le cours

5ème Chapitre 7
Le calcul littéral
1) Transformations d'égalités
a) Propriétés des égalités
Lorsqu'on a une égalité qui est vraie, par exemple a = b, alors on peut écrire les égalités suivantes
qui seront vraies aussi pour tous nombres relatifs a, b et c (sauf dans un cas particulier où c≠0) :
• b = a. On a le droit d'intervertir les 2 membres d'une égalité
• a+c = b+c. On a le droit d'ajouter le même nombre aux 2 membres d'une égalité
• a×c = b×c. On a le droit de multiplier par le même nombre les 2 membres d'une égalité
Remarque : la 2ème propriété comprend également l'ajout d'un nombre négatif, on doit comprendre
qu'il s'agit de somme algébrique. Pour ce qui est de la 3 ème propriété, cela comprend également la
multiplication par l'inverse, c'est-à-dire la division. Mais on ne peut pas diviser par 0, donc il faut
reformuler la propriété pour ce cas : on a le droit de diviser par un même nombre non nul les 2
membres d'une égalité.
b) Application à la résolution des équations du 1 er degré
Définition : une équation est une égalité dans laquelle figure un nombre (ou plusieurs) inconnu.
Exemples : 2x+1=0 est une équation dans laquelle le nombre inconnu est x.
2x+5y=3 est une équation dans laquelle il y a deux nombres inconnus x et y.
3x²+2x+1=0 est une équation du second degré dans laquelle le nombre inconnu est x.
Définition : Le degré de l'équation est l'exposant maximum de l'inconnu.
Dans une équation du 1er degré, le nombre x² n'intervient pas. Par exemple l'équation x²+2x+1= x²
n'est pas vraiment une équation du 2d degré car le terme x² disparaît complètement si on l'enlève
des 2 côtés de l'égalité (propriété 2).
Définition : Résoudre une équation signifie trouver toutes les valeurs du nombre inconnu (ou des
nombres inconnus s'il y en a plusieurs) qui vérifient l'égalité. On appelle ces valeurs les solutions
de l'équation. Résoudre une équation consiste donc à trouver ses solutions.
Exemples : L'équation 2x+1=0 a pour solution x=−0,5. Mais est-ce la seule solution ? Oui.
L'équation (x−1)²−5(x−1)=0 a pour solution évidente x=1 (car (1−1)²−5(1−1)=0²-5×0=0). Mais estce la seule solution ? Non, il y a aussi x=6. Vérification : (6−1)²−5(6−1)=5²-5²=0
Comment être sûr de trouver toutes les solutions ? En utilisant les propriétés vues au paragraphe
précédent. La méthode pour résoudre une équation du 1 er degré à 1 inconnue est la suivante :
isoler dans un membre ce qui contient le nombre inconnu (en ajoutant ou en enlevant ce qu'il faut)
puis diviser l'égalité par un nombre tel qu'il ne reste plus que le nombre inconnu dans un membre.
On trouve ainsi la solution unique de ce genre d'équations.
Exemple : soit l'équation suivante à résoudre 3x+5 = −1. On commence par ajouter −5 des 2 côtés.
On obtient : 3x+5−5 = −1−5, soit 3x = −6. On divise ensuite par 3. On obtient : x = −6÷3 = −2. C'est
n
k=3-7/n
n
k=3-7/n
fini, la solution unique de cette équation est donc
0
0
−2.
1
-4
-1
10
c) Tester une égalité
Nous avons parlé des égalités qui sont vraies
pour certaines valeurs et qui sont fausses pour
d'autres valeurs. Lorsqu'une égalité est donnée,
on peut remplacer les nombres inconnus par des
valeurs particulières et voir (en effectuant les
calculs) si l'égalité est vraie ou fausse. Cela
s'appelle tester une égalité.
