Polynésie-Juin

Polynésie-Juin-2014.
Exercice 2
Candidats n'ayant pas suivi la spécialité
5 points
On considère la suite (u n ) définie par : u 0 =0 et pour tout entier naturel n, u n+1=u n+ 2 n+ 2
1 . Calculer u 1 et u 2 .
2 . On considère les deux algorithmes suivants :
De ces deux algorithmes, lequel permet d'afficher en sortie la valeur de u n , la valeur de l'entier naturel n étant
entrée par l'utilisateur ?
3 . A l'aide de l'algorithme, on a obtenu le tableau et le nuage de points ci-dessous où figure n en abscisse et u n
en ordonnée.
a . Quelle conjecture peut-on faire quant au sens de variation de la suite (u n ) ?
Démontrer cette conjecture.
b . La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l'existence de trois réels a, b et c tels que,
pour tout entier naturel n, u n = an 2 +bn+c.
Copyright  meilleurenmaths.com. Tous droits réservés
Page 1
Polynésie-Juin-2014.
Dans le cadre de cette conjecture, trouver les valeurs de a, b et c à l'aide des informations fournies.
4 . On définit, pour tout entier naturel n, la suite (v n ) par : v n =u n+1−u n
a. Exprimer v n en fonction de n. Quelle est la nature de la suite (v n ) ?
k=n
b. On définit, pour tout entier naturel n, Sn = ∑ v k = v 0 + v 1 +… +v n .
k =0
Démontrer que, pour tout entier naturel n, Sn =(n+1)(n+2)
c. Démontrer que, pour tout entier naturel n, Sn = u n+1 - u 0 , puis exprimer u n en fonction de n.
Copyright  meilleurenmaths.com. Tous droits réservés
Page 2
Polynésie-Juin-2014.
Correction :
1 . u 1=u 0 +2×0+ 2=0+ 0+2 =2
u 2=u 1 +2×1+2=2+ 2+2 =6
2 . Pour l'algorithme 1,
La première valeur de i est 1
u prend la valeur 0+ 2×1+ 2 =4 or u 1 =2
Donc l'algorithme 1 ne permet pas d'afficher la valeur de u n pour tout entier naturel n.
Pour l'algorithme 2,
La première valeur de i est 0
u prend la valeur : 0+ 2×0+ 2 =2= u 1
Donc l'algorithme 2 permet d'afficher en sortie la valeur u n .
remarque
Il faut préciser que n est un entier naturel non nul.
3 . a. Conjecture : La suite (u n ) est croissante.
Justification :
Pour tout entier naturel n
u n+1−u n=2 n+2  2 > 0
donc la suite (u n ) est strictement croissante
b. Si on suppose qu'il existe des nombres réels a, b et c tels que pour tout entier naturel n :
u n=an2 +bn+ c
Alors :
pour n=0, u 0=0=a×0+b×0+c soit c=0
pour n=1, u 1=2=a×12 +b×1+c soit a+b+c=2
pour n=3, u 2=6=4×2 2+ b×2+c soit 4a+2b+c=6
On obtient :
c=0 et a+b=2 et 2a+b = 3
Donc a=1 et b=1 et c=0
S'il existe des réels a, b et c tels que pour tout entier naturel n : u n=an2 +bn+ c , alors pour tout entier naturel n
on a : u n=n2 + n .
4 . On considère la suite (v n ) définie pour tout entier naturel n par : v n =u n+1−u n
a. Pour tout entier naturel n on a : u n+1−u n=2 n+2 donc v n =2n+2
(v n ) est la suite arithmétique de premier terme v 0 =2 et de raison r=2.
b. Pour tout enter naturel n
k=n
Sn = ∑ v k = v 0 + v 1 + ...+ v k +...+ v n
k =0
Sn est la somme des n+1 premiers termes de la suite arithmétique de premier terme v 0 et de raison2
1
Donc, S n= ( n+1)(v 0 + v n)
2
Or, v 0 =2 et v n =2n+2
Copyright  meilleurenmaths.com. Tous droits réservés
Page 3
Polynésie-Juin-2014.
1
Sn= (n+1)( 2+ 2+ 2n)
2
Sn= (n+1)(n+2)
c. Sn = v 0 + v 1 + v 2 +…+ v n
Sn = (u 1−u 0 )+(u 2−u1 )+(u 3−u2 ) +…+ (u n+1−u n)
Après simplification on obtient :
Sn=−u 0 +u n+1
Or, u 0 =0
Donc, Sn=un +1
On a donc, Sn=(n+1)( n+2)=un +1
Conséquence :
Pour tout entier naturel n :
2
u n=n( n+1)=n + n
On a donc démontré la conjecture.
Copyright  meilleurenmaths.com. Tous droits réservés
Page 4