Cosinus d’un angle aigu I) Définitions : a) Côté adjacent et hypoténuse : Définition n°1 : Dans un triangle rectangle : • l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit (c’est le plus long des trois côtés) • le côté adjacent à un angle aigu est le côté de cet angle qui n’est pas l’hypoténuse. Exemple : Soit ABC un triangle rectangle en B : Angle On repère ses côtés : [AB] et [AC]. Comme [AC] est l’hypoténuse, on en déduit que [AB] est la côté adjacent à l’angle . Angle On repère ses côtés : [CA] et [CB]. Comme [CA] est l’hypoténuse, on en déduit que [CB] est la côté adjacent à l’angle . Remarque : On rappelle que les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires, c’està-dire deux angles dont la somme des mesures fait 90°. Dans le triangle précédent, les angles donc écrire que : et + Par exemple, si sont complémentaires, on peut = 90 = 36°, on en déduit que = 90 – = 90 – 36 = 54°. Définition n°2 : Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l’hypoténuse. Exemple : Le triangle DEF est rectangle en D. Ecrire la formule donnant le cosinus de l’angle aigu . On commence par faire une figure pour visualiser la situation : On repère le côté adjacent de l’angle et l’hypoténuse : Puis on écrit la formule et on remplace par les bonnes données : Cos( )= Cos( )= ô é à é Conclusion : Cos( )= Remarque : Comme la longueur du côté adjacent est strictement inférieure à la longueur de l’hypoténuse, le cosinus d’un angle est toujours compris entre 0 et 1. II) Calcul d’une longueur : a) Calcul de la longueur du côté adjacent : Exemple : Soit ABC un triangle rectangle en A tel que BC = 5 cm et = 50°. Déterminer la longueur du côté [AB] arrondie au dixième. Méthode : Première étape : construire une figure à main levée où on repère l’hypoténuse et le côté adjacent à l’angle donné . Deuxième étape : on écrit le cosinus d’un angle : la longueur cherchée doit apparaître dans le quotient : Cos( )= Cos( )= ô é à !" é ! !" Troisième étape : on remplace ce que l’on peut par les données de l’énoncé : Cos(50) = ! # ( on a remplacé par 50 et BC par 5 ) Quatrième étape : on écrit l’égalité précédente sous forme d’une égalité de quotients : " (#%) ' = ! # => on pourra ainsi appliquer la quatrième proportionnelle. Cinquième étape : on applique la quatrième proportionnelle pour calculer AB : AB = #×" (#%) ' AB ≅ 3,2 cm, valeur arrondie au dixième. Conclusion : AB ≅ 3,2 cm b) Calcul de la longueur de l’hypoténuse : Exemple : Soit ABC un triangle rectangle en B tel que AB = 8 m et Déterminer la longueur du côté [AC] arrondie au dixième. = 34°. Méthode : Première étape : construire une figure à main levée où on repère l’hypoténuse et le côté adjacent à l’angle donné . Deuxième étape : on écrit le cosinus d’un angle : la longueur cherchée doit apparaître dans le quotient : Cos( )= Cos( )= ô é à! " é ! " Troisième étape : on remplace ce que l’on peut par les données de l’énoncé : Cos(34) = * " ( on a remplacé par 34 et AB par 8 ) Quatrième étape : on écrit l’égalité précédente sous forme d’une égalité de quotients : " (+,) ' = * " => on pourra ainsi appliquer la quatrième proportionnelle. Cinquième étape : on applique la quatrième proportionnelle pour calculer AC : AC = *×' " (+,) AC ≅ 9,6 m, valeur arrondie au dixième. Conclusion : AC ≅ 9,6 m III) Calcul de la mesure d’un angle aigu : Exemple : Soit ABC un triangle rectangle en C tel que AB = 12 cm et AC = 8 cm. Déterminer la mesure de l’angle , valeur arrondie au degré prés. Méthode : Première étape : construire une figure à main levée où on repère l’hypoténuse et le côté adjacent à l’angle cherché . Deuxième étape : on écrit le cosinus d’un angle : l’angle cherché doit apparaître dans le cosinus : Cos( )= Cos( )= ô é à! " é " ! Troisième étape : on remplace ce que l’on peut par les données de l’énoncé : Cos( )= * '- ( on a remplacé AC par 8 et AB par 12 ) Quatrième étape : on utilise la machine à calculer pour déterminer la mesure de l’angle : On appuie sur la touche INV ou 2ND ou SHIFT de la machine, puis la touche Cos puis la séquence de touches « ( 8 / 12 ) » . Après validation de ce calcul, la calculatrice doit afficher 48,189685104 …, valeur qui représente la mesure de l’angle . On conclut : = 48°, valeur arrondie au degré.