Théorèmes de comparaison pour les variétés analytiques rigides (d

THÉORÈMES DE COMPARAISON POUR LES VARIÉTÉS ANALYTIQUES
RIGIDES, D’APRÈS P. SCHOLZE
OLIVIER BRINON
Groupe de travail 1sur les travaux de P. Scholze
Ces notes sont un résumé de l’article [8].
1. Introduction
1.1. La théorie de Hodge « classique ». Soit Xest une variété algébrique définie sur R,
compacte et lisse. Pour 0 ≤n≤2 dim(X), on dispose de l’accouplement de périodes :
Hn
dR(X(C)/R)×Hn(X(C),Z)→C
(ω, γ)7→ Zγω
qui induit un isomorphisme de comparaison 2:
Hn
Betti(X(C),Q)⊗QC∼
→Hn
dR(X(C)/R)⊗RC
compatible avec l’action de Gal(C/R) (triviale sur Hn
dR(X(C)/R), agissant via la conjugaison
des cycles singuliers sur l’homologie singulière), reliant donc des invariants de nature discrète à
des invariants de nature différentielle. La théorie de Hodge « classique » fournit en outre une
décomposition
C⊗RHn
dR(X(C)/R) = M
i+j=n
Hi(X, Ωj)
(décomposition de Hodge), et donc un isomorphisme
Hn
Betti(X(C),Q)⊗QC∼
→M
i+j=n
Hi(X, Ωj)
L’un des buts principaux de la théorie de Hodge p-adique est de trouver des théorèmes de
comparaison analogues pour des variétés définies sur des corps p-adiques. Bien sûr, il ressort de ce
qui précède qu’une telle théorie doit avoir une saveur analytique, donc non triviale. Remarquons
déjà que dans le cas p-adique, on ne dispose pas de l’homologie singulière : celle-ci est remplacée
par la cohomologie étale p-adique.
1.2. Notations. Dans tout ce qui suit, Kdésigne un corps de valuation discrète complet de
caractéristique 0, de corps résiduel kparfait de caractéristique p. On fixe une clôture algébrique
Kde Ket on pose GK=Gal(K /K). La valuation p-adique vsur Ks’étend à K: on note C
le complété de Kpour v. Par continuité, GKagit sur C. On note χ:GK→Z×
ple caractère
cyclotomique. Si Mest un Zp-module muni d’une action de GKet n∈Z, on note M(n) le n-ième
tordu à la Tate 3de M. Signalons le calcul, par Tate, de la cohomologie galoisienne continue des
C(n) (c’est l’un des points de départ de tout ce qui va suivre) :
Théorème 1. (Tate,[10, Theorem 1]) On a 4:
Hi(GK, C(n)) ∼
=
Ksi i= 0 et n∈ {0,1}
0 sinon
1. Exposé du 18 avril 2013.
2. La cohomologie de Betti Hn
Betti(X(C),Q) est le Q-dual de l’homologie singulière Hn(X(C),Z).
3. C’est Mmuni de l’action de GKdonnée par g(m) = χ(g)ng(m) pour g∈GKet m∈M.
4. Plus précisément, on a CGK=Ket H1(GK, C)∼
=Klog χ(non canoniquement).

2 THÉORÈMES DE COMPARAISON POUR LES VARIÉTÉS ANALYTIQUES RIGIDES
1.3. Le cas p-adique. Remarquons tout d’abord que l’analogue naïf consistant à remplacer C
par Cne fonctionne pas : Cne contient même pas les périodes du groupe multiplicatif 5! En
effet, on a T
p(Gm) = Zp(1), de sorte que H1
´et(Gm,Qp)∼
=Qp(−1), et H1
dR(Gm/K) = KdT
T. Il en
résulte que H1
´et(Gm,Qp)⊗QpC∼
=C(−1) et H1
dR(Gm/K)⊗KC∼
=Ccomme GK-modules : ils ne
sont pas isomorphes comme GK-modules en vertu du théorème 1.
