MECANIQUE : TD n°5 - Les CPGE de Loritz

L.PIETRI - Problème à deux corps//Champs newtoniens - Lycée Henri Loritz – PCSI 2 – Année Scolaire 2005/2006
MECANIQUE : TD n°5
A – APPLICATIONS DU COURS
1°) Calculer la vitesse v d’un satellite circulaire terrestre de masse m, en fonction de l’intensité de la
gravitation au sol g
0
=9,81ms
-2
, du rayon terrestre R
T
=6370km et de son altitude h.
Rép : v=√(g
0
R
T
²/(R
T
+h))
2°) En déduire la troisième loi de Képler.
Rép=T=2πr/v⇒(R
T
+h)
3
/T²=g
0
R
T
²/4π²
3°) Démontrer les trois lois de Képler
Rép : a) Le mouvement est plan b) C/2=dS/dt 3°) a
3
/T²=cste
4°) Démontrer les lois de Binet.
Rép : a) v²=C²[u’²+u²] où u=1/r et du/dθ=u’ b) a=-C²u²[u’’+u]e
r
5°) Le premier satellite artificiel avait son apogée à une altitude h
A
=327km et son périgée à h
P
=180km.
a) Déterminer les caractéristiques géométriques de la trajectoire (a,b,c,e,p) sachant que R
T
=6370km.
b) L’intensité de la gravitation au sol étant g
0
=9,81ms
-2
, calculer sa période de révolution T.
Rép : a) a=6623km, c=73km, e=c/a=0,011, p=6622km et b=6622km b) T=1h29min
B – TRAVAUX DIRIGES n°20
I – VOYAGE INTERPLANETAIRE DE LA TERRE A MARS
Pour envoyer un vaisseau spatial vers une autre planète, Mars dans cet
exercice, on le place au préalable sur une orbite (dite de parking) autour de la Terre.
Un moteur auxiliaire lui fournit alors l'énergie nécessaire pour le placer sur l'orbite
interplanétaire ; le moment adéquat du transfert dépendant des positions relatives de
la Terre et de la planète de destination. On suppose que la Terre et Mars décrivent
des orbites circulaires autour du soleil, de rayons respectifs R
T
=1U.A et R
M
=1,52 UA
(on rappelle que 1 UA = 150.10
6
km), situées dans le même plan (plan de l'écliptique),
leurs vitesses respectives étant v
T
=29,8km.s
-1
et v
M
=24,2km.s
-1
. L’orbite de transfert (dite « orbite de Hohman » du
nom de l'astronome qui l'a étudié le premier) est une ellipse tangente à l'orbite de la Terre au départ et à l'orbite de
Mars à l'arrivée. Le départ du vaisseau a lieu quand il se trouve sur la face sombre de la Terre (point D), la vitesse
du vaisseau sur son orbite de parking et celle de la Terre sur son orbite autour du Soleil étant de même sens. La
position de Mars coïncide avec celle du vaisseau à l'arrivée de celui-ci (point A).
On suppose que le vaisseau n'est soumis qu'à l'attraction gravitationnelle du Soleil (on néglige celle de la
Terre), que le rayon de l'orbite de parking est négligeable devant la distance Terre-Soleil et que la vitesse du
vaisseau dans le référentiel héliocentrique au départ est la même que celle de la Terre sur son orbite autour du
Soleil.
1°) Calculer la vitesse v
D
du vaisseau en D sur l'ellipse de Hohman. En déduire la variation de vitesse du
vaisseau et l'énergie que doivent fournir les moteurs.
2°) Calculer la vitesse v
A
du vaisseau en A sur l'ellipse de Hohman. En déduire la variation de vitesse du
vaisseau et l'énergie que doivent fournir les moteurs. Commenter.
3°) Calculer la durée du transfert.
4°) Quelle était la position de Mars sur son orbite au départ du vaisseau pour que la rencontre soit
possible? On donnera la valeur de l'angle (ST
1
, SM
1
), où T
1
et M
1
désignent les positions de la Terre et de Mars à
l'instant où part le vaisseau.
Rép : 1°) v
D
=v
T
√(2R
M
/(R
T
+R
M
))=32,7km.s
-1
, ∆v=2,9km.s
-1
et ∆ε=1/2.mv
T
²(R
M
-R
T
)/(R
M
+R
T
)=91,6.10
6
m (en Joules)
2°) v
A
=v
D
R
T
/R
M
=21,5km.s
-1
, ∆’v=2,7km/s et ∆’ε=60,3.10
6
m (en J) 3°) τ=T
0
/2.[(R
T
+R
M
)/2R
T
]
3/2
=258jours 4°) α=2πτ/T
M
=44,2°
II – FREINAGE D’UN SATELLITE QUASI-CIRCULAIRE
Dans les couches supérieures de l’atmosphère, un satellite circulaire de masse m est faiblement freiné par
une force de norme f
r
=αmv², où α est une constante positive et v la vitesse du satellite dans le référentiel
géocentrique R
0
. En admettant que la trajectoire du satellite reste quasi circulaire, calculer, après une révolution :
- les variations ∆E
m
de son énergie mécanique
- et ∆ E
k
de son énergie cinétique
- et ∆r du rayon de son orbite
Rép : ∆E
m
=-2παGmM
T
∆E
k
=-∆E
m
et ∆r=-4παr²
C – EXERCICES SUPPLEMENTAIRES
I – CHANGEMENT DE TRAJECTOIRE
Un satellite de masse m décrit une orbite circulaire de rayon r
0
à la vitesse v
0
. On lui communique un
petit accroissement de vitesse δv
0
colinéaire à v
0
. Sa période de révolution T
0
varie de δT.
