Polynésie 2010. Enseignement de spécialité

Polynésie 2010. Enseignement de spécialité
EXERCICE 3 (5 points)
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
On considère l’équation (E) : 7x − 6y = 1 où x et y sont des entiers naturels.
1) Donner une solution particulière de l’équation (E).
2) Déterminer 1’ensemble des couples d’entiers naturels solutions de l’équation (E).
Partie B
Dans cette partie, on se propose de déterminer les couples (n, m) d’entiers naturels non nuls vérifiant la relation :
7n − 3 × 2m = 1
(F).
1) On suppose m 6 4. Montrer qu’il y a exactement deux couples solutions.
2) On suppose maintenant que m > 5.
a) Montrer que si le couple (n, m) vérifie la relation (F) alors 7n ≡ 1
(modulo 32).
b) En étudiant les restes de la division par 32 des puissances de 7, montrer que si le couple (n, m) vérifie
la relation (F) alors n est divisible par 4.
c) En déduire que si le couple (n, m) vérifie la relation (F) alors 7n ≡ 1
(modulo 5).
d) Pour m > 5, existe-t-il des couples (n, m) d’entiers naturels non nuls vérifiant la relation (F) ?
3) Conclure, c’est-à-dire déterminer l’ensemble des couples d’entiers naturels non nuls vérifiant la relation (F).
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c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.
Polynésie 2010. Enseignement de spécialité
EXERCICE 3
Partie A
1) Le couple (x0 , y0 ) = (1, 1) est une solution particulière de l’équation (E).
2) Soit (x, y) un couple d’entiers relatifs.
7x − 6y = 1 ⇒ 7x − 6y = 7x0 − 6y0 ⇒ 7(x − x0 ) = 6(y − y0 ).
Mais alors, puisque l’entier 7 divise l’entier 7(x − x0 ), l’entier 7 divise l’entier 6(y − y0 ). Puisque d’autre part,
les entiers 6 et 7 sont premiers entre eux, le théorème de Gauss permet d’affirmer que l’entier 7 divise l’entier
y − y0 . De même, l’entier 6 divise x − x0 . Par suite, il existe des entiers relatifs k et k ′ tels que x − x0 = 6k et
y − y0 = 7k ′ ou encore x = 1 + 6k et y = 1 + 7k ′ .
Réciproquement, soient k et k ′ deux entiers relatifs puis x = 1 + 6k et y = 1 + 7k ′ .
7x − 6y = 1 ⇔ 7(1 + 6k) − 6(1 + 7k ′ ) = 1 ⇔ 42(k − k ′ ) = 0 ⇔ k = k ′ .
Finalement, les couples d’entiers relatifs solutions de (E) sont les couples de la forme (1 + 6k, 1 + 7k) où k ∈ Z.
Enfin, les entiers relatifs 1 + 6k et 1 + 7k sont positifs si et seulement si k est positif et donc
les couples d’entiers naturels solutions de (E) sont les couples de la forme (1 + 6k, 1 + 7k) où k ∈ N.
Partie B
1) • Si m = 1, l’équation (F) s’écrit 7n = 7 et admet pour unique solution n = 1.
• Si m = 2, l’équation (F) s’écrit 7n = 13 et n’admet pas de solution.
• Si m = 3, l’équation (F) s’écrit 7n = 25 et n’admet pas de solution.
• Si m = 4, l’équation (F) s’écrit 7n = 49 et admet pour unique solution n = 2.
En résumé, il y a exactement deux couples (n, m) solutions de (F) tels que m 6 4 à savoir (1, 1) et (2, 4).
2) a) Si m > 5, 2m = 2m−5 × 25 = 32 × 2m−5 et donc 2m ≡ 0 [32].
Par suite, si le couple (n, m) est solution de (F), alors 7n = 1 + 3 × 2m ≡ 1 [32].
b) 70 = 1 ≡ 1 [32]. 71 = 7 ≡ 7 [32], 72 = 49 ≡ 17 [32].
Ensuite, 73 ≡ 7 × 17 [32] puis 73 ≡ 119 [32] puis 73 ≡ 23 [32].
Enfin, 74 ≡ 7 × 23 [32] puis 74 ≡ 161 [32] puis 74 ≡ 1 [32].
Posons alors n = 4q + r où r ∈ {0, 1, 2, 3} (division euclidienne de n par 4).
On a 7n = 74q+r = (74 )q × 7r et donc 7n ≡ (14 )q × 7r [32] ou encore 7n ≡ 7r [32].
Les calculs initiaux montrent que 7n ≡ 1 [32] si et seulement si r = 0 ce qui équivaut à n est divisible par 4.
Donc, si (n, m) est une solution de (F) telle que m > 5, n est nécessairement un multiple de 4.
c) Posons donc n = 4q où q est un entier naturel non nul.
7n = 74q ≡ (24 )q [5] puis 7n ≡ 16q [5] puis 7n ≡ 1q [5] et finalement 7n ≡ 1 [5].
d) Si (n, m) est un couple d’entiers naturels non nuls solution de (F), alors 3 × 2m = 7n − 1 puis 3 × 2m ≡ 0 [5].
Par suite, le nombre premier 5 doit diviser l’entier naturel 3 × 2m ce qui n’est pas car 5 n’est pas un facteur premier
de 3 × 2m . Il n’y a donc pas de couple solution tel que m > 5.
3) En résumé, l’équation (F) admet exactement deux solutions. Ce sont les couples (1, 1) et (2, 4).
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