Le cas intéressant le plus simple est celui des groupes p-divisibles. Soit H= (Hν)ν∈N>0un
groupe p-divisible sur OK. La dualité de Cartier fournit un isomorphisme
Hν(OC)∼ →HomOC(HD
ν⊗OKOC,Gm)
et donc un isomorphisme
T
p(H)∼
→HomOC(HDb ⊗OKOC, µp∞)
en passant à la limite projective. On en déduit une application, dite de Hodge-Tate :
αH:T
p(H)→ωHD⊗OKOC
f7→ f∗dT
T
et donc une application :
αH⊗C:T
p(H)⊗ZpC→ωHD⊗OKC
par C-linéarité. On dispose donc du diagramme 6:
(∗) 0 →ω∨
HD⊗OKC(αH⊗C)∨
−−−−−→ T
p(H)∨⊗ZpCαHD⊗C(−1)
−−−−−−−→ ωH⊗OKC(−1) →0
Théorème 2. (Tate,[10, Corollary 2]) Le diagramme (∗)est une suite exacte de GK-modules,
ce qui implique l’existence d’un isomorphisme GK-équivariant canonique 7:
T
p(H)∨⊗ZpC∼
→ω∨
HD⊗OKC⊕ωH⊗OKC(−1)
En particulier, si Aest une variété abélienne sur Kayant bonne réduction, on a un isomor-
phisme 8GK-équivariant :
H1
´et(AK,Qp)⊗QpC∼
=H1(A, OA)⊗KC⊕H0(A, Ω1
A/K )⊗KC(−1).
Cela a amené Tate à conjecturer que si Xest un K-schéma (voire un K-espace rigide) propre
et lisse, on a une décomposition de Hodge-Tate :
Hn
´et(XK,Qp)⊗QpC∼
→M
i+j=n
Hi(X, Ωj
X/K )⊗KC(−j)
Posons V= Hn
´et(XK,Qp) : c’est une représentation p-adique de GK(i.e. un Qp-espace vecto-
riel de dimension finie, muni d’une action linéaire continue de GK). Soient BHT =L
i∈Z
C(i) et
DHT(V) := (V⊗QpBHT)GK: c’est un K-espace vectoriel 9gradué 10. La conjecture précédente
équivaut à :
DHT(V)∼
=Hn
Hodge(X/K) := M
i+j=n
Hi(X, Ωj
X/K )
L’application naturelle
DHT(V)⊗KBHT →V⊗QpBHT
5. Bien sûr, Gm/K n’est pas propre sur K, mais bon...
6. En observant que T
p(HD)∼
=HomZp(T
p(H),Zp(1)) = T pH∨(1)
7. Car la suite exacte (∗), de la forme 0 →Cn→?→C(−1)m→0, est canoniquement scindée (dans la
catégorie des GK-modules) : l’existence du scindage résulte de la nullité de H1(GK, C(1)), l’unicité de celle de
H0(GK, C(1)) (cf théorème 1).
8. Ce qui se déduit du résultat précédent, appliqué à H=A[p∞], en observant que T
p(H)∨⊗ZpQp∼
=
H1
´et(AK,Qp), ωH⊗OKK∼
=T∨
A,0∼
=H0(A, Ω1
A/K ) et ω∨
HD⊗OKK∼
=TAD,0∼
=H1(A, OA) (rappelons que
Hq(A, Ωp
A/K )∼
=(∧qTAD,0)⊗K(∧pTA,0) d’après [6]).
9. Le théorème 1implique que BGK
HT =K.
10. La graduation étant induite par la graduation naturelle de BHT.

THÉORÈMES DE COMPARAISON POUR LES VARIÉTÉS ANALYTIQUES RIGIDES 3
est alors un isomorphisme BHT-linéaire, GK-équivariant, et compatible aux graduations (on dit
que Vest de Hodge-Tate). Ceci montre que BHT est un bon anneau de périodes 11.
Cette conjecture a été démontrée par Faltings pour les K-schémas (cf [1], article dans lequel
est déjà contenu une bonne partie des idées fondamentales utilisées dans [8]).
