
1
Exercice 5. On tire 5 cartes d’un jeu de 32 cartes, sans remise. Seule la "main" obtenue est
importante.
1. Combien de résultats peut-on obtenir ?
2. Combient y a-t-il de manières d’obtenir 5 cartes de même couleur (trèfle, carreau, coeur
ou pique) ?
3. Combient y a-t-il de manières d’obtenir 3 rois exactement ?
4. Combient y a-t-il de manières d’obtenir 3 rois et 2 as ?
2
Axiomes des probabilités
2.1
Ensembles
Exercice 6. On note E l’ensemble des personnes inscrites sur les listes électorales pour les deux
dernières élections présidentielles en France, en 2007 et 2012. Les personnes dans E pouvaient
donc voter aux deux élections. On étudie seulement les votes du second tour. On note :
— NS1 l’ensemble des personnes ayant voté pour Nicolas Sarkozy en 2007, et NS2 l’ensemble des personnes ayant voté pour Nicolas Sarkozy en 2012 ;
— SR l’ensemble des personnes ayant voté pour Ségolène Royal en 2007 ;
— FH l’ensemble des personnes ayant voté pour François Hollande en 2012 ;
— B1 l’ensemble des personnes ayant voté blanc (ou nul) en 2007 ;
— en enfin A2 l’ensemble des personnes n’ayant pas voté en 2012.
Déterminer le contenu des ensembles suivants en utilisant uniquement l’ensemble E, les six ensembles définis au dessus et les opérations ensemblistes classiques (intersection, union et complémentaire) :
1. NS : l’ensemble des personnes ayant voté deux fois pour Nicolas Sarkozy ;
2. PS : l’ensemble des personnes ayant voté au moins une fois pour un candidat du parti
socialiste ;
3. B2 : l’ensemble des personnes ayant voté blanc (ou nul) en 2012 ;
4. F : l’ensemble des personnes qui n’ont pas voté en 2007 et ont voté François Hollande en
2012.
5. A : l’ensemble des personnes s’étant abstenues exactement une fois (attention, le vote blanc
ou nul n’est pas une abstention).
Exercice 7. Soient A = {x ∈ N : x est un entier impair} et B = x ∈ R : x vérifie x2 − 8x + 15 = 0 .
Montrer que B ⊂ A.
√
Exercice 8. Soient Ω = 12 , 0, π, 5, − 2, −4 et A, B et C trois sous-ensemble de Ω :
√
√
A = − 2, π, 0 , B = 5, 21 , − 2, −4 et C = 21 , −4 .
Déterminer :A ∩ B ; A ∪ B ; (A ∪ B) ∩ C ; B ∪ C et A ∩ B.
Exercice 9. Dans l’ensemble P(Ω) des parties d’un ensemble Ω, on définit l’opération différence
par : A − B = A ∩ B.
Montrer que l’on a :
1. (A − B) ∩ C = (A ∩ C) − B ∩ C
2
2. A − (B ∩ C) 6= (A − B) ∩ (A − C)
Exercice 10. On lance deux dés. Une épreuve est identifée à un couple (x, y) où x est le nombre
de points amenés par le premier dé et y par le second.
1. Décrire et dénombrer les ensembles suivants :
Ω : ensemble de tous les résultats possibles.
A : ensemble des résultats donnant une différence (en valeur absolue) de points paire.
B : ensemble des résultats donnant deux points égaux.
C : ensemble des résultats tels que l’un des dés au moins amène 1.
2. Caractériser par une phrase A ∩ B, A ∪ B et A ∩ B.
2.2
Probabilités
Exercice 11. Lors d’un examen, le professeur propose un QCM composé de 4 questions. Pour
chaque question, il y a cinq réponses dont une et une seule s’avère être la bonne. L’étudiant doit
choisir une seule réponse.
1. Déterminer le nombre de grilles-réponse possibles.
2. Quelle est la probabilité qu’un étudiant réponde au hasard correctement à au moins deux
questions et obtienne la moyenne sur ce QCM ?
3. Mêmes questions avec un QCM de 20 questions comportant chacune quatre réponses possibles.
Exercice 12. On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. On considère les événements
suivants : A = “la carte tirée est un roi” et B = “la carte tirée est un trèfle”.
