Un autre q- analogue des nombres d Euler

Un autre q−analogue des nombres d Euler
G . - N .Han1,A.Randrianarivony2et J .Zeng3
1IRMA,CNRS et Universit ´eLouis - Pasteur ( Strasbourg 1 ) , France
2Facult ´edes Sciences , Universit ´ed ’ Antananarivo , Madagascar
3Institut Girard Desargues , Universit ´eClaude Bernard ( Lyon 1 ) , France
Dedicated to G . Andrews on the occasion of his 60 th b irthday
Abstract
The ordinary generating functions of the secant and tangent num -
bers have very simple continued fraction expansions . However , the
classical q−secant and q−tangent numbers do not give a natural q−
analogue of these continued fractions . In this paper , we introduce a
different q−analogue of Euler numbers using q−difference operator and
show that their generating functions have simple continued fraction ex -
pansions . Furthermore , by establishing an explicit bijection between
some Motzkin paths and (k, r)−multipermutations we derive combina -
torial interpretations for these q−numbers . Finally the allied q−Euler
median numbers are also studied .
1 Introduction
Les nombres d ’ Euler En(n≥0) sont classiquement d ´efinis comme les
coef - ficients apparaissant dans le d ´eveloppement de Taylor suivant :
X
n≥0
Etn
nn!= 1 + t+t22!+ 2t33!+ 5t44! + ... = 1cost+ tan t. (1)
Ainsi les nombres E2net E2n+1 sont appel ´es aussi nombres s ´ecants
et nom - bres tangents respectivement . En rempla c−cedilla
ant cos tet tan tpar leurs q−analogues dans ( 1 ) on
obtient alors le q−analogue classique des nombres d ’ Euler
comme les coefficients corresp ondants dans le d ´eveloppement en q−s´e
ries de Taylor . Ces q−nombres d ’ Euler g´en´eralisent effectivement
certains aspects arithm ´et iques et combinatoires des nombres d ’ Euler [
2 , 3 , 10 ] , mais 1

ils ne fournissent pas de q−analogues simples pour deux S - fractions
continues remarquables de leurs s ´eries g´en´eratrices ordinaires [ 8 ]
:
X
n≥0
E2ntn= 1 + t+ 5t2+ 61t3+... = 1 −112
2t 2t , (2)
1−32t
1−
.
.
.
X
n≥0
E2n+1tn= 1 + 2t+ 16t2+ 272t3+... = 1 −11·2t .(3)
2·3t
1−
3·4t
1−
.
.
.
Une autre suite de nombres li ´es intimement aux nombres s ´ecants et
tan -
gents est la suite des nombres d ’ Euler m ´edians Ln,qui sont les
nombres
apparaissant au milieu du triangle de Seidel - Arnold [ 4 , 7 ] :
1
1←0
0→1→1
2←2←1←0
0→2→4→5→5
16 ←16 ←14 ←10 ←5←0
0→16 →32 →46 →56 →61 →61
......
dont la construction est analogue `acelle du triangle de
Pascal pour les coefficients binomiaux . Par exemple , on trouve les
premi `eres valeurs de ces nombres :L0= 1, L1= 1, L2= 4, L3= 46,ainsi
que celles des nombres d ’ Euler :E0=E2= 1, E4= 5, E6=
61 et E1= 1, E3= 2, E5= 16.Dumont [ 7 ] a montr ´eque la
fonction g´en´eratrice des nombres Lna aussi un d ´eveloppement simple
en S - fraction continue :

X
n≥0
Lntn= 1 + t+ 4t2+ 46t3+ 124t4+... = 1 −11·1t . (4)
1·3t
1−
2·5t
1−
2·7t
1−
.
.
.
2