Pour relier la cohomologie étale p-adique à la cohomologie de de Rham (et pas seulement à la
cohomologie de Hodge), il faut construire un anneau de périodes plus sophistiqué, le corps des
périodes p-adiques (cf [2,3]).
1.4. Le corps BdR et la conjecture CdR.Le corps Cest perfectoïde (cf [7]) : son basculement
C♭= lim
←−
x7→xp
Cest un corps topologique algébriquement clos de caractéristique p, muni d’une action
de GK. On dispose 12 alors de l’application GK-équivariante :
θ:W(OC♭)→ OC
∞
X
n=0
pn[xn]7→
∞
X
n=0
pnx♯
n
C’est un morphisme surjectif de W(k)-algèbres, dont le noyau est l’idéal principal engendré 13 par
ξ= [p♭]−p. L’application θse prolonge en θ:W(OC♭)[p−1]→C. On note alors B+
dR le séparé
complété de W(OC♭)[p−1] pour la topologie Ker(θ)-adique, et θ: B+
dR →Cle prolongement de
θ. L’anneau B+
dR est de valuation discrète complet, de corps résiduel C(via θ), et muni d’une
action de GK. En outre, B+
dR est naturellement une K-algèbre 14.
Fixons ε∈C♭tel que pour tout n∈N, (ε1/pn)♯soit une racine primitive pn-ìeme de l’unité 15.
On a g(ε) = εχ(g)pour tout g∈GK, et ε♯= 1, de sorte que [ε]−1∈Ker(θ) : la série
t= log([ε]) :=
∞
X
n=1
(−1)n−1
n([ε]−1)n
converge dans B+
dR, et g(t) = χ(g)tpour tout g∈GK, de sorte que Zp(1) = T
pGm=Zpt. Par
ailleurs, on peut montrer que test une uniformisante de B+
dR (i.e. Ker(θ) = tB+ dR). On pose :
BdR =Frac(B+
dR) = B+
dR[1/t]
C’est une K-algèbre munie d’une action de GK. On filtre BdR en posant
FiliBdR =tiB+
dR
pour i∈Z. On a bien sûr gr•BdR ∼
=BHT, ce qui implique notamment que BGK
dR = BGK HT =K.
Si Vest une représentation p-adique de GK, on pose DdR(V) = (V⊗QpBdR)GK: c’est
une K-espace vectoriel muni d’une filtration décroissante, séparée et exhaustive (en posant
FiliDdR(V) = (V⊗QpFiliBdR)GKpour i∈Z). On montre facilement que l’application :
αdR(V): DdR(V)⊗KBdR →V⊗QpBdR
(déduite de l’inclusion par BdR-linéarité) est injective (elle est en outre GK-équivariante et com-
patible aux filtrations 16). En particulier, on a toujours dimK(DdR(V)) ≤dimQp(V). On dit que
Vest de de Rham lorsque αdR(V) est un isomorphisme, i.e. quand dimK(DdR(V)) = dimQp(V).
11. Si test une base de T
pGm∼
=Zp(1), on a BHT =C[t, t−1] : il a suffi d’ajoindre à C« la » période du
groupe multiplicatif et son inverse (on désigne parfois tcomme « le » 2iπ p-adique, car « la » période du groupe
multiplicatif Gm/ Cest RS1
dz
z= 2iπ.).
12. Rappelons que x7→ x♯désigne la projection sur le premier facteur C♭→C.
13. Où p♭∈C♭désigne un élément tel que (p♭)♯=p.
14. C’est une W(k)[p−1]-algèbre et K / W(k)[p−1] est ind-étale, ce qui implique que le morphisme K→Cse
relève de façon unique en K→BdR /Ker(θ)mpour tout m∈N>0.
15. Il suffit que ce soit le cas pour n= 1.
16. La filtration à gauche étant la filtration du produit tensoriel, donnée par Fili(DdR(V)⊗KBdR) =
Pj∈ZIm(FiljDdR(V)⊗KFili−jBdR →DdR(V)⊗KBdR).

