REPRÉSENTATIONS p-ADIQUES ORDINAIRES DE GL2 (Qp ) ET COMPATIBILITÉ LOCAL-GLOBAL par Christophe Breuil & Matthew Emerton Résumé. — On définit les représentations p-adiques de GL2 (Qp ) « correspondant » aux représentations potentiellement cristallines réductibles (et éventuellement scindées) de Gal(Qp /Qp ) de dimension 2 et on montre qu’elles apparaissent naturellement dans la cohomologie étale complétée de la tour en p des courbes modulaires. Abstract. — We define p-adic representations of GL2 (Qp ) « corresponding » to 2-dimensional reducible (and possibly split) potentially crystalline representations of Gal(Qp /Qp ) and we show that they naturally arise in the completed étale cohomology of the tower at p of the modular curves. Table des matières 1. Introduction et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Représentations ordinaires de GL2 (Qp ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. La conjecture de compatibilité local-global . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Formes compagnons surconvergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Les résultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Appendice A. Preuve de la proposition 2.1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 17 26 39 54 61 Le premier auteur remercie A. Abbes, G. Chenevier, A. Iovita, C. Khare, M. Kurihara et A. Pál pour des discussions. Le deuxième auteur a bénéficié d’un soutien partiel de la NSF (grant DMS-0401545). 2 C. BREUIL & M. EMERTON 1. Introduction et notations 1.1. Soient p un nombre premier et K une extension finie de Qp . À la suite des développements récents dans la théorie des représentations p-adiques de groupes p-adiques tels que GLn (K) ([44], [45], [46], [22], [23], [25], etc.), la question s’est posée d’« associer » des représentations p-adiques de GLn (K) aux représentations p-adiques de dimension n de Gal(Qp /K) (par exemple aux représentations potentiellement semi-stables de Fontaine), dans l’esprit d’une éventuelle correspondance locale à la Langlands. Initiée par l’exemple dans [7] et [8] (mais suggérée depuis longtemps par de nombreux mathématiciens), cette problématique a déjà connu un certain nombre de développements ([9], [18], [4], [19]) et a pris le nom générique de « correspondance locale de Langlands p-adique ». Cette nouvelle correspondance s’annonce malheureusement beaucoup plus délicate que sa grande soeur locale `-adique et, pour cette raison, les résultats (ou même les conjectures) non triviaux obtenus pour l’instant se limitent tous à GL2 , et même GL2 (Qp ). Dans cet article, nous nous proposons modestement d’explorer le cas, laissé jusqu’alors en suspens, des représentations p-adiques de GL2 (Qp ) correspondant aux représentations potentiellement cristallines de dimension 2 réductibles (et éventuellement scindées) de Gal(Qp /Qp ). Nous définissons de telles représentations de GL2 (Qp ) pour la plupart de ces représentations potentiellement cristallines. Nous montrons ensuite que, lorsque la représentation galoisienne provient d’une forme modulaire, alors la représentation associée de GL2 (Qp ) apparaı̂t naturellement (avec la représentation galoisienne) dans la cohomologie étale complétée des courbes modulaires. C’est là le résultat de « compatibilité local-global » principal