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Patrick Vaudon : éléments de correction au sujet d’agrégation externe de physique 2003
Patrick Vaudon : éléments de correction au sujet d’agrégation externe de physique 2003
1
Partie A : électromagnétisme et relativité
1.1
Un référentiel est qualifié de Galiléen lorsqu’un point matériel isolé, qui n’est donc
soumis à aucune force extérieure, est soit au repos, soit en mouvement de translation
rectiligne uniforme.
1.2.1
Puisque la divergence du champ magnétique est toujours nulle, cela signifie qu’il
s’agit d’un champ de rotationnels. En d’autres termes, il est toujours possible de trouver un
vecteur
A
r
tel que :
AB
r
r
r
Λ∇= (1)
A
r
est appelé le potentiel vecteur de
B
r
.
En injectant l’expression du potentiel vecteur (I) dans l’équation de MAXWELL-
FARADAY, on obtient :
( )
0
t
A
E
t
A
EA
t
E=
∂
∂
+Λ∇=
∂
∂
Λ∇+Λ∇=Λ∇
∂
∂
+Λ∇
r
r
r
r
r
r
rrr
r
r
(2)
Le rotationnel du dernier membre étant toujours nul, ce dernier appartient donc à un
champ de gradient : on peut toujours trouver une fonction scalaire V telle que :
V.
t
A
E∇−=
∂
∂
+
r
r
r
(3)
La fonction V est appelée potentiel scalaire.
De la relation (III), on déduit l’expression du champ électrique en fonction des potentiels
vecteur et scalaire :
t
A
V.E ∂
∂
−∇−=
r
r
r
(4)
1.2.2
En injectant la définition (IV) dans l’équation de MAXWELL-GAUSS, on obtient la
première relation :
0
t
A
.. ε
ρ
=
∂
∂
−ϕ∇−∇
r
rr
(5)
soit encore :

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2
(
)
0
2
A.
t
V. ε
ρ
−=∇
∂
∂
+∇
r
r
r
(6)
En injectant (I) et (IV) dans l’équation de MAXWELL-AMPERE, on obtient la
deuxième relation :
(
)
∂
∂
−∇−
∂
∂
µε+µ=Λ∇Λ∇
t
A
V.
t
..JA
000
r
r
r
r
r
r
(7)
On peut développer le double produit vectoriel :
(
)
∂
∂
−∇−
∂
∂
µε+µ=∇∇+∇−
t
A
V.
t
..JA..A.
000
2
r
r
r
r
r
r
r
r
(8)
Ce qui conduit à l’expression suivante :
(
)
J.
t
V
.A..
tA
..A.
000
2
2
00
2
r
r
r
r
r
r
r
µ−=
∂
∂
µε+∇∇−
∂
∂
µε−∇ (9)
1.2.3
En introduisant la jauge de LORENTZ :
0
t
V
.
c
1
A.
2
=
∂
∂
+∇
r
r
dans les relations (VI) et (IX), on obtient :
J.
tA
..A. 0
2
2
00
2
r
r
r
r
µ−=
∂
∂
µε−∇ (10)
0
2
2
00
2
tV
..V.
ε
ρ
−=
∂
∂
µε−∇
r
(11)
2.1.1
(
)
BvEqF
r
r
r
r
Λ+= (12)
2.1.2
e
vv'v
r
r
r
−= (13)
2.1.3