4 THÉORÈMES DE COMPARAISON POUR LES VARIÉTÉS ANALYTIQUES RIGIDES
Le raffinement de la conjecture de Tate est alors le suivant. Soit Xun K-schéma propre et
lisse. Alors pour tout n∈N, on a un isomorphisme de comparaison :
Hn
´et(XK,Qp)⊗QpBdR
∼
→Hn
dR(X/K)⊗KBdR
BdR-linéaire, GK-équivariant et compatible aux filtrations (la cohomologie de de Rham étant bien
sûr munie de la filtration de Hodge) ; en d’autres termes, la représentation V= Hn
´et(XK,Qp) est
de de Rham, et DdR(V) = Hn
dR(X/K) (comme K-espaces vectoriels filtrés). L’isomorphisme de
comparaison de Hodge-Tate est alors le gradué de αdR(V).
Cette conjecture (appelée CdR) a été prouvée par plusieurs auteurs, en particulier par Faltings
et Tsuji. Elle admet divers raffinements (les conjectures Ccris et Cst, introduction de coefficients,
versions relatives, etc).
2. Survol des résultats de [8]
Dans le reste du texte, Kdésigne un corps de valuation complet, extension de Qp, et K+⊂K
un sous-anneau de valuation ouvert et borné. Dans [8], Schloze prouve, entre autres, la conjecture
CdR pour les espaces adiques :
Théorème 3. (Scholze,[8, Theorem 8.4]) Supposons Kde valuation discrète. Soient Xun
espace adique propre et lisse sur Spa(K, OK)et V= Hn
´et(XK,Qp). Alors Vest de de Rham, et
DdR(V)∼
=Hn
dR(X/K). En particulier, Vest de Hodge-Tate et la suite spectrale Hodge vers de
Rham
Hi(X, Ωj
X/K )⇒Hi+j
dR (X/K)
dégènere.
Remarque.(1) Cela répond donc à la question de Tate.
(2) Scholze démontre en fait une version relative avec coefficients de ce resultat ([8, Theorem
8.8], cf théorèmes 25 &26).
Pour démontrer ce théorème, il prouve les résultats intermédiaires suivants (qui sont fonda-
mentaux en eux mêmes).
Théorème 4. (Scholze,[8, Theorem 5.1] 17)Supposons Kalgébriquement clos. Si Xest propre
et lisse 18, et Lun système local en Fp-vectoriels sur X´et, alors Hi(X´et,L)est un Fp-espace
vectoriel de dimension finie, nul si i > 2 dim(X).
Théorème 5. (Scholze,[8, Theorem 4.9]) Supposons Kalgébriquement clos. Si Xest affinoïde
connexe, x∈X(K)et Lun système local de p-torsion, l’application naturelle
Hi
cont(π1(X, x),Lx)→Hi(X´et,L)
est un isomorphisme 19 (Xest localement un K(π, 1)).
Remarque.Dans les travaux de Faltings, dans le cadre algébrique, ce résultat était prouvé sous
des hypothèses de « petitesse » de X, qui n’apparaissent pas ici.
La stratégie, commune à la plupart des preuves (plus ou moins explicitement), consiste à
utiliser une version relative (i.e. faisceautisée) des anneaux de périodes. Une des difficultés
majeures réside dans les passages à la limite. Dans la cas présent, c’est crucial dans la mesure où,
contrairement au cas cristallin ou semi-stable, l’anneau BdR se prête modérément 20 au dévissage
pour la topologie p-adique. L’un des apports fondamentaux de [8] est la définition du site pro-
étale, qui est le bon cadre (pour les calculs locaux, la globalisation et les passages à la limite).
17. La preuve de ce théorème, inspirée par celle, due à Kiehl, de la finitude de la cohomologie cohérente des
variétés analytiques rigides propres, utilise la suite d’Artin-Schreier.
18. En fait, grâce à la résolution des singularités pour les espaces adiques propres, l’hypothèse de lissité est
superflue (cf [9, Theorem 3.17]).
