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Patrick Vaudon : éléments de correction au sujet d’agrégation externe de physique 2003
1
Partie A : électromagnétisme et relativité
1.1
Un référentiel est qualifié de Galiléen lorsqu’un point matériel isolé, qui n’est donc
soumis à aucune force extérieure, est soit au repos, soit en mouvement de translation
rectiligne uniforme.
1.2.1
Puisque la divergence du champ magnétique est toujours nulle, cela signifie qu’il
s’agit d’un champ de rotationnels. En d’autres termes, il est toujours possible de trouver un
r
vecteur A tel que :
r r r
B = ∇ΛA
(1)
r
r
A est appelé le potentiel vecteur de B .
En injectant l’expression du potentiel vecteur (I) dans l’équation de MAXWELLFARADAY, on obtient :
r
r
r r ∂ r r
r r r ∂A r  r ∂A 
=0
∇ΛE +
∇ΛA = ∇ΛE + ∇Λ
= ∇Λ  E +
∂t
∂t
∂t 

(
)
(2)
Le rotationnel du dernier membre étant toujours nul, ce dernier appartient donc à un
champ de gradient : on peut toujours trouver une fonction scalaire V telle que :
r
r
r
∂
A
E+
= − ∇ .V
∂t
(3)
La fonction V est appelée potentiel scalaire.
De la relation (III), on déduit l’expression du champ électrique en fonction des potentiels
vecteur et scalaire :
r
r
r
∂
A
E = − ∇ .V −
∂t
(4)
1.2.2
En injectant la définition (IV) dans l’équation de MAXWELL-GAUSS, on obtient la
première relation :
r
r r
∂A  ρ
=
∇. − ∇.ϕ −
∂t  ε 0

soit encore :
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(5)
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(
)
r
r r
ρ
∇2.V + ∂ ∇.A = −
∂t
ε0
2
(6)
En injectant (I) et (IV) dans l’équation de MAXWELL-AMPERE, on obtient la
deuxième relation :
r
r r r
r
r


∂
∂
A
∇Λ ∇ΛA = µ0 J + ε0.µ0.  − ∇.V −
∂t 
∂t 
(
)
(7)
On peut développer le double produit vectoriel :
r
r2 r
r r r
r
r


∂
∂
A
− ∇ .A + ∇. ∇.A = µ0 J + ε0.µ0.  − ∇.V −
∂t 
∂t 
(
)
(8)
Ce qui conduit à l’expression suivante :
(
)
r
r2 r
r r r
r
2
∂
A
∇ .A − ε0.µ0. 2 − ∇. ∇.A + ε0.µ0 ∂V = −µ0.J
∂t
∂t
(9)
1.2.3
En introduisant la jauge de LORENTZ :
r r
∇.A + 12 . ∂V = 0
c ∂t
dans les relations (VI) et (IX), on obtient :
r
r2 r
r
2
∂
A
∇ .A−ε0.µ0. 2 =−µ0. J
∂t
r2
2
ρ
∇ .V − ε0.µ0. ∂ V
2 = −
ε
∂t
0
(10)
(11)
2.1.1
(
r
r r r
F = q E + vΛB
)
(12)
2.1.2
r r r
v' = v − ve
2.1.3
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(13)
Patrick Vaudon : éléments de correction au sujet d’agrégation externe de physique 2003
3
Dans le référentiel R’, la force de LORENTZ s’écrit :
(
) (
r
r r r
r r r r
F' = q E'+v' ΛB' = q E'+( v − ve )ΛB'
)
(14)
Dans la cadre de la mécanique classique, les forces F et F’ sont égales. On en déduit :
(
) (
r r r r
r r r
q E'+( v − ve )ΛB' = q E + vΛB
)
(15)
Soit encore :
(E'−vr ΛB') + vrΛB' = E + vrΛB
r
r
r
r
r
(16)
e
Soit pour conclure :
r
r r r
E = E'−ve ΛB'
et
r
r
B = B'
(17)
2.2.1
Transformation de GALILEE :
x’ = x – ve t
y’ = y
z’ = z
t’ = t
(18)
2.2.2
r r
r r
α ) ∇.B = ∂ Bx + ∂ By + ∂ Bz = ∂ B'x + ∂ B'y+ ∂ B'z = ∇.B' = 0 (19)
∂x
∂y
∂z
∂x'
∂y'
∂z'
r r
β ) ∇ .E = ∂ E x + ∂ E y + ∂ E z = 0
∂x
∂y
∂z
 v e   Bx   0 

    
r
r
veΛB =  0 Λ By  =  − veBz 

    