Exemple : testons l'égalité suivante 7=n×3−k 
pour savoir si elle est vérifiée pour des valeurs
entières des nombres inconnus k et n. On peut
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
-0,5
0,67
1,25
1,6
1,83
2
2,13
2,22
2,3
2,36
2,42
2,46
2,5
2,53
2,56
2,59
2,61
2,63
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
-11
-12
-13
-14
-15
-16
-17
-18
-19
6,5
5,33
4,75
4,4
4,17
4
3,88
3,78
3,7
3,64
3,58
3,54
3,5
3,47
3,44
3,41
3,39
3,37
essayer au hasard différentes valeurs de ces nombres, mais le plus efficace est d'exprimer une
inconnue à l'aide de l'autre. On effectue pour cela des transformations qui utilisent les propriétés
7
7
des égalités vues plus haut. En divisant par n, on obtient n =3−k . Si on enlève n et qu'on ajoute
k des 2 côtés de l'égalité, on obtient k =3− 7n qui permet de calculer k lorsqu'on connaît n .
Utilisons alors le tableur pour répondre à la question initiale (voir tableau). On trouve alors quelques
couples (n ; k) solutions du problème : (1 ; −4), (7 ; 2) pour les valeurs positives de n, et (−1 ; 10),
(−7 ; 4) pour les valeurs négatives. Cette méthode ne permet pas de déterminer toutes les
solutions, ou d'être sûr de les avoir trouver toutes, mais elle permet d'explorer efficacement la
situation.
2) Factorisation et développement
a) Distributivité
Remarque introductive: Lorsque nous calculons un produit 'à la main', nous
décomposons un des facteurs en somme. Par exemple, pour calculer 75×12 nous
décomposons 12 en la somme 10+2 et effectuons 75×10 et 75×2, puis nous ajoutons
les produits partiels 750 et 150 pour trouver le résultat final 900. Nous avons donc
considéré que 75×(10+2)= 75×10+75×2. Cette propriété que nous utilisons - depuis la
classe de CE2 - s'appelle la distributivité de la multiplication sur l'addition et peut
s'énoncer ainsi :
Propriété1 : a, b et c étant trois nombres quelconques,
le produit a × (b+c) est égal à la somme a×b + a×c. Autrement dit : a × (b+c) = a×b + a×c.
75
×12
150
750
900
On peut illustrer cette propriété visuellement par un
calcul d'aire de rectangle : a est la longueur d'un côté,
l'autre côté mesure (b+c). On comprend bien que l'aire
du grand rectangle est égale à la somme des aires
des deux plus petits rectangles qui le compose.
Ici, l'aire du rectangle ABCD est 6×2,72.
L'aire du rectangle DCFE est 6×1,28.
L'aire du grand rectangle ABFE est 6×(2,72+1,28).
Un des intérêts de cette propriété est de simplifier un
calcul. Par exemple ici, la somme 6×2,72 + 6×1,28 est
simplifiée quand on l'écrit sous la forme du produit
6×(2,72+1,28) qui peut se calculer de tête car 2,72+1,28=4 et donc 6×(2,72+1,28)=6×4=24.
Autre exemple : calculons mentalement 16×21. On décompose un des facteurs, par exemple 21,
en une somme : 16×21= 16×(20+1). On distribue alors la multiplication: 16×(20+1)=16×20+16×1.
On effectue alors les produits simples 16×20=320 et 16×1=16 et puis la somme 320+16=336.
Remarque : cette propriété est valable aussi lorsqu'on remplace l'addition par la soustraction. Nous
avons vu qu'en effet, une soustraction n'est rien d'autre que l'addition de l'opposé. Par conséquent
la propriété suivante est vraie.
Propriété2 : a, b et c étant trois nombres quelconques,
le produit a × (b-c) est égal à la différence a×b - a×c. Autrement dit : a × (b-c) = a×b - a×c.
Exemple: 16×19 = 16×(20-1) = 16×20 - 16×1 = 320 - 16 = 304.
Illustration avec le calcul des aires de rectangles: Si nous avions voulu calculer l'aire du rectangle
ABCD, nous aurions soustrait l'aire du petit rectangle DCFE au grand rectangle ABFE.