1. Définir l’espace fondamental associé à cette épreuve. Quel est son cardinal ?
2. Définir par une phrase les événements A, B, A ∩ B et A ∪ B.
3. Calculer les probabilités P (A), P (B), P (A), P (B), P (A ∩ B) et P (A ∪ B).
Exercice 13. Calculer la probabilité qu’il y ait 3 filles et 2 garçons dans une famille de 5 enfants
(on supposera la probabilité de naissance d’une fille égale à la probabilité de naissance d’un
garçon).
Exercice 14. Soit l’expérience aléatoire : on jette trois dés.
1. Définir l’espace fondamental associé à cette épreuve. Quel est son cardinal ? Quelle est la
probabilité qu’avec les 3 numéros obtenus on puisse former le nombre 432 ?
2. On considère les événements :
— A = "il y a au moins un as sur une des 3 faces",
— B = "deux au moins des 3 faces sont identiques".
Calculer la probabilité des événements A, B, et A ∩ B.
Exercice 15. On donne deux événements A et B tels que P (A) = 0.81 et P (B) = 0.16. Calculer
P (A ∪ B) dans chacun des cas suivants :
1. A et B sont incompatibles.
3
2. P (A ∩ B) = 0.11.
Exercice 16. Une boîte contient 9 jetons numérotés de 0 à 8. On tire simultanément deux jetons
de la boîte. On considère les événements A = "obtenir deux nombres pairs" et B = "obtenir
deux nombres multiples de 3".
1. Evaluer la probabilité des événements A, B et A ∩ B.
2. Soit E = "obtenir deux nombres pairs ou deux nombres multiples de 3". Que vaut P (E) ?
Exercice 17. .
1. On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes et on remet la carte dans le paquet.
On tire de nouveau une carte au hasard. Un résultat est un couple de cartes. Quelle est la
probabilité de l’événement A = "les deux cartes tirées sont des piques" ?
2. Même question mais en ne remettant pas la première carte tirée dans le paquet avant de
tirer la seconde.
Exercice 18. Un sac contient neuf boules. Quatre boules sont blanches et numérotées de 1 à
4. Cinq boules sont noires et numérotées de 1 à 5. On tire simultanément trois boules du sac.
Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
— A = "Toutes les boules sont blanches" ;
— B = "Les boules ne sont pas toutes de la même couleur" ;
— C = "Il y plus de boules blanches que de boules noires" ;
— D = "Les numéros des boules sont impairs".
3
Probabilités conditionnelles - Indépendance
Exercice 19. Une entreprise vend deux tablettes, notées A et B. Sur sa zone de marchandise
(population), la probabilité d’achat du produit A (resp. B) est égale à pA (resp. pB ). On suppose
que les décisions d’achat des deux produits sont indépendantes.
1. Pour un individu de la population, quelle est la probabilité d’achat des deux produits ?
2. Pour un individu de la population, quelle est la probabilité d’achat de l’un des deux produits ?
Exercice 20. Une urne contient 5 boules : trois rouges, numérotées 1, 2, 3, et deux noires,
numérotées 1 et 2. On tire au hasard et simultanément deux boules de cette urne.
1. Quelle est la probabilité de l’événement A : “les deux boules tirées sont de la même couleur” ?
2. Quelle est la probabilité de l’événement B : “la somme des numéros des deux boules vaut
trois” ?
3. Quelle est la probabilité de B sachant que A est réalisé ?
4
Exercice 21. Une usine fabrique des stylos à billes. Une étude statistique à montré que quatrevingt-dix pour cent de la production ne présente pas de défaut. Chaque stylo est soumis à un
contrôle de fabrication. Ce contrôle refuse quatre-vingt-quatorze pour cent des stylos avec défaut
et accepte quatre-vingt-douze pour cent des stylos sans défaut. On prélève au hasard un stylo
avant son passage au contrôle dans la production d’une journée. On désigne par D l’événement :
“le stylo a un défaut” et par A l’événement : “le stylo est accepté à l’issue du contrôle.”
1. Calculer les probabilités des événements E1 = “le stylo est accepté et n’a pas de défaut” et
E2 = “le stylo est accepté et a un défaut”.
2. Calculer la probabilité que le stylo soit accepté.
3. Le contrôle permet-il d’affirmer que moins d’un pour cent des stylos acceptés présente un
défaut ?
Exercice 22. On dispose de 5 urnes. Deux urnes parmi les cinq contiennent chacune deux boules
blanches et une boule noire ; une urne parmi les cinq contient dix boules noires ; les deux urnes
restantes contiennent chacune trois boules blanches et une boule noire.