de l’article. Concrètement, il s’agit de montrer que l’on peut détecter côté GL2 (Qp ) dans la cohomologie si la représentation de Gal(Q/Q) associée à la forme modulaire considérée est scindée ou non en p. Pour cela, nous utilisons deux ingrédients : d’une part les théorèmes de comparaison p-adiques (pour les représentations galoisiennes associées aux formes modulaires) et d’autre part la théorie p-adique du foncteur de Jacquet de l’un d’entre nous. Décrivons maintenant plus précisément le contenu de l’article. η ∗ Soit σp ' 01 η2 ε−1 une représentation potentiellement cristalline réductible de Gal(Qp /Qp ) de poids de Hodge-Tate (1 − k, 0) pour un entier k ≥ 2 (i.e. telle que η1 est de poids 0 et η2 de poids 2 − k) où ε désigne le caractère cyclotomique p-adique. On suppose de plus η1 6= η2 si k = 2. L’extension ∗ est alors unique si elle est non-nulle. En voyant les caractères de Gal(Qp /Qp ) comme des caractères de Q× p via la réciprocité locale, on associe à σp un espace de Banach p-adique B(σp ) muni d’une action continue unitaire de GL2 (Qp ) comme suit : REPRÉSENTATIONS ORDINAIRES DE GL2 (Qp ) ET COMPATIBILITÉ (i) si σp ' 3 η1 0 , alors : 0 η2 ε−1 C 0 C 0 GL (Q ) GL (Q ) B(σp ) = IndB(Q2p ) p η2 ⊗ η1 ⊕ IndB(Q2p ) p η1 ε ⊗ η2 ε−1 , η1 ∗ avec ∗ = 6 0 alors B(σp ) est une extension non scindée : (ii) si σp ' 0 η2 ε−1 C 0 C 0 GL (Q ) GL (Q ) → 0, 0 → IndB(Q2p ) p η2 ⊗ η1 → B(σp ) → IndB(Q2p ) p η1 ε ⊗ η2 ε−1 C 0 GL (Q ) où la notation IndB(Q2p ) p η ⊗ η 0 désigne les fonctions continues f sur GL2 (Qp ) à valeurs dans une extension finie (fixée) de Qp telles que f (bg) = (η ⊗ η 0 )(b)f (g) (l’action de GL2 (Qp ) étant la translation usuelle à droite sur les fonctions). Le Banach B(σp ) dans le cas (ii) est obtenu en prenant l’unique complété padique unitaire de l’induite parabolique localement analytique (au sens de [44]) an GL (Q ) IndB(Q2p ) p η1 | |k−1 ε2−k ⊗ η2 | |1−k εk−2 où | | désigne le caractère norme (cf. §2.2). La définition de la correspondance ci-dessus peut donc se résumer par la phrase : « c’est scindé côté Gal(Qp /Qp ) si et seulement si c’est scindé côté GL2 (Qp ) ». P Considérons maintenant une forme modulaire f = q + n≥2 an (f )q n parabolique nouvelle normalisée de poids k ≥ 2, niveau N , caractère χ et vecteur propre des opérateurs de Hecke T` pour (`, N ) = 1 et U` pour `|N . Notons σ(f ) la représentation p-adique de Gal(Q/Q) associée à f et σp (f ) sa restriction à un sous-groupe de décomposition en p. Si M est la partie première à p de N et si L est une extension finie de Qp sur laquelle f est définie, notons 1 r b 1 (K1p (M ))L déf H = L⊗Zp complété p-adique du Zp -module lim H (Y (M ; p ) , Z ) 1 p ét Q −→ r où Y1 (M ; pr ) est la courbe modulaire ouverte associée au groupe de congruences Γ1 (M ) ∩ Γ(pr ). On définit la composante σ(f )-isotypique : déf b 1 (K1p (M ))L Πp (f ) = HomGal(Q/Q) σ(f ), H qui est un espace de Banach p-adique naturellement muni d’une action continue unitaire de GL2 (Qp ). On s’attend à ce que la GL2 (Qp )-représentation Πp (f ) « contienne » exactement la « même information » que la représentation p-adique σp (f ), c’est-à-dire contienne la théorie de Hodge p-adique de la forme f (cf. e.g. [9]). Supposons maintenant que σp (f ) est de la forme précédente (i.e. potentiellement cristalline et