Il s ’ av `ere [ 1 7 , 18 ] qu ’ une t elle formule pour une suite de nombres
est g´en´erale - ment li ´ee`aune formule de type Gandhi de ces nombres
. Plus pr´ecis ´ement ,
soit α= (a, b, c, d)une suite d ’ entiers rationnels et n(α)
P(x)(n≥0) une suite
de polyn ˆomes d ´efinis par
braceleftmid −braceleftbt P (α)n
0(α)
P
((x)
x)==1(,
x+a){(x+b)n(α)
P−1(x+c)−(x+d)n(α) P−1(x)}.
(5)
Par la m ´ethode de [ 1 7 , 1 8 ] , on obtient ais ´ement le r ´esultat suivant
:
X
n≥0
n(α)
P(x)tn= 1 −1−1−1−b−
1((b−−(b+2c)2c)t
d1
−1
cd
(x+b)t+c)(x+
)(x+a)t
d+2c)(x3c(x+
2−c(x+b+
a
+b
c
+
a+
)t
c)t
t . (6)
.
.
.
D ’ o `u,par comparaison de leurs fractions continues , on d ´eduit que
E2n+1 =n(1,2,2,1)
P(1), E2n=n(0,1,2,0) P(1), Ln= 4−nn(0,2,4,−2) P(1).(7)
Par ailleurs , les polyn ˆomes n(α)
P(x)interpolent les trois autres suites
de
nombres (Rn),(ln)et (rn)propos´ees dans [ 7 , 18 ] par les ressemblances
de leurs fractions continues `acelles des nombres d ’ Euler m ´edians :
Rn= 4−nn(2,4,4,0)
P(1), ln= 2−nn(0,1,2,−1) P(1), rn= 2−nn(1,2,2,0) P(1).(8)
Les premi `eres valeurs de ces nombres sont
:R0= 1, R1= 3, R2= 24,
R3= 402, l0= 1, l1= 1, l2= 3, l3= 21etr0= 1, r1= 2, r2= 10, r3= 98.
L ’ un des avantages d ’ une formule de type ( 5 ) est qu ’ elle ouvre une
nou - velle voie pour des q−extensions en rempla cedilla −cant la diff ´e
rence ordinaire par la
q−diff ´erence . Ce qui a d ’ ailleurs ´et´efructueux dans l 0
´etude de
q−nombres de Genocchi [ 1 3 ] . Le but de cet article est d 0
´etudier le
q−analogue des nombres plus haut dans cette optique .
Pour tout entier positif ou n´egatif de n, on d ´efinit son q−
analogue [n]par
[n] := [n]q= 11−−qn
qet [x, n]q=xqn+ [n].(9)
3

Pour n≥0,on d ´efinit le q−analogue de ( 5 ) les polyn ˆomes n(α)
P(x, q)
par
{P(α)n
0(α)
P
((x,
x,qq)
)==1[,
x,a]q[x, b]qn(α)
P−1([x, c]1q,
+
q)
(q−−[x1, )xd]qn(α)
P−1(x, q).(10)
Pour des entiers positifs r≥l≥0,on note [ 1 2 , p . 73 ]
l ’ ensemble des entiers compris entre let rpar
[l..r] = {l, l + 1, ..., r −1, r}.(11)
D´efinition 1 Soient ket rdeux entiers naturels . Une (k, r)−
multipermu -
tation ou (k, r)−MP de [1..n]est un r ´earrangement du mot 0k1r2r· · · nr
t el qu ’ entre deux lettres identiques , il n ’ y a aucune lettre plus petite .
On note
S(k,r)
nl ’ ensemble des (k, r)−multipermutations de [1..n].
Remarque : Si k= 0,une (k, r)−MP se r ´eduit `aune r−
multipermutation de [1..n],qui a ´et´eintroduite par Gessel et Stanley
[ 1 1 ] et poursuivie par Park [ 1 5 ] . Si r= 1,une (k, r)−MP de
[1..n]s ’ appelle simplement k−permuta -
tion de [1..n].On s ’ aper c−cedilla oit assez facilement que le cardinal de
S(k,r)
na une
formule explicite :
|S(k,r)
n|= (k+ 1) ·(k+1+r)···(k+1+r(n−1)).
Il en r ´esulte que
X
n≥0
|S(k,r)
n|xn n!= (1 −rx)−(k+1)/r,
ainsi ( voir [ 8 ] ) que
X
n≥0
|S(k,r)
n|tn= 1 −(k+ 1)t−1−(k+ 11+r(k
2r)t
+1)t2
−2r(k+1+r)t2(12)
.
.
.
1−bit−λit2
.
.
.
o`ubi=k+ 1 + 2ir et λi=r(i+ 1)(k+1+ir)pour i≥0.
En vertu de la th ´eorie combinatoire des J−fractions
continues [ 8 ] , on
en d ´eduit l ’ existence d ’ une bij ection de S(k,r)
nsur un certain ensemble
de 4