On choisit au hasard une des urnes et on extrait une boule. Quelle est la probabilité pour
que la boule extraite soit blanche ?
Exercice 23. Dans une classe, on distingue deux types d’étudiants suivant leur filière d’origine.
Les étudiants ayant suivi la filière A ont une probabilité de 30% d’obtenir une mention Bien à
leur examen, tandis que ceux issus de la filière B ont une probabilité de 20%. La probabilité
qu’un étudiant pris au hasard soit issu de la filière A est égale à 70%. Quelle est la probabilité
qu’un étudiant ayant obtenu une mention Bien soit issu de la formation A ?
Exercice 24. Un fumeur décide d’arrêter. On suppose que si cette personne n’a pas fumé le jour
n alors la probabilité qu’elle fume le jour suivant est égale à 0.1. Mais si cette personne fume le
jour n, sa probabilité de fumer le jour suivant est égale à 0.8.
1. Exprimer la probabilité que cette personne fume le jour n + 1 en fonction de la probabilité
qu’elle fume le jour n.
2. Déterminer la limite de cette probabilité avec n. Est-ce que cette personne va s’arrêter de
fumer ?
Indication : soit (un )n≥0 , une suite arithmético-géométrique, de premier terme u0 et vérifiant un+1 = aun + b pour a, b ≥ 0. Alors, un = an (u0 − b) + b.
Exercice 25. Dans un cours de statistique, l’enseignant présente trois thèmes, A, B et C. Pour
évaluer un étudiant, l’enseignant choisit au hasard un (et un seul) thème selon les probabilités
suivantes : P (A) = 0.3, P (B) = 0.2. L’enseignant observe que les prestations des élèves dépendent
du thème. Il range ces prestations en trois catégories : E pour un échec total, R pour une
interrogation à revoir pour confirmer la compréhension du sujet et S pour un succés. L’enseignant
constate les performances suivantes :
Thème A 25 % des étudiants obtiennent un succés S, 30 % sont à revoir R, le reste en
échec ;
Thème B 40 % des étudiants sont en échec, pour 40 % en succés, le reste étant à revoir ;
Thème C On atteint ici 50 % d’échec, 30 % à revoir, le reste en succés.
1. Calculer la probabilité qu’un étudiant soit en échec dans cette procédure d’évaluation.
5
2. Sachant que l’étudiant est à revoir, calculer la probabilité qu’il ait été interrogé sur le
Thème C.
3. Calculer la probabilité qu’un étudiant ne soit pas en échec, sachant qu’il ne sera pas interrogé sur le Thème A.
4. Les évènements "être interrogé sur le Thème B" et "obtenir un échec S" sont-ils indépendants ? Justifiez votre réponse.
Exercice 26. Deux personnes jouent en observant les règles suivantes :
— Pour décider qui commence, chaque joueur lance un dé. Le joueur A commence si son dé
marque un nombre de points supérieur ou égal à celui de B. Sinon le joueur B commence.
— Si A commence, il choisit une boule au hasard dans un sac contenant trois boules : une
rouge, une noire et une verte. Si la boule est rouge, A gagne. Si la boule n’est pas rouge,
elle est remise dans le sac ; B choisit à son tour et gagne si sa boule est noire ou verte ;
sinon c’est A qui a gagné.
— Si B commence, il choisit une boule dans le sac. Il gagne si la boule tirée est rouge ou
verte ; sinon il perd et c’est A qui gagne sans avoir eu besoin de jouer.
1. Quelle est la probabilité que A commence ?
2. Quelle est la probabilité que A gagne ? que B gagne ?
3. Est-il équitable que les mises de chaque joueur soient égales ?
Exercice 27. Un étudiant a étudié une fraction (0 ≤ x ≤ 1) de son programme du cours de
probabilités et passe un contrôle ne comportant que des questions auxquelles il faut répondre par
oui ou par non. On suppose qu’il donne la bonne réponse quand la question porte sur la portion
de programme qu’il a étudiée. Il décide de procéder au jet d’une pièce de monnaie dans le cas
contraire : il répondra oui s’il obtient pile et non s’il obtient face.
L’examinateur, qui connaît x ainsi que la règle adoptée par l’étudiant, désirerait savoir, quand
une certaine question a reçu une réponse juste, la probabilité pour que l’étudiant ait répondu à
cette question en connaissance de cause et non pas à l’aide de la pièce de monnaie.
