UNSA Mesure et Topologie L3 Maths 2015

UNSA Mesure et Topologie L3 Maths 2015-2016
Contrˆole no1 du 6 octobre 2015
Dur´ ee: 45 minutes
1. Convergence dans un espace m´etrique et adh´erence.
Soit Aune partie d’un espace m´etrique (E, d), (xn)n≥0une suite de points
de Aet x∈Eun point quelconque.
1.a. Montrer que la suite (xn) converge vers xdans (E, d) si et seulement
si toute boule ouverte centr´ee en xet de rayon contient tous les termes de
la suite (xn) `a partir d’un certain rang N.
1.b. Rappeler la d´efinition de l’adh´erence ¯ Ade A. Montrer que x∈¯ Asi
et seulement s’il existe une suite de points de Aqui converge vers x.
1.c. On dit que x∈Eest un point d’accumulation de (xn) si toute boule
ouverte centr´ee en xcontient une infinit de termes de la suite. Montrer que
l’ensemble des points d’accumulation de (xn) s’identifie `a l’intersection
\
k≥0
Xko`u Xk=[
n≥k
{xn}.
2. Int´erieur. Soient A, B deux parties d’un espace topologique E. Rappeler
la d´efinition de l’int´erieur Int(A) de Aet montrer les propri´et´es suivantes:
2.a. Si A⊂Balors Int(A)⊂Int(B).
2.b. Int(A)∪Int(B)⊂Int(A∪B).
2.c. Int(A∩B) = Int(A)∩Int(B).
3. Points isol´es. On dit qu’un point x∈Ad’un espace topologique Eest
un point isol´e de As’il existe un ouvert Ude Etel que A∩U={x}.
3.a. En consid´erant Zet Qcomme des parties de Rmontrer que tous les
points de Zsont isol´es mais qu’aucun point de Qn’est isol´e.
3.b. On pose α(A) =
o
A, i.e. α(A) est l’adh´erence de l’int´erieur de A.
Montrer que si Aest ouvert (resp. ferm´e) alors A⊂α(A) (resp. A⊃α(A)).
3.c. Soit Aune partie de Rn. Montrer que si A=α(A) alors Aest ferm´e
et ne contient aucun point isol´e.
Barˆ eme indicatif : 3 + 3 + 4