 0   Bz   veBy 
E x = E'x
E y = E'y+ve Bz
E z = E'z −ve By
r r
r r
∂By 
 ∂B
=0
∇.E = ∂ E'x + ∂ (E'y+veBz ) + ∂ (E'z −ve By ) = ∇.E'+ve z −
∂x'
∂y'
∂z'
∂z' 
 ∂y'
(20)
L’équation de MAXWELL-GAUSS n’est pas invariante sous la transformation de GALILEE.
Patrick Vaudon : éléments de correction au sujet d’agrégation externe de physique 2003
Patrick Vaudon : éléments de correction au sujet d’agrégation externe de physique 2003
4
γ ) Les lois de la physique doivent être invariantes par changement de référentiel.
Puisque l’équation de MAXWELL-GAUSS n’est pas invariante sous la transformation de
GALILEE, c’est soit que cette équation est incorrecte, soit que la transformation de
GALILEE est incorrecte.
2.3.1
Il s’agit d’un problème à deux dimensions (pas de dépendance en z). En choisissant un
repère cylindrique (r, θ, z), on se ramène à un problème à une dimension puisqu’il s’agit d’un
problème à symétrie cylindrique (pas de dépendance en θ).
Dans (R’), il s’agit d’un problème d’électrostatique. On en déduit immédiatement :
r
B' = 0
(21)
Le champ électrique peut être calculer par application du théorème de GAUSS sur une
portion de fil de hauteur h :
x
h
r
E’
r
Des considérations de symétrie amènent à conclure que le champ est radial. Dans ces
conditions, son flux à travers les disques supérieur et inférieur du cylindre est nul.
L’application du théorème de GAUSS permet d’écrire :
Φ =
r r
E
∫∫ '.ds = 2πrhE(r) =
∑ Q int
s
ε0
=
λ0h
ε0
d’où on déduit :
E' (r) =
λ0
2πε0r
2.3.2
En utilisant le résultat 2.1.3 :
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(22)
Patrick Vaudon : éléments de correction au sujet d’agrégation externe de physique 2003
r
r r r
E = E'−ve ΛB'
5
r
r
B = B'
et
on déduit :
B = B’ = 0
r
r
E = E' =
et
λ0
2πε0r
(23)
2.3.2
Dans le référentiel (R), les charges sont animées d’une vitesse ve, elles sont
équivalentes à un courant J = λ0 ve
Le théorème d’ampère s’écrit :
r r
r
B
.
d
l
=
µ
J
0
∫
B 2πr = µ0 λ0 ve
B(r) =
µ 0λ 0 ve
2πr
(24)
2.3.4
Les valeurs de B obtenues aux questions 2.3.2 et 2.3.3 sont différentes. La valeur
obtenue en 2.3.3 est difficilement contestable. On en conclut que le raisonnement qui a
conduit à la valeur trouvée en 2.3.2 est incorrect, et on peut suspecter fortement la
transformation de GALILEE.
3.1.1
Les lois de la physique sont indépendantes du référentiel dans lequel elles sont
formulées : elles doivent donc être invariantes par changement de référentiel.
3.1.2
x' =
x − βe(ct )
2
e
2
v
1−
c
y’ = y
z’ = z
ct' =
ct − βe( x )
3.1.3
0n déduit des relations de transformations des champs :
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v2
1 − 2e
c
(25)
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6
E x = E'x
E y = γ e(E'y−cβe B'z )
E z = γ e(E'z +cβe B'y )
(26)
Bx = B'x
By = γ e (B'y+βe E'z / c)
Bz = γ e (B'z −βe E'y / c)
α)
r r
∂Bx ∂By ∂Bz
∇ .B =
+
+
=0
∂x
∂y
∂z
)
(
 
 
β
β


= γ e ∂ − βe ∂ B'x + ∂  γ e B'y+ e E'z   + ∂  γ e B'z − e E'y   = 0 (27)
∂x'
∂y'  
c∂t'
c
c
  ∂z'  

 ∂B'x ∂B'y ∂B'z
= γ e
+
+
∂y'
∂z'
 ∂x'
 γ eβe  ∂B'x ∂E'z ∂E'y 
 +
−
=0
+
−
c 
∂t'
∂y'
∂z' 