Exercice 28. Les employés d’une entreprise se divisent grossièrement en trois catégories : la
moitié sont des syndicalistes, le tiers des indifférents et le reste est ennemi de tout syndicalisme.
Un jour de grève générale, les employés de l’entreprise sont appelés par leur syndicat à faire
grève. Les transports en commun sont touchés également et rendent difficile l’accès à l’entreprise.
Les syndicalistes sont absents en moyenne à quatre-vingt pour cent, les indifférents à cinquante pour cent. Les antisyndicalistes font tout pour être là, utilisent leur véhicule personnel et
s’absentent en moyenne à dix pour cent seulement.
Le patron constate que l’employé X est absent. Quelle est la probabilité pour qu’il soit
syndicaliste ? antisyndicaliste ?
Exercice 29. Une usine fabrique des pièces d’un certain type pour l’industrie automobile. Deux
défauts de fabrication seulement sont possibles : un défaut de diamètre et un défaut de longueur.
Une étude statistique permet d’admettre que, pour une pièce prélevée au hasard dans la production d’une journée, la probabilité de l’événement A = “la pièce possède un défaut de diamètre”
est P (A) = 0.03 et la probabilité de l’événement B = “la pièce possède un défaut de longueur”
est P (B) = 0.07.
6
On admet que
ments suivants :
E1 = "la pièce
E2 = "la pièce
E3 = "la pièce
E4 = "la pièce
les événements A et B sont indépendants. Calculer la probabilité des événeprélevée
prélevée
prélevée
prélevée
au
au
au
au
hasard
hasard
hasard
hasard
possède les deux défauts" ;
possède au moins l’un des deux défauts" ;
ne possède aucun des deux défauts" ;
possède un seul défaut".
Exercice 30. Dans un magasin se trouvent trois lots de pièces qui contiennent des pièces défectueuses dans les proportions respectives cinq pour cent, huit pour cent et dix pour cent.
Les étiquettes sont perdues. On prélève dans un des lots choisis au hasard, un échantillon de
dix pièces avec remise et on constate que parmi les dix pièces, deux sont défectueuses.
Quelle est la probabilité pour que l’échantillon provienne du lot à cinq pour cent ?
4
Variables aléatoires discrètes.
Exercice 31. [les dés de Sicherman] On considère une paire de dés non truqués sur lesquels
on a remplacé la numérotation classique par les numérotations suivantes :
— premier dé : les faces portent les numéros 1, 2, 2, 3, 3 et 4.
— second dé : les faces portent les numéros 1, 3, 4, 5, 6 et 8.
On lance simultanément les deux dés.
1. Décrire l’univers associé à cette expérience aléatoire.
2. On appelle S la variable aléatoire correspondant à la somme des valeurs obtenues sur les
deux dés. Donner l’ensemble des valeurs possibles pour S puis déterminer la loi de S.
3. Comparer cette loi avec celle de la variable aléatoire T définie comme la somme des valeurs
obtenues en lançant simultanément deux dés classiques.
Exercice 32. Une urne contient dix boules : une rouge, une blanche et huit noires. Un jeu
consiste à tirer simultanément deux boules. Si le joueur tire la boule rouge, il gagne 15 euros ; s’il
tire la boule blanche, il ne gagne rien ; enfin, il perd 2 euros par boule noire tirée. On considère
la variable aléatoire X qui, à chaque tirage associe le gain du joueur.
1. Donner la loi de probabilité de X.
2. En déduire l’espérance mathématique de la variable aléatoire X.
Quelle remarque peut-on faire ?
Exercice 33. Dans un groupe de TD de 30 élèves, une étude statistique permet d’admettre
qu’un jour donné la probabilité qu’un élève soit absent est 0.05. On admet que les absences des
élèves survenues un jour donné sont indépendantes les unes des autres. On note X la variable
aléatoire qui à chaque jour tiré au hasard associe le nombre d’élèves absents.
1. Donner la loi de X.
2. Calculer la probabilité des événements suivants :
— E1 = "un jour donné il y a exactement trois absents" ;
— E2 = "un jour donné il y a strictement plus de deux absents" ;
7
— E3 = "un jour donné le nombre d’absents est compris entre trois et six (bornes comprises)".
3. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X.