19. La preuve de ce théorème, qui utilise elle aussi la suite d’Artin-Schreier, repose essentiellement sur [7].
20. Comme dit Andreatta, c’est une limite inductive d’une limite projective de limites inductives...

THÉORÈMES DE COMPARAISON POUR LES VARIÉTÉS ANALYTIQUES RIGIDES 5
2.1. Le site pro-étale.
Définition.Soient Cune catégorie et C→c C:= Fonct(C,Ens)op son extension de Yoneda.
La catégorie pro-Cdes pro-objets de Cest la sous-catégorie pleine de c
Cdont les objets sont
les limites projectives d’objets représentables, indexées par de petites catégories cofiltrantes. Ses
objets sont les foncteurs F:I→Cavec Iune petite catégorie cofiltrante. Si F:I→Cet
G:J→Csont deux objets de pro-C, on a :
Hompro-C(F, G) = lim
←−
j∈J
lim
−→
i∈I
HomC(F(i), G(j))
Soit Xun schéma ou un espace adique localement noethérien. On dispose de la catégorie X´et
(resp. Xf´et) dont les objets sont les espaces (finis) étales sur X. Si U= lim
←−
i∈I
Ui∈pro-X´et, on a
l’espace topologique |U|= lim
←−
i∈I
|Ui|.
Définition.(1) Le site pro-fini étale Xprof´et de Xest le site dont la catégorie sous-jacente est
pro-Xf´et, et dont les recouvrements sont les familles de morphismes ouverts {Ui
fi
−→ U}telles que
|U|=∪ifi(|Ui|).
Si Xest connexe et xun point géométrique de X, on a une équivalence de sites 21 :
Xprof´et
≈
−→ π1(X, x)- Enspf
où π1(X, x)- Enspf est le site constitué des π1(X, x)-ensembles profinis 22, et dont les recou-
vrements sont donnés par les familles de morphismes π1(X, x)-équivariants {Si
fi
−→ S}tels que
S=∪ifi(Si).
(2) Un morphisme U→Vdans pro-X´et est dit étale (resp. fini étale) s’il provient d’un mor-
phisme étale (resp. fini étale) U0→V0dans X´et par un changement de base V→V0.
(3) Un morphisme U→Vdans pro-X´et est dit pro-étale s’il admet une présentation pro-étale
U= lim
←−
i∈I
Ui→V, limite projective cofiltrante de morphismes étales Ui→V, dont les morphismes
de transition Ui→Ujsont finis étales pour i > j grands 23.
(4) Le site pro-étale Xpro´et de Xest le site dont la catégorie sous-jacente est la sous-catégorie
pleine de pro-X´et constituée des objets pro-étales sur X, et dont les recouvrements sont les
familles de morphismes pro-étales {Ui
fi
−→ U}telles que |U|=∪ifi(|Ui|).
Remarque.Le fait que Xpro´et soit effectivement un site n’est pas trivial (cf [8, Lemma 3.10]).
Proposition 6. (1) Dans Xpro´et, les applications pro-étales sont ouvertes (cf [8, Lemma 3.10]).
(2) Une application (finie)étale surjective U→Vdans Xpro´et provient d’une application
(finie)étale surjective U0→V0dans X´et par un changement de base V→V0(cf [8, Lemma
3.10]).
(3) On a un foncteur pleinement fidèle Xprof´et →Xpro´et qui induit un morphisme de sites
Xpro´et →Xprof´et (cf [8, Lemma 3.11]).
(4) Le site Xpro´et a assez de points : une famille conservative ets donnée par les revêtement
profinis des points géométriques 24 (cf [8, Proposition 3.13]).
On note ν:Xpro´et →X´et le morphisme de projection.
21. Ce qui implique que Xprof´et a assez de points, cf [8, Corollary 3.8].
22. I.e. des ensembles profinis munis d’une action continue de π1(X, x).
23. On a Ui∈pro-X´et pour tout i, de sorte que U= lim
←−
i∈I
Ui∈pro-X´et (car pro-X´et est stable par limite
projective indexée par une petite catégorie cofiltrante).
24. Les points géométriques ne suffisent pas.