l`examen

EXAMEN
THÉORIE DES NOMBRES M2
Documents admis : notes de cours. Le soin de la rédaction compte dans la note. Dans
tout l’examen, p6= 2,Kest une extension finie de Qpet πest une uniformisante de OK.
1. Un calcul de H1
Soit Xun espace de Banach sur Qpmuni d’une action continue (et Qp-linéaire) du
groupe Zpet soit gun générateur topologique de Zp(par exemple g= 1).
1.1. Montrer que l’application H1(Zp, X)→X/(1 −g)qui à la classe cd’un cocycle
associe l’image de c(g)dans X/(1 −g)est bien définie et injective.
Soit Fn=Qp(ζpn)et F∞=∪n≥1Fnet Γn= Gal(F∞/Fn), de sorte que si n≥1, alors Γn
est isomorphe à Zp. On note gnun générateur topologique de Γn. Pour k≥1, on pose
F∗
n,k =⊕pk−1
j=1,p-jζj
pn+k·Fn. Soit Rn:b
F∞→Fnla trace normalisée de Tate et Xn= ker(Rn).
1.2. Montrer que Fn+k=Fn⊕F∗
n,1⊕ · · · ⊕ F∗ n,k et que Xn∩Fn+k=F∗ n,1⊕ · · · ⊕ F∗ n,k.
1.3. Si x=Ppk−1
j=1,p-jxj·ζj
pn+k∈F∗
n,k, montrer qu’il existe a∈Z× p, dépendant du choix de
gn, tel que x= (1 −gpk−1
n)Pjxj·ζj
pn+k/(1 −ζaj
p).
1.4. En déduire que 1−gn:F∗
n,k →F∗ n,k est bijective, et qu’il existe une constante C
indépendante de ktelle que |(1 −gn)−1(x)| ≤ C|x|si x∈F∗
n,k.
1.5. Montrer que 1−gn:Xn→Xnest bijective.
1.6. Montrer que H1(Γn,b F∞)est un Fn-espace vectoriel de dimension ≤1.
Si x∈Z×
p, on peut écrire x=x0·(1 + py)avec xp−1
0= 1 et y∈Zp. On pose alors
logp(x) = logp(1 + py) = Pn≥1(−1)n−1(py)n/n, de sorte que logp: (Z×
p,×)→(Zp,+) est
un morphisme de groupes.
1.7. Montrer que H1(Gal(Qp/Qp),Cp)est un Qp-espace vectoriel de dimension 1, en-
gendré par la classe du cocycle g7→ logpχcyc(g).
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2 THÉORIE DES NOMBRES M2
2. Séries formelles commutant pour la composition
Dans ce problème, on s’intéresse aux séries formelles f(X)∈ OK[[X]] telles que f(0) =
0. Si fest une telle série et si n≥1, on note f◦n=f◦ · · · ◦ fla série fcomposée avec
elle-même nfois. Soit Pl’ensemble des f(X) = Pi≥1aiXi∈ OK[[X]] telles que a1∈mK,
a16= 0 et telles qu’il existe i≥2avec ai/∈mK.
2.1. Montrer que si f∈Pet z∈mCpavec z6= 0, alors |f(z)|<|z|.
Si f∈P, soit Λn(f) = {z∈mCptels que f◦n(z)=0}, et Λ(f) = ∪n≥1Λn(f).
2.2. Montrer que Λn(f)est fini pour tout n≥1, et que Λ(f)est infini.
2.3. Montrer que si f,g∈Pvérifient f◦g=g◦f, alors Λ(f) = Λ(g).
Soit Ul’ensemble des u(X) = Pi≥1aiXi∈ OK[[X]] telles que a1∈ O×
Ket a1n’est pas une
racine de 1. Si u∈U, soit Λn(u) = {z∈mCptels que u◦n(z) = z}et Λ(u) = ∪n≥1Λn(u).
2.4. Montrer que si u,v∈Uvérifient u◦v=v◦u, alors Λ(u) = Λ(v).
2.5. Montrer que si f∈Pet u∈Uvérifient u◦f=f◦u, alors Λ(f) = Λ(u).
On suppose désormais que u(X) = X+πrα(X)avec r≥1et α(X)∈ OK[[X]].
2.6. Montrer que u◦p(X) = X+pπrα(X) + π2rβ(X)avec β(X)∈ OK[[X]].
2.7. En déduire que si s≥1et kest assez grand, alors u◦pk(X)≡Xmod πs.
2.8. Montrer que si r≥valπ(p) +1 et k≥0, alors u◦pk(X)≡X+pkπrα(X) mod pkπr+1.
2.9. Montrer que le cardinal de Λpk(u)est borné indépendamment de k≥0.
2.10. Montrer que l’on peut étendre par continuité la définition de u◦mà tout m∈Zp.
2.11. Montrer que Λ(u) = ∪k≥0Λpk(u), puis que Λ(u)est fini.
2.12. Montrer que si u∈Uet si u(X)≡Xmod π, alors il n’existe pas de f∈Ptelle
que f◦u=u◦f.