Exercice 34. On considère deux roulettes identiques ayant 5 numéros équiprobables : 0, 1, 2,
3 et 4. On fait tourner simultanément les deux roulettes et on s’intéresse à la somme des deux
numéros obtenus après l’arrêt des deux roulettes. La somme X est une variable aléatoire.
1. Quelle est la loi de X ?
2. On appelle "succés" la réalisation de l’événement {X > 3}. Quelle est la probabilité d’un
succés ?
3. On fait tourner 6 fois les 2 roulettes. Le nombre aléatoire de succés obtenus étant noté Y ,
donner la loi de Y . Quelle est la probabilité d’obtenir 3 succés au moins ?
4. Calculer l’espérance mathématique de Y .
P
k−1 = 1/(1 − x)2 .
Indication : on admettra que pour tout x < 1, +∞
x=1 kx
Exercice 35. On suppose que par une nuit sans lune et sans nuage on observe une étoile filante
toutes les 10 minutes en moyenne. Dans ces conditions, quelle est la probabilité d’en voir deux
en un quart d’heure ?
Exercice 36. Une usine fabrique des pièces à l’aide de deux machines A et B produisant chacune
50 % de la fabrication. On constate que la machine A produit 5 % de pièces défectueuses alors
que la machine B n’en produit que 1 %. Les pièces sont vendues par lots de 100 et on ignore par
quelle machine a été fabriquée chaque pièce d’un lot.
1. On choisit au hasard une pièce. Calculer la probabilité qu’elle soit défectueuse.
2. Soit X le nombre aléatoire de pièces défectueuses contenues dans un lot. Déterminer la loi
de X, puis calculer E(X) et σ(X).
3. Un client qui achète un lot, effectue une réclamation lorsque le nombre de pièces défectueuses est supérieur ou égal à 5. Calculer la probabilité pour que la livraison d’un lot
entraîne une réclamation de la part du client.
Exercice 37. On étudie la clientèle d’un opérateur mobile. On s’intéresse en particulier à la
variable aléatoire T donnant la taille (en pouces) de la diagonale de l’écran du mobile d’un client
pris au hasard dans l’ensemble des clients. Une étude indique que T suit la loi suivante :
t
P (T = t)
On sait aussi que E(T ) =
4.7
a
5
b
5.2
5.5
4
12
2
12
615
120 .
1. Déterminer a et b pour que le tableau ci-dessus corresponde bien à une loi pour T .
8
2. On s’intéresse au coût d’achat d’une coque pour téléphone. Pour simplifier, on ne considère
qu’un seul fabricant et qu’un seul modèle par taille de téléphone. Les coques pour téléphone
d’écran de diagonale inférieure ou égale à 5 pouces sont vendues 10 euros par ce fabricant.
Pour un écran de diagonale 5.2 pouces, le prix est de 12 euros et enfin, pour un écran de
taille 5.5 pouces, le prix de la coque est de 15 euros. On suppose pour simplifier qu’aucun
client de l’opérateur ne possède de coque pour son téléphone. Soit X la variable aléatoire
donnant le prix d’achat de la coque pour le téléphone d’un client pris au hasard dans
l’ensemble des clients. Définir X sous la forme X = f (T ) en précisant la fonction f , par
exemple sous forme d’un tableau.
3. Déterminer la loi de X. Calculer E(X).
4. L’opérateur souhaite inciter ses clients à choisir un forfait plus coûteux en offrant un bon
d’achat de 10 euros pour une coque (quel que soit le coût de la coque). Il constate que
la probabilité d’accepter cette offre dépend de la diagonale de l’écran. Soit Z la variable
aléatoire indiquant si un client pris au hasard accepte l’offre (dans ce cas Z vaut 1 et 0
dans le cas contraire). On constate que
t
P (Z = 1 | T = t)
4.7
1
5
1
5.2
5.5
3
4
1
2
Déterminer la loi de Z.
5. À quelle dépense totale l’opérateur peut-il s’attendre avec cette offre en supposant qu’il a
12 millions de clients ?
Exercice 38. On extrait n fois (n ≥ 1) avec remise une boule dans une urne composée de 2
boules vertes et 6 boules blanches. Soit Xn la variable aléatoire associée au nombre de boules
vertes obtenues lors de n tirages. On pose Yn = Xn /n.
1. Donner la loi de Xn . En déduire l’espérance et la variance de Xn puis de Yn .
2. On suppose dans cette question que n = 10000. En utilisant l’inégalité de BienayméTchebycheff, donner une borne inférieure pour la probabilité de l’événement Yn ∈ [0.24, 0.26] ?
