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MATHS-LYCEE.FR objectif BAC –Chapitre 1 : suites
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TS-exercice corrig´e Chapitre 1: Suites
Chapitre 1 : suite convergente-algorithme (BAC m´etropole septembre 2012)
EXERCICE 1-9-6 temps estim´e:45mn
L’objet de cet exercice est d’´etudier la suite (un) d´efinie sur Npar
u0= 3 et pour tout entier naturel n,un+1 =1
2un+7 un
On pourra utiliser sans d´emonstration le fait que pour tout entier naturel n, un>0.
1. On d´esigne par fla fonction d´efinie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par
f(x) = 1
2x+7 x
D´emontrer que la fonction fadmet un minimum.
En d´eduire que pour tout entier naturel n, on aun≥√7.
*Solution:
fest d´erivable (somme de fonctions d´erivables) sur ]0; +∞[.
f(x) = 1
2x+7 2×1 x
f0(x) = 1
2+7 2×−1 x2
=1
2−7 2x2
=x2
2x2−7 2x2
=x2−7
2x2
On a 2x2>0 donc f0(x) est du signe de x2−7.
-Etude du signe de x2−7
x2−7=0⇐⇒ x2= 7 ⇐⇒ x=√7 ou x=−√7
or −√7/∈[0; +∞[
donc x2−7 est du signe de acoefficient de x2`a l’ext´erieur des racines.
On a donc :
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donc le minimum de fest atteint pour x=√7
f(√7) = 1
2√7 + 7
√7
=1
2 √7 + 7√7
√7√7!
=1
2 √7 + 7√7 7!
=1
2√7 + √7
=1
2×2√7
=√7
Pour tout entier naturel n, on a un+1 =1
2un+7 un=f(un)
et pour tout x > 0 on a f(x)≥√7 et un∈]0; +∞[ (´enonc´e)
donc pour tout entier naturel ndonc un+1 ≥√7
On a de plus u0≥√7
donc pour tout entier naturel n, on a un≥√7
2.a) Soit nun entier naturel quelconque.
´
Etudier le signe de un+1 −un.
*Solution:
un+1 −un=1
2un+7 un−un
=un
2+7 2un−un
=un
2+7 2un−2un 2
=−un
2+7 2un
=7−u2
n
2un
On a un>0 donc un+1 −unest du signe de 7 −u2
n.
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TS-exercice corrig´e Chapitre 1: Suites
un≥√7 donc u2
n≥7 soit 7 −u2 n≤0
donc un+1 −un<0
b) Pourquoi peut-on en d´eduire que la suite (un) est convergente ?
*Solution:
Pour tout entier naturel n, on a un+1 −un<0 soit (un) d´ecroissante
et un≥√7 donc (un) est minor´ee par √7
donc la suite (un) est d´ecroissante et minor´ee
donc (un) est convergente.
c) On d´eduit de la relation (?) que la limite `de cette suite est telle que `=1
2`+7 `.
D´eterminer `.
*Solution:
`=1
2`+7 `⇐⇒ 2`=`+7 `.
⇐⇒ 2`−`=7
`.
⇐⇒ `=7
`.
⇐⇒ `2= 7.
⇐⇒ `=√7 ou `=−√7.
On a un≥√7 donc la limite `de la suite (un) est `=√7
lim
n→+∞un=√7
3. D´emontrer que pour tout entier naturel n,un+1 −√7 = 1
2un−√72 un
.
*Solution:
un+1 −√7 = 1
2un+7 un−√7 = un 2+7 2un−√7
1
2un−√72 un
=1
2
u2
n−2un√7+7
un
=1
2 u2
n
un−2un√7 un
+7
un!
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=1
2un−2√7 + 7 un
=un
2−√7 + 7 2un
=un
2+7 2un−√7
=1
2un+7 un−√7
=un+1 −√7
un+1 −√7 = 1
2un−√72 un
4. On d´efinit la suite (dn) par :
d0= 1 et pour tout entier naturel n,dn+1 =1
2d2
n
a) D´emontrer par r´ecurrence que pour tout entier naturel n,un−√7≤dn
*Solution:
On note Pnla propri´et´e un−√7≤dn
-Initialisation
On a u0= 3 et u0−√7=3−√7
d0= 1 donc u0−√7≤d0soit P0vraie.
-H´er´edit´e
On suppose qu’il existe un entier naturel ntel que Pnest vraie
soit un−√7≤dn
On veut montrer que Pn+1 est vraie soit un+1 −√7≤dn+1
D’apr`es la question pr´ec´edente, on a un+1 −√7 = 1
2un−√72 un
0≤un−√7≤dndonc 0 ≤(un−√7)2≤d2
n
soit 0 ≤1
2(un−√7)2≤1 2d2
n
De plus un≥√7 donc 0 <1
un≤1
√7<1.
On a donc 0 ≤1
2(un−√7)2≤1 2d2
net 0 <1
un
<1
en multipliant membre `a membre ces deux in´egalit´es (ce qui est possible car ces nombres sont
positifs)
on obtient 0 ≤1
2
(un−√7)2
un≤1 2d2
n
soit un+1 −√7≤dn+1 (on a dn+1 =1
2d2
n)
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soit Pn+1 vraie.
On a montr´e par r´ecurrence que la propri´et´e Pnest vraie pour tout entier naturel n
donc un−√7≤dnpour tout entier naturel n.
b) Voici un algorithme :
En entrant la valeur 9, l’algorithme affiche le nombre 5.
Quelle in´egalit´e peut-on en d´eduire pour d5?
Justifier que u5est une valeur approch´ee de √7 `a 10−9pr`es.
*Solution:
Avant l’entr´ee dans la boucle TANT QUE, on a d=d0= 1 et n= 0.
A chaque passage dans la boucle TANT QUE, on calcule le terme suivant de la suite (dn) soit
1
2d2
n
et on ajoute 1 `a l’indice n.
Le r´esultat affich´e par l’algorithme est l’indice ndonnant dn≤10−9puisqu’on entre dans la
boucle TANT QUE si on a d > 10−9
donc on a ici d5≤10−9.
On a pour tout entier naturel n,un−√7≤dn
donc u5−√7≤d5≤10−9
donc la diff´erence entre u5et √7 est inf´erieure ou ´egale `a 10−9
donc √7 est une valeur approch´ee de u5`a 10−9pr`es.
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