Puisque l’équation de MAXWELL-FARADAY est supposée invariante, cela implique
que le second terme de l’expression ci-dessus doit être nul. Or Lorsqu’on regarde ce terme et
qu’on le compare avec l’équation de MAXWELL-FARADAY, on constate qu’il y a un
problème de signe.
La transformation des champs qui est donnée au début de la question 3 est celle qui
relie les champs du référentiel (R’) aux champs du référentiel (R) (Les termes avec un prime
devraient être à gauche, et les termes sans prime à droite). La correction s’effectue en
changeant le signe de la vitesse relative de (R’) par rapport à (R) :
E x = E'x
E y = γ e(E'y+cβe B'z )
E z = γ e(E'z −cβe B'y )
Bx = B'x
By = γ e (B'y−βe E'z / c)
Bz = γ e (B'z +βe E'y / c)
On obtient alors :
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(28)
Patrick Vaudon : éléments de correction au sujet d’agrégation externe de physique 2003
7
r r
∂Bx ∂By ∂Bz
∇ .B =
+
+
=0
∂x
∂y
∂z
(
)
 
 
β
β


= γ e ∂ − βe ∂ B'x + ∂  γ e B'y− e E'z   + ∂  γ e B'z + e E'y   = 0
∂x'
c∂t'
∂y'  
c
∂
z
'
c


 
 ∂B'x ∂B'y ∂B'z
= γ e
+
+
∂y'
∂z'
 ∂x'
(29)
 γ eβe  ∂B'x ∂E'z ∂E'y 
 +
−
=0
−
+
∂t'
∂y'
∂z' 
c 

L’invariance de l’équation de MAXWELL-FARADAY est supposée
invariante, ce qui permet d’écrire :
 ∂E'z ∂E'y   ∂B'x
 ∂ 


−
−
 ∂x'   E'x   ∂y'
∂z'   ∂t'



r
∂B'y


∂E'x ∂E'z 
∇ΛE' =  ∂ Λ E'y  = 
= −
−
∂y'
∂x' 
∂t'
 ∂z'
 ∂   E'   ∂E'y ∂E'x   ∂B'z
−

  z
 ∂x' − ∂y'   ∂t'
 ∂z' 









(30)
La première ligne de (30) annule le second terme de la dernière ligne de (29). Il reste :
r r
 ∂B'x ∂B'y ∂B'z
∂Bx ∂By ∂Bz
∇ .B =
+
+
= γ e
+
+
∂x
∂y
∂z
∂y'
∂z'
 ∂x'

 = 0

(31)
On en déduit que :
r r  ∂B'
∂B'y ∂B'z
x
∇.B' = 
+
+
∂y'
∂z'
 ∂x'

 = 0

(32)
et on pourrait penser que l’invariance de cette relation a été montrée de manière
rigoureuse : en réalité il n’en est rien, car le terme γe présent dans (31) suffirait à rompre cette
invariance. Ce qu’on ne voit pas dans (31), c’est que γe est présent en facteur avec 0 dans le
dernier membre (voir question suivante), et que donc on aboutit bien à l’invariance (32).
β)
r r
∂E x ∂E y ∂E z
∇ .E =
+
+
=0
∂x
∂y
∂z
(
)
= γ e ∂ − βe ∂ E'x + ∂ (γ e(E'y+cβe B'z )) + ∂ (γ e(E'z −cβe B'y )) = 0
∂z'
∂x'
c∂t'
∂y'
∂E'y ∂E'z
 ∂E'
= γ e x +
+
∂y'
∂z'
 ∂x'
(33)


∂E'x ∂B'z ∂B'y 
 + cγ eβe − 12
=0
+
−
∂y'
∂z' 

 c ∂t'
L’équation de MAXWELL-AMPERE est supposée invariante, ce qui permet d’écrire
lorsque J =0:
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8
 ∂B'z ∂B'y 
 ∂E'x 
 ∂ 


−
 ∂t' 
 ∂x'   B'x   ∂y'
∂z' 
 ∂E' 


r r 

∂B'x ∂B'z 
y

∇ΛB' =  ∂ Λ B'y  = 
−
= 12 
∂y' 
∂
z
'
∂
x
'
∂
t
'


c



 ∂   B'   ∂B'y ∂B'x 
∂E'z 


  z
 ∂t' 
 ∂x' − ∂y' 
 ∂z' 




(34)
La première ligne de (34) annule le second terme de la dernière ligne de (33). Il reste :
r r
∂E'y ∂E'z
 ∂E'
∂E x ∂E y ∂E z
∇ .E =
+
+
= γ e x +
+
∂x
∂y
∂z
∂y'
∂z'
 ∂x'