6×4 - 6×1,28 = 6×(4 - 1,28) = 6×2,72
b) Développement et factorisation
La forme a × (b+c) est un produit. C'est le produit de deux facteurs, le premier est a et le second
est la somme b+c. On met des parenthèses autour de b+c car sinon - la multiplication étant
prioritaire - on ne multiplierai a que par b car a×b+c=(a×b)+c. On dit que cette forme est factorisée.
La forme a×b + a×c est une somme. C'est la somme de deux termes, le premier est le produit a×b
et le second est le produit a×c. On ne met pas de parenthèses autour des produits car - la
multiplication étant prioritaire - ils s'effectuent en premier. On dit que cette forme est développée.
Transformer le produit en somme - c'est-à-dire écrire a×(b+c) = a×b+a×c - c'est développer. Par
exemple, lorsqu'on écrit 16×(20-1) = 16×20 - 16×1 on a développé. Cette transformation d'écriture
s'appelle un développement.
La transformation inverse s'appelle une factorisation. Factoriser, c'est transformer une somme en
produit - c'est-à-dire écrire a×b+a×c = a×(b+c). Lorsqu'on fait cela, on dit qu'on met a en facteur.
On remarque que a est un facteur commun des deux produits a×b et a×c, et donc qu'on peut
l'extraire de la somme.
Développer
a×b+a×c
=
a×(b+c)
Factoriser
Variantes : Il y a des variantes de cette propriété obtenues en intervertissant les facteurs d'un des
produits. Par exemple a×b+c×b = (a+c)×b = b×(a+c) ou encore a×b+b×c = (a+c)×b = b×(a+c) ou
encore a×b - b×c = (a - c)×b = b×(a - c).
On peut aussi remplacer un des termes de la somme par une autre somme et obtenir des égalités
de ce genre : a×d+b×d +c×d = (a+b+c)×d ou encore a×b + a×c - a×d= (b+c-d)×a
Généralement, dans une expression littérale, certains nombres seulement sont remplacés par une
lettre. Souvent il n'y a qu'une seule lettre, qui peut éventuellement se retrouver à plusieurs endroits.
Par exemple, dans l'expression 3×a+5×a, il y a le nombre a qui est un facteur commun. On peut
donc factoriser cette expression en mettant a en facteur : 3×a+5×a = (3+5)×a = 8×a.
Un autre exemple, dans l'expression 8×a+16×b, le facteur commun ici n'est pas un nombre
remplacé par une lettre car à priori il n'y a rien de commun entre a et b. Le facteur commun est ici 8
(ou 2, ou 4) et donc on va mettre 8 en facteur : 8×a+16×b = 8×a+8×2×b = 8×(a+2×b).
c) Applications
Les transformations d'écritures que nous venons d'étudier ont de
nombreuses applications :
• Résoudre des équations. Certaines expressions présentes dans
une équation doivent être développées, d'autres doivent être
factorisées. Exemple : pour résoudre l'équation 5(2x−1)−3(x−2)=0
on commence par développer 10x−5−3x+6=0, soit 10x−3x+1=0
ensuite on factorise (10−3)x+1=0, soit 7x+1=0 et enfin on conclut
x=−1÷7.
• Simplifier des expressions numériques. Dans une situation, on
obtient une expression qui peut être simplifiée (raccourcie) grâce à
des développements/factorisations. Exemple : l'aire du triangle
 9−x
 5− x
ABC ci-contre privé du carré BEDF vaut x 2 x 2 , expression
que l'on peut simplifier grandement en la factorisant de la manière
 9−x5−x 
x
= x  14−2
=x 7−x  .
suivante x
2
2
• Prouver des propriétés. On peut transformer une égalité pour
obtenir un certain résultat. Exemple : montrons que le produit de 2 nombres impairs p=2n+1
et p'=2n'+1 est toujours un nombre impair égal à un multiple de 4 plus 1. p ×p'=(2n+1)
(2n'+1)=(2n+1)×2n+(2n+1)×1=2n×2n+1×2n+2n×1+1×1=4n²+2n+2n+1=4n²+2n(1+1)+1=4n²+
4n+1=4(n²+n)+1=4n''+1. Dans ces transformations successives nous avons développé, puis
factorisé 2 fois.