1°) Calculer δT/T
0
en fonction de δr
0
/r
0
2°) Calculer δT/T
0
en fonction de δv
0
/v
0
Rép : 1°) 2δT/T
0
=3δr
0
/r
0
2°) δT/T
0
=3δv
0
/v
0
.

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II – EXPERIENCE DE RUTHERFORD
0 - un petit peu d’histoire...
L'expérience réalisée en 1911 par Sir Ernest Rutherford et ses collaborateurs est schématisée sur la figure
suivante. Les particules alpha (c'est-à-dire des noyaux d'hélium portant la charge positive +2e, émis par
radioactivité sont envoyées sur une cible constituée par une mince feuille d'or d’épaisseur typique 500nm, ce qui
représente un nombre de couches atomiques de l’ordre de 10
3
; l’impact de ces particules sur des écrans au sulfure
de zinc provoque une scintillation qui permet de mesurer la déviation qu’elles ont subie.
L'expérience montre que l'immense majorité des particules traversent la cible sans être déviées, alors que
certaines d'entre elles subissent une déviation parfois supérieure à 90°.
Les particules α interagissent par les forces électrostatiques avec la distribution de charges de la matière.
On savait à l'époque que la charge négative était portée par des particules légères, les électrons, de masse
environ 8000 fois plus faible que celle d'une particule α. Il s'ensuit que, dans le référentiel du laboratoire, les
déviations angulaires produites par leurs collisions sont très faibles, même si l'on tient compte des vitesses
plausibles des électrons dans la matière. Au contraire la distribution de charge positive, à laquelle est associé
l'essentiel de la masse, doit pouvoir produire des déviations importantes. Rutherford a supposé que ces fortes
déviations étaient donc dues à la répulsion électrostatique entre les particules α et la partie de l'atome chargée
positivement; d’autre part le fait que des déviations soient rares, en dépit du grand nombre de couches atomiques
traversées, suggère que cette charge positive est répartie dans une petite région de l’espace: le noyau de
l’atome...
1°) But de l’expérience et hypothèses simplificatrices :
Nous allons supposer ce noyau ponctuel, et montrer que
l’expérience de Rutherford permet de fixer une borne supérieure à
ses dimensions (du noyau).
Une particule α de masse m et de charge q=2e, venant de
l’infini avec la vitesse v
0
, s’approche avec le paramètre d’impact b
d’un noyau cible de masse M ” m et de numéro atomique Z.
Expliquer pourquoi on peut considérer le noyau comme fixe
et ainsi appliquer les lois de la mécanique à la particule α.
2°) Utilité du vecteur de Runge-Lenz pour les exercices de
diffusion :
A l’aide d’un petit peu de géométrie et de la conservation du
vecteur de Runge-Lenz, démontrer que:
tanD k
mbv
2
0
2
=
3°) Pour finir les lois de conservation de L et E
m
:
A l’aide des lois de conservation, démontrer que: r
m
=
k
mv D
0
2
11
2
(sin( / ))+
A l’aide de cette relation, déterminer la distance d’approche
minimale. Que peut-on en déduire sur la taille du noyau, sur la taille du
“ proton ”?
A.N: v
0
=1,70.10
7
ms
-1
, Z
or
=79, m=4m
p
Rép : 1°) G est confondu avec le noyau et M avec α. 2°) Calculer R au début du mouvement sachant que R.e
y
=Rcosα/2
3°) r
m
=38fm et R
nucléon
<<Z
1/3
R
noyau
=8,8fm.
III – MOUVEMENT D’UNE COMETE PARABOLIQUE
Dans le référentiel galiléen associé au soleil de masse M
0
, on considère le mouvement de la terre et celui
d’une comète. La trajectoire de la terre est supposée circulaire de rayon r
0
.
1°) Calculer en fonction de M
0
, r
0
et G constante de gravitation, la vitesse v
0
de la terre.
2°) La trajectoire de la comète est coplanaire à celle de la terre. Son périhélie est à la distance r
0
/2 et sa
vitesse en ce point est 2v
0
.
Quelle est la nature de la trajectoire de la comète ? Exprimer la vitesse v de la comète en fonction de sa
distance r au centre du soleil.
3°) L’orbite de la comète coupe celle de la terre en deux points A et B. Montrer que AB est un diamètre de
l’orbite terrestre et calculer, en ces points, l’angle des deux orbites.
Rép : 1°) v
0
=√(GM
0
/r
0
) 2°) parabole et v=v
0
√(2r
0
/r) 3°) graphiquement…
IV – TROU NOIR SUPER-MASSIF DETECTE PAR HUBBLE EN 1994
Le 25 Mai 1994, les chercheurs de la NASA déclarent avoir mis en évidence au cœur de la galaxie M87 à
52 A.L de la terre un trou noir. En effet ils ont observé un tourbillon de gaz de 500AL de diamètre dont la vitesse de
rotation atteint 1,9millions de km/h.
1°) Par quel procédé la vitesse de rotation est-elle estimée.
2°) Proposer un modèle très simplifié susceptible permettant d’estimer la masse du système à partir des
données expérimentales. On la comparera à la masse du soleil de 2.10
30
kg.
Rép : 1°) Effet döppler 2°) M=rv²/G=5.10
9
M
solaire