 = 0

(31)
On en déduit que :
r
∂E'y ∂E'z
 ∂E'
∇.E' =  x +
+
∂y'
∂z'
 ∂x'

 = 0

(32)
Pour montrer que la simplification par γe conserve l’invariance, reproduisons le
raisonnement en présence d’une densité volumique de charges ρ, en notant que cette densité
volumique se transforme dans le référentiel (R’) en γeρ’, car la charge est invariante par
changement de référentiel, tandis que le volume a été contracté suivant la dimension parallèle
au déplacement. On obtient
r r
∂E x ∂E y ∂Ez
ρ
=
∇ .E =
+
+
ε0
∂x
∂y
∂z
∂E'y ∂E'z
 ∂E'
= γ e x +
+
∂y'
∂z'
 ∂x'
(33)


∂E'x ∂B'z ∂B'y 
ρ'
 + cγ eβe − 12
 = γ e
+
−
∂
∂
∂
t
'
y
'
z
'
ε
0

 c

et on obtient donc :
r
∂E'y ∂E'z
 ∂E'
∇.E' =  x +
+
∂y'
∂z'
 ∂x'
 ρ'
 =
 ε0
(34)
γ)
L’équation de MAXWELL-GAUSS est invariante par changement de référentiel sous
la transformation de LORENTZ. Par rapport à la question 2.2.2 γ, nous avons conservé les
équations de MAXWELL, et trouvé une relation de changement de coordonnées entre
référentiels inertiels qui conserve l’invariance de ces équations.
3.2.1
Réponse identique à la question 2.3.1 :
r
B' = 0
Patrick Vaudon : éléments de correction au sujet d’agrégation externe de physique 2003
(35)
Patrick Vaudon : éléments de correction au sujet d’agrégation externe de physique 2003
E' (r) =
λ0
2πε0r
9
(36)
3.2.2
Le référentiel (R) est en déplacement de translation relatif à la vitesse – ve par rapport
à (R’).
Dans (R’), le champ est électrostatique donné par (35).
Dans (R), on obtient les champs suivants après avoir changé de signe par rapport à
(28) car le référentiel (R) est en déplacement de translation relatif à la vitesse – ve par rapport
à (R’).
E x = E'x
E y = γ e(E'y−cβe B'z )
E z = γ e(E'z +cβe B'y )
(37)
Bx = B'x
By = γ e (B'y+βe E'z / c)
Bz = γ e (B'z −βe E'y / c)
Ces transformations sont identiques à celles qui sont données dans le texte soit donc :
r
r
E // = E'//
r
r
r
E ⊥ = γ e E'⊥−ve ΛB'⊥
r
r
B// = B'//
(
)
(38)
r
v r 
r
B⊥ = γ e B'⊥+ 2e ΛE'⊥ 
c


On en déduit les champs dans le référentiel (R) :
r
r
E // = E'// = 0
( )
r
r
λ0 r
E ⊥ = γ e E'⊥ = γ e
e
2πε0r r
r
r
B// = B'// = 0
r
λµv r
 v r  γ v λ0 r
B⊥ = γ e 2e ΛE'⊥  = e 2 e
eθ = γ e 0 0 e eθ
2πr
c 2πε0r
c

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(39)
Patrick Vaudon : éléments de correction au sujet d’agrégation externe de physique 2003
10
3.2.3
α)
Appliquons le théorème de GAUSS dans (R), avec la valeur du champ électrique obtenue à la
question précédente :
Φ =
r r
∫∫ E.ds = 2πrhE(r) = 2πrhγ
s
e
λ0
=
2πε0r
∑ Q int
ε0
(40)
On déduit :
∑ Q int = γ λ h dans le référentiel (R)
e
0
(41)
β)
On a dans le référentiel (R’) où le fil est statique :
∑ Q int = λ h
0 référentie l(R' )
(42)
Cette charge est invariante par changement de référentiel. Elle s’écrit dans le référentiel (R) :
∑ Q int = λ h
0 référentie l(R)
(43)
La cinématique relativiste introduit une contraction des longueurs telle que :
hréférentiel(R) = hréférentiel(R’) γe
(44)
d’où le résultat (41).
γ)
On peut alors évaluer directement le champ dans le référentiel (R) par le théorème
d’AMPERE, suivant la méthode décrite en 2.3.2 :
B 2πr = µ0 λ0 γe ve
B(r) =
µ 0λ 0 γ e ve
2πr
soit donc exactement l’expression obtenue en (39)
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(45)
(46)