l`examen

EXAMEN
THÉORIE DES NOMBRES M2
Documents admis : notes de cours. Le soin de la rédaction compte dans la note. Dans
tout l’examen, p 6= 2, K est une extension finie de Qp et π est une uniformisante de OK .
1. Un calcul de H 1
Soit X un espace de Banach sur Qp muni d’une action continue (et Qp -linéaire) du
groupe Zp et soit g un générateur topologique de Zp (par exemple g = 1).
1.1. Montrer que l’application H 1 (Zp , X) → X/(1 − g) qui à la classe c d’un cocycle
associe l’image de c(g) dans X/(1 − g) est bien définie et injective.
Soit Fn = Qp (ζpn ) et F∞ = ∪n≥1 Fn et Γn = Gal(F∞ /Fn ), de sorte que si n ≥ 1, alors Γn
est isomorphe à Zp . On note gn un générateur topologique de Γn . Pour k ≥ 1, on pose
k
−1
∗
Fn,k
= ⊕pj=1,p-j
ζpjn+k · Fn . Soit Rn : Fb∞ → Fn la trace normalisée de Tate et Xn = ker(Rn ).
∗
∗
∗
∗
.
⊕ · · · ⊕ Fn,k
et que Xn ∩ Fn+k = Fn,1
⊕ · · · ⊕ Fn,k
1.2. Montrer que Fn+k = Fn ⊕ Fn,1
1.3. Si x =
Ppk −1
j=1,p-j
∗
xj · ζpjn+k ∈ Fn,k
, montrer qu’il existe a ∈ Z×
p , dépendant du choix de
k−1
gn , tel que x = (1 − gnp
)
P
j
xj · ζpjn+k /(1 − ζpaj ).
∗
∗
1.4. En déduire que 1 − gn : Fn,k
→ Fn,k
est bijective, et qu’il existe une constante C
∗
.
indépendante de k telle que |(1 − gn )−1 (x)| ≤ C|x| si x ∈ Fn,k
1.5. Montrer que 1 − gn : Xn → Xn est bijective.
1.6. Montrer que H 1 (Γn , Fb∞ ) est un Fn -espace vectoriel de dimension ≤ 1.
p−1
Si x ∈ Z×
= 1 et y ∈ Zp . On pose alors
p , on peut écrire x = x0 · (1 + py) avec x0
logp (x) = logp (1 + py) =
n−1
(py)n /n,
n≥1 (−1)
P
de sorte que logp : (Z×
p , ×) → (Zp , +) est
un morphisme de groupes.
1.7. Montrer que H 1 (Gal(Qp /Qp ), Cp ) est un Qp -espace vectoriel de dimension 1, engendré par la classe du cocycle g 7→ logp χcyc (g).
1
2
THÉORIE DES NOMBRES M2
2. Séries formelles commutant pour la composition
Dans ce problème, on s’intéresse aux séries formelles f (X) ∈ OK [[X]] telles que f (0) =
0. Si f est une telle série et si n ≥ 1, on note f ◦n = f ◦ · · · ◦ f la série f composée avec
elle-même n fois. Soit P l’ensemble des f (X) =
P
i≥1
ai X i ∈ OK [[X]] telles que a1 ∈ mK ,
a1 6= 0 et telles qu’il existe i ≥ 2 avec ai ∈
/ mK .
2.1. Montrer que si f ∈ P et z ∈ mCp avec z 6= 0, alors |f (z)| < |z|.
Si f ∈ P, soit Λn (f ) = {z ∈ mCp tels que f ◦n (z) = 0}, et Λ(f ) = ∪n≥1 Λn (f ).
2.2. Montrer que Λn (f ) est fini pour tout n ≥ 1, et que Λ(f ) est infini.
2.3. Montrer que si f , g ∈ P vérifient f ◦ g = g ◦ f , alors Λ(f ) = Λ(g).
Soit U l’ensemble des u(X) =
P
i≥1
×
ai X i ∈ OK [[X]] telles que a1 ∈ OK
et a1 n’est pas une
racine de 1. Si u ∈ U, soit Λn (u) = {z ∈ mCp tels que u◦n (z) = z} et Λ(u) = ∪n≥1 Λn (u).
2.4. Montrer que si u, v ∈ U vérifient u ◦ v = v ◦ u, alors Λ(u) = Λ(v).
2.5. Montrer que si f ∈ P et u ∈ U vérifient u ◦ f = f ◦ u, alors Λ(f ) = Λ(u).
On suppose désormais que u(X) = X + π r α(X) avec r ≥ 1 et α(X) ∈ OK [[X]].
2.6. Montrer que u◦p (X) = X + pπ r α(X) + π 2r β(X) avec β(X) ∈ OK [[X]].
k
2.7. En déduire que si s ≥ 1 et k est assez grand, alors u◦p (X) ≡ X mod π s .
k
2.8. Montrer que si r ≥ valπ (p) + 1 et k ≥ 0, alors u◦p (X) ≡ X + pk π r α(X) mod pk π r+1 .
2.9. Montrer que le cardinal de Λpk (u) est borné indépendamment de k ≥ 0.
2.10. Montrer que l’on peut étendre par continuité la définition de u◦m à tout m ∈ Zp .
2.11. Montrer que Λ(u) = ∪k≥0 Λpk (u), puis que Λ(u) est fini.
2.12. Montrer que si u ∈ U et si u(X) ≡ X mod π, alors il n’existe pas de f ∈ P telle
que f ◦ u = u ◦ f .