Comportement élastique - Naviguer avec Pierre Lang et Thoè

Draft sujet à révisions 61
Comportement élastique
Descartes nous a appris à aller du plus simple au plus compliqué. Dans les chapitres à venir, nous allons d'abord aller du
plus simple au plus surprenant et ensuite peut-être, du plus surprenant au plus basique !
Le modèle d'Alain Fraysse est basé sur l'élasticité de la ligne de mouillage, que ce soit de la chaîne (très faible élasticité)
ou du câblot en nylon (grande élasticité). Il cite au détour, sans s'y appesantir, la formule Tmax = 2 Fr – Fo, tout en
indiquant que les phénomènes dynamiques. Il explique que la ligne accumule de l'énergie, sous forme d'énergie
potentielle pour la chaîne qui se soulève et élastique pour le câblot qui se tend. La ligne restituerait ensuite cette énergie
au bateau, sous forme d'énergie cinétique. Il indique que pour obtenir un amortissement, il faudrait utiliser un système
amortisseur comme dans les voitures, qui transférerait l'énergie absorbée à l'environnement (air, eau, fond de la mer), tout
en concluant : Let's be serious: the relative speeds between the boat and its environment (air, water, bottom) are much to
low for such devices to be effective while keeping manageable! Thus, unfortunately, the cyclic astern and forward motion
(surging) looks unavoidable !
Son modèle fait l'hypothèse d'un vent établi de force Fo [daN] forcissant linéairement jusqu'à la force de la rafale
Fr [daN] et restant constante ensuite. Le diagramme suivant est relatif à une ligne 100% nylon. Il donne la traction
Tmax [daN] en fonction du temps t [s] correspondant à l'exemple de son site est celui-ci.
Dans ce diagramme, la traction maximale dans le câblot est de 750 daN, proche des 700 daN calculés avec la formule
qu'il cite (Tmax = 2 Fr – Fo) tout en la jetant rapidement aux oubliettes, à cause du comportement dynamique du
système. Je note, avant de poursuivre, que la figure ci-dessus représente un comportement dynamique. Il suffit de
regarder les oscillations du bateau en fonction du temps pour s'en convaincre.
Pourquoi, un alpiniste qui chute, ne rebondit-il pas indéfiniment, comme le modèle de Fraysse le montre ?
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Remarque
Ce qui suit fait appel aux lois de l'élasticité (utilisée par Alain Fraysse et tous ceux qui tentent de modéliser ce genre de
problème) et à la résolution d'une équation du second degré, niveau Lycée, pour ceux qui s'en souviennent.
Élasticité et rigidité
Module de Young
Le module de Young ou module d’élasticité (E) est la constante qui relie la déformation d'un corps en traction, soumis à
une contrainte exprimée en [N/m² = Pa]. Le Module de Young est la contrainte en [N/m²] qui provoquerait un allon-
gement de 100% par rapport à la longueur initiale du corps.
L'allongement relatif () [sans dimension] est proportionnel à la contrainte () en [N/m²]
 =  / E ou  =  E
L'allongement absolu (a) en [m] est
a =  L
Estimation de l'élasticité moyenne des bouts
En réalité, l'élasticité dépend de la tension dans le bout, car ce n'est pas un élastique parfait. Une partie de son élasticité
dépend de la façon dont il est tressé (3-torons, multitresse, etc.) Le fabricant Marlow communique le graphique suivant.
Les courbes qui nous intéressent pour l'instant sont la bleue et la verte (nylon)
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Relation entre le pourcentage d'allongement d'un cordage (%a) et
la traction exprimée en pourcentage (%r) de la charge de rupture (Rr)
(il y a une erreur dans l'échelle des ordonnées, le premier 30 doit être remplacé par 20)
Soit un bout de diamètre (d), de section (S = d²/4) et de longueur (L) soumis à une force (F). La contrainte dans le bout
et son allongement sont donnés par les formules
 = %r Tr et  = %a
ou (Tr) est la tension de rupture du bout en [N/m²]
Comme E =  /  on trouve
E = (%r / %a ) Tr
Par ailleurs  = F / s (force par unité de section)
Pour estimer le Module de Young d'un bout afin de dimensionner le diamètre qui convient dans une ligne de mouillage,
j'assimile la partie utile de la courbe ci-dessus à une droite. Quand on utilise une amarre avec un coefficient de sécurité
suffisant, on se situe clairement dans la partie gauche de la courbe, qui est relativement rectiligne. L'ABYC recommande
un coefficient de sécurité de 8, ce qui signifie faire travailler le bout à maximum 12.5% de sa charge de rupture.