3. Déterminer le nombre minimal n de tirages nécessaires pour que la probabilité de l’événement précédent soit au moins égal à 0.99 ?
Exercice 39. On admet que la probabilité d’apparition d’une mutation sur un individu est de
10−6 . Combien d’individus faut-il s’attendre à examiner pour être sûr à au moins 99 pour cent
d’observer au moins un mutant ?
Exercice 40. Soit X une v.a. suivant une loi B(10, 12 ).
1. A l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebycheff, donner une majoration de P (|X − 5| ≥ 4).
2. Calculer exactement P (|X − 5| ≥ 4).
Exercice 41. Pour attribuer une note à un étudiant, le professeur lance deux dés et considère la
plus petite des deux valeurs obtenues. Soit N la variable aléatoire correspondant à cette valeur.
Il définit alors une variable aléatoire X égale à 3N .
1. Déterminer la loi de probabilité de N .
9
2. Calculer l’espérance et la variance de N . En déduire celles de X.
Exercice 42. Un opérateur de téléphones vend le même jour 7 téléphones identiques à des
particuliers. Sachant que la probabilité pour que ce type de téléphone soit en état de fonctionner
deux ans après est de 0.9, calculez la probabilité :
1. Que les 7 téléphones soient en service deux ans plus tard ;
2. Que les 7 téléphones soient hors-service deux ans plus tard ;
3. Que 4 téléphones soient hors-service ;
4. Que 3 téléphones au plus soient hors-service.
Exercice 43. On a observé sur une ligne aérienne donnée, qu’en moyenne 5% des réservations
ne sont pas utilisées. La compagnie vend 100 billets pour 97 places.
Quelle est la probabilité que tous les passagers se présentant à l’embarquement aient une
place ?
Exercice 44. Une urne est constituée de 10 boules blanches et 8 boules noires. On tire au hasard,
et sans remise, 5 boules dans l’urne. Soit la variable aléatoire X égale au nombre de boules noires.
1. Quelle est la loi de probabilité de X ? (donner les valeurs dans un tableau)
2. Calculer son espérance et sa variance.
Exercice 45. On lance un dé à six faces équilibrées successivement et de façon indépendante.
1. Combien faut-il faire de lancers pour avoir plus de 30% de probabilité d’obtenir 6 fois le
chiffre un ?
2. Combien faut-il faire de lancers en moyenne pour obtenir 6 fois le chiffre un ?
3. On lance le dé 120 fois. Quelle est la probabilité pour que le chiffre un apparaisse au plus
quatorze fois ?
Exercice 46. Dans un village, il y a en moyenne deux incendies par an. Quelle est la probabilité
pour qu’il y ait plus de quatre incendies dans l’année à venir ?
5
Lois continues usuelles
Exercice 47. Tous les matins, pendant son travail, une employée de bureau met à jour sa page
facebook. Elle met à jour sa page à une date au hasard entre 8h et 12h, et cette opération dure
toujours 30 minutes. Le chef de service de cette employée passe une fois dans la matinée pour la
surveiller. Le but de l’exercice est de calculer la probabilité p que l’employée soit surprise par son
chef en pleine mise à jour de sa page. On suppose que le chef passe à une date t fixée. Calculer
p en fonction de t.
Exercice 48. Dans cet exercice, on utilisera les indications données en annexe.
1. On suppose X ∼ N (3, 2). Calculer P (X < 6.2).
10
2. On suppose X ∼ N (−2, 4). Calculer P (X > 4.8).
3. On suppose X ∼ N (−3, 2). Calculer P (−4 < X < 0).
Exercice 49. Soit X la v.a. égale à la quantité de goudron contenue dans une cigarette. On
suppose que X suit une loi normale N (µ, σ). On ne connaît pas de moyens de mesurer directement
X, mais on dispose de deux tests : l’un est positif si X ≤ 35.6, l’autre si X ≤ 30.3. On fait un
grand nombre d’observations (imaginons une infinité) et on remarque que P (X ≤ 35.6) = 0.985
et P (X ≤ 30.3) = 0.19. Déterminer la valeur des paramètres µ et σ.
Exercice 50. Un fournisseur d’accès à internet met en place un point local d’accés qui dessert
5000 abonnés. A un instant donné, chaque abonné a une probabilité égalé à 20% d’être connecté.