réductible). Dans ce cas, notre conjecture de compatibilité local-global est alors précisément : Conjecture 1.1.1. — Il y a un isomorphisme topologique GL2 (Qp )-équivariant d’espaces de Banach p-adiques B(σp (f )) ' Πp (f ). Le résultat principal du texte est une version faible de cette conjecture : 4 C. BREUIL & M. EMERTON Théorème 1.1.2. — (i) On a toujours une immersion fermée GL2 (Qp )-équivariante d’espaces de Banach p-adiques : B(σp (f )) ,→ Πp (f ). (ii) Si σp (f ) n’est pas scindée, on a de plus (avec les notations précédentes) : HomGL2 (Qp ) B(σp (f )), Πp (f ) = L C 0 GL (Q ) HomGL2 (Qp ) IndB(Q2p ) p η1 ε ⊗ η2 ε−1 , Πp (f ) = 0. Nous mentionnons maintenant les étapes pour démontrer le théorème 1.1.2. Pour simplifier, nous supposons dans la suite de l’introduction que f est telle que ap (f ) est une unité p-adique (pour un plongement fixé Q ,→ Qp ). Si N est premier à p, notons αp et βp les racines de X 2 − ap (f )X + pk−1 χ(p) avec βp unité p-adique et posons fe = f (z) − βp f (pz). Si pr divise exactement N avec r > 0, posons fe = f |wpr où wpr est l’opérateur d’Atkin (cf. §4.1). Rappelons que l’opérateur θ sur les q-développements désigne qd/dq. Théorème 1.1.3. — La représentation σp (f ) est scindée si et seulement s’il existe une forme surconvergente g (nécessairement de pente nulle et de poids 2 − k) telle que fe = θk−1 (g). Notons que le sens fe = θk−1 (g) ⇒ σp (f ) scindée est le plus facile (voir e.g. [30, Prop.11]). L’existence de g est plus subtile et est basée sur les théorèmes de comparaison p-adiques usuels combinés avec la théorie des formes modulaires surconvergentes. La forme g (lorsqu’elle existe) mérite le nom de forme compagnon surconvergente de f car le théorème 1.1.3 est un analogue en caractéristique 0 du théorème bien connu de Gross ([33]). Notons que les deux cas (σp (f ) scindée ou non) arrivent vraiment en pratique (par exemple, si f est CM, g existe toujours par [12, Prop.7.1] et σp (f ) est donc scindée). Certains cas du théorème 1.1.3 étaient déjà connus (par une méthode de relèvement à la caractéristique 0 du résultat de [33]) : cf. [11] et aussi [30, §6]. La preuve du deuxième résultat utilise de façon essentielle une version p-adique du foncteur de Jacquet définie et étudiée dans [22] et [23]. Disons qu’une forme surconvergente g de poids entier k ≥ 2 est « mauvaise » si elle n’est pas dans l’image de l’opérateur θk−1 (pour la définition précise de « mauvaise » voir la définition 5.4.1 et la proposition 5.4.4). Théorème 1.1.4. — Soit g une forme modulaire surconvergente de poids entier k ∈ Z, niveau N , caractère χ, vecteur propre des opérateurs de Hecke et telle que Up g = αp g avec αp non-nul. Supposons de plus que g n’est pas « mauvaise » lorsque k ≥ 2. Alors on a une injection : an GL (Q ) 2−k b 1 (K1p (M ))g IndB(Q2p ) p nr(αp−1 )χ−1 ⊗ nr(αp ) ,→ H p ε L REPRÉSENTATIONS ORDINAIRES DE GL2 (Qp ) ET COMPATIBILITÉ 5 b 1 (K1p (M ))g est l’espace propre de H b 1 (K1p (M ))L pour l’action des opérateurs où H L de Hecke (hors N p) et pour les valeurs propres de g, χp est la composante en p du caractère des adèles finis de Q déduit de χ, nr(x) est le caractère non-ramifié de Q× p envoyant p sur x et « an » désigne l’induite parabolique localement analytique. En fait, un résultat plus précis est démontré dans le texte (où l’on utilise plutôt la cohomologie à support compact, cf. §5.5). Notons qu’une injection comme dans le théorème 1.1.4 n’est pas unique à cause de la présence de la représentation b 1 (K1p (M ))g . galoisienne associée à g (de dimension 2) dans l’espace propre H L Le théorème 1.1.4 s’obtient de la manière suivante : à la forme surconvergente g correspond un point de la courbe de Hecke (ou « eigencurve ») de Coleman p 1 b Mazur ([17]). Par la théorie de [21], si JB H (K1 (M ))L est la représentation du tore de GL2 (Qp ) obtenue après application du foncteur de Jacquet p-adique JB à b 1 (K1p (M ))L , à ce point est associé un sous-espace propre de JB H b 1 (K1p (M ))L H pour l’action du tore et des opérateurs de Hecke (hors M p) : dans notre cas il 2−k | |−1 . On s’agit du sous-espace propre pour le caractère nr(αp ) | | ⊗nr(αp−1 )χ−1 p ε déduit alors grosso-modo le théorème 1.1.4 d’une loi d’adjonction pour le foncteur JB (sauf dans un cas essentiel qui nécessite plus de travail, cf. ci-dessous). On démontre alors le théorème 1.1.2 comme suit. C 0 GL (Q ) On montre d’abord facilement que le morceau IndB(Q2p ) p η2 ⊗ η1 est toujours contenu dans Πp (f ). Supposons que σp (f ) est scindée. En appliquant le théorème 1.1.4 à la forme surconvergente g donnée par le théorème 1.1.3et en tordant par an GL (Q ) εk−1 , on obtient une injection continue IndB(Q2p ) p η1 ε ⊗ η2 ε−1 ,→ Πp (f ) d’où 0 C GL (Q ) ,→ Πp (f ). Ainsi Πp (f ) contient une immersion fermée IndB(Q2p ) p η1 ε ⊗ η2 ε−1 dans ce cas la somme directe des deux induites paraboliques continues, c’est-àdire B(σp (f )). Notons que l’on ne peut pas appliquer le théorème 1.1.4 à la forme surconvergente fe car fe est alors précisément « mauvaise ». Supposons maintenant que σp (f ) n’est pas scindée. Alors, Πp (f ) ne peut contenir C 0 GL (Q ) le morceau IndB(Q2p ) p η1 ε⊗η2 ε−1 car en appliquant à l’inverse le raisonnement précédent et en utilisant la description cohomologique des formes surconvergentes ordinaires due à Hida, on aurait fe dans l’image de θk−1 ce qui impliquerait σp (f ) scindée (en fait, on montre une assertion un peu plus faible sur fe qui suffit à entraı̂ner σp (f ) scindée, cf. théorème 5.7.2). Mais le théorème 1.1.4 appliqué cette fois à la forme fe (qui n’est plus « mauvaise ») donne une injection continue : an GL (Q ) IndB(Q2p ) p η1 | |k−1 ε2−k ⊗ η2 | |1−k εk−2 ,→ Πp (f ) d’où on déduit une immersion fermée B(σp (f )) ,→ Πp (f ) car, par définition, B(σp (f )) est l’unique complété p-adique unitaire de la représentation localement an GL (Q ) analytique IndB(Q2p ) p η1 | |k−1 ε2−k ⊗η2 | |1−k εk−2 . Avec un peu plus de travail, on obtient la multiplicité 1 du (ii) du théorème 1.1.2. Notons que le théorème 1.1.4 est dans ce cas particulièrement délicat car on est dans une situation de « pente 6 C. BREUIL & M. EMERTON critique » (i.e. on sort des conditions d’application du théorème d’Amice-Vélu et Vishik) et la démonstration de ce cas prend une bonne place de la partie 5. Le texte est divisé comme suit : après cette introduction et les notations, la partie 2, purement locale, introduit diverses induites paraboliques pour GL2 (Qp ) ainsi que la construction des représentations B(σp ). La partie 3 est consacrée à la définition et aux premières propriétés du GL2 (Qp )-Banach p-adique Πp (f ) (pour une forme modulaire propre f quelconque), puis à l’énoncé de la conjecture 1.1.1. La partie 4 contient la démonstration du théorème 1.1.3. Enfin, la partie 5 est consacrée à la démonstration du théorème 1.1.4, puis à celle du théorème 1.1.2. Un appendice conclut l’article, dans lequel on démontre une proposition technique mais importante pour la preuve du théorème 1.1.4. 