Polynésie 2010. Enseignement de spécialité

Polynésie 2010. Enseignement de spécialité
EXERCICE 3 (5 points)
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
On considère l’équation (E):7x −6y =1où xet ysont des entiers naturels.
1) Donner une solution particulière de l’équation (E).
2) Déterminer 1’ensemble des couples d’entiers naturels solutions de l’équation (E).
Partie B
Dans cette partie, on se propose de déterminer les couples (n, m)d’entiers naturels non nuls vérifiant la relation :
7n−3×2m=1(F).
1) On suppose m64. Montrer qu’il y a exactement deux couples solutions.
2) On suppose maintenant que m>5.
a) Montrer que si le couple (n, m)vérifie la relation (F)alors 7n≡1(modulo 32).
b) En étudiant les restes de la division par 32 des puissances de 7, montrer que si le couple (n, m)vérifie
la relation (F)alors nest divisible par 4.
c) En déduire que si le couple (n, m)vérifie la relation (F)alors 7n≡1(modulo 5).
d) Pour m>5, existe-t-il des couples (n, m)d’entiers naturels non nuls vérifiant la relation (F)?
3) Conclure, c’est-à-dire déterminer l’ensemble des couples d’entiers naturels non nuls vérifiant la relation (F).
http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

Polynésie 2010. Enseignement de spécialité
EXERCICE 3
Partie A
1) Le couple (x0, y0) = (1, 1)est une solution particulière de l’équation (E).
2) Soit (x, y)un couple d’entiers relatifs.
7x −6y =1⇒7x −6y =7x0−6y0⇒7(x−x0) = 6(y−y0).
Mais alors, puisque l’entier 7divise l’entier 7(x−x0), l’entier 7divise l’entier 6(y−y0). Puisque d’autre part,
les entiers 6et 7sont premiers entre eux, le théorème de Gauss permet d’affirmer que l’entier 7divise l’entier
y−y0. De même, l’entier 6divise x−x0. Par suite, il existe des entiers relatifs ket k′tels que x−x0=6k et
y−y0=7k′ou encore x=1+6k et y=1+7k′.
Réciproquement, soient ket k′deux entiers relatifs puis x=1+6k et y=1+7k′.
7x −6y =1⇔7(1+6k) − 6(1+7k′) = 1⇔42(k−k′) = 0⇔k=k′.
Finalement, les couples d’entiers relatifs solutions de (E)sont les couples de la forme (1+6k, 1 +7k)où k∈Z.
Enfin, les entiers relatifs 1+6k et 1+7k sont positifs si et seulement si kest positif et donc
les couples d’entiers naturels solutions de (E)sont les couples de la forme (1+6k, 1 +7k)où k∈N.
Partie B
1) •Si m=1, l’équation (F)s’écrit 7n=7et admet pour unique solution n=1.
•Si m=2, l’équation (F)s’écrit 7n=13 et n’admet pas de solution.
•Si m=3, l’équation (F)s’écrit 7n=25 et n’admet pas de solution.
•Si m=4, l’équation (F)s’écrit 7n=49 et admet pour unique solution n=2.
En résumé, il y a exactement deux couples (n, m)solutions de (F)tels que m64à savoir (1, 1)et (2, 4).
2) a) Si m>5,2m=2m−5×25=32 ×2m−5et donc 2m≡0[32].
Par suite, si le couple (n, m)est solution de (F), alors 7n=1+3×2m≡1[32].
b) 70=1≡1[32].71=7≡7[32],72=49 ≡17 [32].
Ensuite, 73≡7×17 [32]puis 73≡119 [32]puis 73≡23 [32].
Enfin, 74≡7×23 [32]puis 74≡161 [32]puis 74≡1[32].
Posons alors n=4q +roù r∈{0, 1, 2, 3}(division euclidienne de npar 4).
On a 7n=74q+r= (74)q×7ret donc 7n≡(14)q×7r[32]ou encore 7n≡7r[32].
Les calculs initiaux montrent que 7n≡1[32]si et seulement si r=0ce qui équivaut à nest divisible par 4.
Donc, si (n, m)est une solution de (F)telle que m>5,nest nécessairement un multiple de 4.
c) Posons donc n=4q où qest un entier naturel non nul.
7n=74q ≡(24)q[5]puis 7n≡16q[5]puis 7n≡1q[5]et finalement 7n≡1[5].
d) Si (n, m)est un couple d’entiers naturels non nuls solution de (F), alors 3×2m=7n−1puis 3×2m≡0[5].
Par suite, le nombre premier 5doit diviser l’entier naturel 3×2mce qui n’est pas car 5n’est pas un facteur premier
de 3×2m. Il n’y a donc pas de couple solution tel que m>5.
3) En résumé, l’équation (F)admet exactement deux solutions. Ce sont les couples (1, 1)et (2, 4).
http ://www.maths-france.fr 2 c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.