03 - Divisibilité et nombres premier Prépa IFSI

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Divisibilité et nombres premiers
1 – Divisibilité :
1) Définition : Un entier a est divisible par un entier b s’il existe un entier k tel a = b
×
k
2) Critères de divisibilité :
a) Par 2 : Un nombre entier dont le dernier chiffre est 0, 2, 4, 6, 8 est divisible par 2. Il
s’agit des nombres pairs. Tous les autres sont impairs.
b) Par 3 : Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
c) Par 9 : Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
d) Par 5 : Un nombre est divisible par 5 si son dernier chiffre est 0 ou 5.
e) Par 11 : Un nombre de deux chiffres est divisible par 11 si ses deux chiffres sont
identiques.
Un nombre de trois chiffres est divisible par 11 si le chiffre du milieu est égal
à la somme des chiffres extérieurs. Attention, il peut y avoir une retenue
f) Par 4 : Un nombre est divisible par 4 si ses deux derniers chiffres le sont.
g) Par 25 : Un nombre est divisible par 25 si ses deux derniers chiffres le sont, c’est à dire
si ses deux derniers chiffres sont 00, 25, 50 ou 75.
h) Par 8 ou 125 : Un nombre est divisible par 8 ou 125 si ses trois derniers chiffres le sont.
2 – Nombres premiers :
1) Définition : Un nombre premier est un nombre entier plus grand que 1 qui n’est divisible que
par 1 et par lui-même.
2) Pour déterminer les premiers nombres premiers jusqu’à 100 : On utilise le crible
d’Eratosthène.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

3 – Décomposition d’un nombre entiers en nombres premiers :
1) Propriété : Si un entier n’est pas premier, il peut se décomposer comme produit de nombres
premiers.
2) En pratique : On utilise les critères de divisibilité pour décomposer un entier en produit de
nombres premiers.
4 – pgcd et ppcm
1) PGCD : Plus Grand Commun Diviseur. C’est un diviseur commun à plusieurs entiers et c’est
le plus grand.
2) En pratique : On effectue la décomposition en facteurs premiers de chacun des entiers et on
écrit le résultat sous la forme d’un produit de puissances de nombres premiers. Pour trouver le
PGCD, on prend les facteurs premiers communs aux deux nombres et on affecte à chacun
l’exposant le plus petit que l’on trouve.
3) Utilité : La recherche du PGCD permet de simplifier des fractions.
4) PPCM : Plus Petit Commun Multiple. C’est un multiple commun à plusieurs entiers et c’est le
plus petit.
5) En pratique : On effectue la décomposition en facteurs premiers de chacun des entiers et on
écrit le résultat sous la forme d’un produit de puissances de nombres premiers. Pour trouver le
PPCM, on prend toutes les sortes de facteurs premiers de deux décompositions et on leur
affecte à chacun l’exposant le plus grand que l’on trouve.
6) Utilité : La recherche du PPCM permet de mettre des fractions au même dénominateur.