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3
Dans le référentiel R’, la force de LORENTZ s’écrit :
(
)
(
)
(
)
'Bvv'Eq'B'v'Eq'F
e
r
r
r
r
r
r
r
r
Λ−+=Λ+= (14)
Dans la cadre de la mécanique classique, les forces F et F’ sont égales. On en déduit :
(
)
(
)
(
)
BvEq'Bvv'Eq
e
r
r
r
r
r
r
r
Λ+=Λ−+ (15)
Soit encore :
(
)
BvE'Bv'Bv'E
e
r
r
r
r
r
r
r
r
Λ+=Λ+Λ− (16)
Soit pour conclure :
'Bv'EE
e
r
r
r
r
Λ−= et
'
B
B
r
r
=
(17)
2.2.1
Transformation de GALILEE :
x’ = x – v
e
t y’ = y z’ = z t’ = t (18)
2.2.2
α ) 0'B.'B
'z
'B
'y
'B
'x
B
z
B
y
B
x
B.
zyxzyx
=∇=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
r
r
r
r
(19)
β ) 0E
z
E
y
E
x
E.
zyx
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
r
r
−= Λ =Λ
ye
ze
z
y
xe
e
Bv
Bv
0
B
B
B
0
0
v
Bv r
r
yezz
zeyy
xx
Bv'EE
Bv'EE
'EE
−=
+=
=
( ) ( )
0
'z
B
'y
B
v'E.Bv'E
'z
Bv'E
'y
'E
'x
E.
y
z
eyezzeyx
=
∂
∂
−
∂
∂
+∇=−
∂
∂
++
∂∂
+
∂∂
=∇ rrrr (20)
L’équation de MAXWELL-GAUSS n’est pas invariante sous la transformation de GALILEE.

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4
γ ) Les lois de la physique doivent être invariantes par changement de référentiel.
Puisque l’équation de MAXWELL-GAUSS n’est pas invariante sous la transformation de
GALILEE, c’est soit que cette équation est incorrecte, soit que la transformation de
GALILEE est incorrecte.
2.3.1
Il s’agit d’un problème à deux dimensions (pas de dépendance en z). En choisissant un
repère cylindrique (r, θ, z), on se ramène à un problème à une dimension puisqu’il s’agit d’un
problème à symétrie cylindrique (pas de dépendance en θ).
Dans (R’), il s’agit d’un problème d’électrostatique. On en déduit immédiatement :
0'B =
r
(21)
Le champ électrique peut être calculer par application du théorème de GAUSS sur une
portion de fil de hauteur h :
x
h
r
E
r
’
Des considérations de symétrie amènent à conclure que le champ est radial. Dans ces
conditions, son flux à travers les disques supérieur et inférieur du cylindre est nul.
L’application du théorème de GAUSS permet d’écrire :
0
0
0
s
h
intQ
)r(rhE2sd'.E ε
λ
=
ε
=π==Φ
∑
∫∫
r
r
d’où on déduit :
r2 )r('E
0
0
πε
λ
= (22)
2.3.2
En utilisant le résultat 2.1.3 :

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5
'Bv'EE
e
r
r
r
r
Λ−= et
'
B
B
r
r
=
on déduit :
B = B’ = 0 et r2 'EE
0
0
πε
λ
==
r
r
(23)
2.3.2
Dans le référentiel (R), les charges sont animées d’une vitesse v
e
, elles sont
équivalentes à un courant J = λ
0
v
e
Le théorème d’ampère s’écrit :
∫
µ= Jld.B
0
r
r
r
B 2πr = µ0 λ0 ve
r
2
v
)r(B
e00
π
λ
µ
= (24)
2.3.4
Les valeurs de B obtenues aux questions 2.3.2 et 2.3.3 sont différentes. La valeur
obtenue en 2.3.3 est difficilement contestable. On en conclut que le raisonnement qui a
conduit à la valeur trouvée en 2.3.2 est incorrect, et on peut suspecter fortement la
transformation de GALILEE.
3.1.1
Les lois de la physique sont indépendantes du référentiel dans lequel elles sont
formulées : elles doivent donc être invariantes par changement de référentiel.
3.1.2
(
)
2
2
e
e
c
v
1
ctx
'x −
β
−
= y’ = y z’ = z
(
)
2
2
e
e
c
v
1
xct
'ct −
β
−
= (25)
3.1.3
0n déduit des relations de transformations des champs :