Pour le nylon, par exemple, pour %r' = 25% de la charge de rupture, le graphique montre que l'allongement vaut
%a' = 16%. Le module d'élasticité d'un bout en nylon est alors donné par la formule :
E  1.5625 Tr avec Tr = Rr / S exprimés en [daN/mm²]
où (Rr) est la charge de rupture du bout de section (S)
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Ces caractéristiques sont calculées à partir de leurs moyennes, pour des bouts de 18 mm à 28 mm de diamètre,
sur base des informations du site de Marlow Ropes
Formules de l'élasticité
On a vu que (k) est la rigidité de l'élasticité, donnée par la formule où (s) est la section et (L) la longueur. La rigidité est
d'autant plus grande que le bout est gros et d'autant plus faible qu'il est long. Les formules de l'élasticité sont
k = E S / L
F = k dL
Ee = 0.5 k dL²
où (E) est le module de Young en [N/m²], (S) la section en [m²], (L) la longueur de l'élastique, (F) la force de traction
en [N], (dL) l'allongement correspondant en [m] et (Ee) l'énergie stockée par l'élastique exprimée en [Nm].
Force de choc en alpinisme
Parce qu'il y a une similitude possible dans l'analyse, voici comment les alpinistes analysent le problème de la force de
choc lorsqu’un grimpeur dévisse. C'est le cas que je qualifie de simple. L'étudier est rassurant, car ses conclusions servent
à tenir en vie les alpinistes qui tombent.
Références
»http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_du_second_degr%C3%A9 (équation du second degré)
» Rope System Analysis, by Stephen W. Attaway (http://lamountaineers.org/pdf/xRopes.pdf)
»http://fr.wikipedia.org/wiki/Force_de_choc (ébauche d'article)
Chute d'un alpiniste
Lors d'une chute, un alpiniste de masse m [kg] est soumis à la force Fg [N] de la pesanteur g [m/s²]. La force (de la
pesanteur) est :
Fg = m g
Pendant qu'il tombe, la corde de longueur initiale (Lo) se tend, puis s'allonge d'une longueur (dL). Soit (k) la rigidité de la
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corde qui s'exprime en [N/m]. C'est la force que l'élastique doit subir pour s'allonger d'un mètre. La force élastique
(Tmax) et l'énergie élastique accumulée (Ee) sont données par les formules de l'élasticité :
Tmax = k dL [1]
Ee = 0.5 k dL² [2]
En tombant d'une hauteur (h) plus l'allongement élastique de la corde (dL), le grimpeur accumule de l'énergie poten-
tielle (Ep)
Ep = m g (h+ dL)
Au moment de l'arrêt de sa chute, l'énergie potentielle perdue par le grimpeur est égale à l'énergie élastique gagnée par
l'élastique
0,5 k dL² = m g h + m g dL
On obtient une équation du second degré de la forme ax² + bx + c = 0 dont les racines valent x1/x2 = (-b  D) / 2a où D
est la racine carrée du déterminant qui vaut (b² – 4 ac)
0.5 k dL² – m g dL – m g h = 0
D=
√
(m2g2+2k m g h)ou
D
=
m
g
√
(
1
+
2
k
h
/
m
g
)
En ne conservant que la racine positive, on trouve
dL=m g /k+m g /k
√
(1+2k h /m g)[3]
On peut alors calculer la force de choc (Tmax) en remplaçant (dl) dans la formule [1] par sa valeur tirée de [3]
Tmax=m g (1+
√
(1+2k h /m g ))
Dans cette formule, k est la rigidité de la corde exprimée en [N/m]. Elle vaut
k = E s / L
où (E) est le Module de Young ou module élastique, (s) la section de la corde et (L) sa longueur.
On trouve donc finalement que :
Tmax
=
m
g
(
1
+
√
(
1
+
2
E
s
h
/
L
m
g
))
En posant K = E s (caractéristique élastique de la corde) et f = h / L (appelé facteur de chute)
on trouve la formulation classique des livres d'alpinisme
Tmax
=
m
g
(
1
+
√
(
1
+
2
f
K
/
m
g
))
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