Les comportements des abonnés sont supposés indépendants les uns des autres.
1. On note X la variable aléatoire égale au nombre d’abonnés connectés à un instant t. Quelle
est la loi de X ? Rappeler alors la valeur de son epérance et écart-type.
√
2. On pose Y = (X − 1000)/ 800. Justifier précisément que l’on peut approcher la loi de Y
par une N (0, 1).
3. Le fournisseur d’accès souhaite savoir combien de connexions simultanées le point d’accès
doit pouvoir gérer pour que sa probabilité d’être saturé à un instant donné soit inférieure
à 5%. En supposant que Y ∼ N (0, 1), proposer une valeur approchée de ce nombre de
connexions en utilisant l’annexe.
Exercice 51. Robert a un rendez-vous avec une amie. Ils vont au restaurant, puis au cinéma.
Le temps passé au restaurant est une v.a de loi exponentielle de paramètre λ = 1 (le temps est
compté en heures).
1. Le film commence 1 heure après leur entrée au restaurant. On néglige les temps d’attente
et de déplacement, quelle est alors la probabilité pour qu’ils ratent le début du film ?
2. Le film dure 1h30. Quelle est la probabilité qu’ils ne voient qu’une partie du film seulement ?
Exercice 52. On suppose que la durée de vie moyenne typique d’un écran LCD est de 10.000
heures d’utilisation (à ne pas confondre avec le temps entre l’achat et la première panne). On
suppose qu’un écran est utilisé exactement 4 heures par jour. Le constructeur fournit une garantie
de 2 ans pour les écrans concernés.
1. Calculer la durée de vie moyenne d’un écran en années depuis l’achat.
2. Calculer la probabilité de panne dans les deux premières années qui suivent l’achat de
l’écran.
3. En supposant que la réparation d’une panne dans la durée de garantie coûte au constructeur
α euros alors que la vente d’un écran rapporte β euros, donner la condition que doivent
vérifier α et β pour que le constructeur ne perde pas d’argent en moyenne en raison de la
garantie.
11
Annexe
R est un logiciel de statistique libre et multi-plateformes. Il permet entre autres de calculer des
probabilités et quantiles pour de très larges familles de lois de probabilités discrètes et continues ;
et donc en particulier pour la loi normale. Ainsi
— l’instruction pnorm(q,m,s) calcule P (X ≤ q) pour X ∼ N (m, s).
— l’instruction qnorm(p,m,s) calcule le réel q tel qu P (X ≤ q) = p pour X ∼ N (m, s). Ce
réel q est évidemment le quantile d’ordre p de X.
Lorsque X ∼ N (0, 1), on peut aussi écrire
R
R
— P (X ≤ q) = pnorm(q,0,1) = pnorm(q).
R
R
— P (X ≤ q) = p ⇐⇒ q = qnorm(p,0,1) = qnorm(p).
Ces fonctions pnorm et qnorm peuvent accepter un vecteur de valeurs en entrées. Ainsi, on
peut obtenir les résultats suivants, dont les instructions sont (même s’il n’est pas requis que vous
les appreniez) assez intuitives.
> q=seq(0.5,2,by=.1)
> q
[1] 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
> pnorm(q)
[1] 0.6914625 0.7257469
[8] 0.8849303 0.9031995
[15] 0.9712834 0.9772499
> p=seq(.5,.95,by=.05)
> p
[1] 0.50 0.55 0.60 0.65
> qnorm(p)
[1] 0.0000000 0.1256613
[8] 1.0364334 1.2815516
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0
0.7580363 0.7881446 0.8159399 0.8413447 0.8643339
0.9192433 0.9331928 0.9452007 0.9554345 0.9640697
0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95
0.2533471 0.3853205 0.5244005 0.6744898 0.8416212
1.6448536
Références
[1] Exercices de probabilités pour futurs ingénieurs et techniciens, Antoine Clerc, Ellipses, 2012.
[2] Polycopié
"Exercices
de
probabilités
et
statistique",
voirs,
Fabrice
Rossi
et
Fabrice
Le
Lec,
Univ.
http://apiacoa.org/teaching/statistics/index.fr.html
sujets
Paris
de
de1,
2015.
[3] Statistique et Probabilités en Economie-Gestion, Christophe Hurlin et Valérie Mignon,
OpenBook Licence/Bachelor, Dunod, 2015.
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