1.2. On fixe p un nombre premier. On note Q une clôture algébrique de Q et Qp une clôture algébrique de Qp . On fixe des plongements Q ,→ C et Q ,→ Qp . Pour z ∈ Qp , val(z) ∈ Q ∪ {+∞} est la valuation p-adique normalisée par val(p) = 1 déf b ⊗Z Q les adèles finis. et | z | = p−val(z) ∈ R+ . On note A les adèles de Q et Af = Z Q déf déf × bp = On note aussi Z (Z/M pn Z)× pour un entier M tel que `6=p Z` et ZM p = lim ←− n (M, p) = 1. On normalise l’application de réciprocité du corps de classes local en envoyant les Frobenius arithmétiques sur les inverses des uniformisantes. On note ε le caractère cyclotomique p-adique de Gal(Q/Q) et on remarque que, via la réciprocité × locale en p, ε(z) = z | z | si z ∈ Q× p . On note nr(x) le caractère non-ramifié de Qp envoyant p sur x. On note GL2 le schéma en groupes sur Z usuel des matrices carrées inversibles, B (resp. B) le sous-schéma en groupes des matrices triangulaires supérieures (resp. inférieures), N (resp. N) le sous-schéma en groupes de B (resp. B) des matrices unipotentes supérieures (resp. inférieures), P le sous-schéma en groupes de B des déf ∗ ∗ matrices de la forme 0 1 et T = B ∩ B le sous-schéma en groupes de GL2 des matrices diagonales. Pour un anneau A (commutatif unitaire), on note GL2 (A), etc. les groupes correspondants des points à valeurs dans A (nous utiliserons essentiellement A = Qp et A = Zp ). On note gl2 (Qp ), b(Qp ), t(Qp ), n(Qp ) les algèbres de Lie respectives de GL2 (Qp ), B(Qp ), T(Qp ), N(Qp ), et z(Qp ) le centre de gl2 (Qp ). On pose : déf T(Qp )+ = t ∈ T(Qp ) | tN(Zp )t−1 ⊂ N(Zp ) a 0 × a = , a, d ∈ Qp , ∈ Zp , 0 d d a z + déf + × a z B(Qp ) = N(Zp )T(Qp ) = , a, d ∈ Qp , , ∈ Zp 0 d d d REPRÉSENTATIONS ORDINAIRES DE GL2 (Qp ) ET COMPATIBILITÉ déf et on note X− = 0 1 0 0 7 ∈ gl2 (Qp ). Si V est un Qp -espace vectoriel muni d’une action linéaire de B(Qp ), si t ∈ déf T(Qp )+ et si Nt = {n ∈ N(Zp ) | t−1 nt ∈ N(Zp )}, on note πt : V N(Zp ) → V N(Zp ) l’opérateur de Hecke défini par : X déf nt · v. πt v = #(N(Zp )/Nt )−1 n∈N(Zp )/Nt Si t ∈ T(Zp ), on a πt v = t · v. Les opérateurs πt préservent V P(Zp ) . Si f est une forme modulaire holomorphe (pas nécessairement parabolique) de poids k ≥ 2 de caractère χ nouvelle pour un groupe de congruence Γ1 (N ) vecteur propre des opérateurs de Hecke et si L est une extension finie de Qp dans Qp qui contient les valeurs propres associées, on note σ(f ) : Gal(Q/Q) → GL2 (L) la représentation p-adique semi-simple associée à f par Deligne. Si ` est un nombre premier, on désigne par Frob` un Frobenius arithmétique en `. Pour ` - N p, le 2 k−1 polynôme caractéristique de σ(f )(Frob−1 χ(`) si T` f = a` f . ` ) est X − a` X + ` La représentation σ(f ) est absolument irréductible si f est parabolique. Si πp,u (f ) désigne la composante locale en p de la représentation admissible lisse irréductible de GL2 (Af ) engendrée par f (cf. [20, §2.4]), on pose : déf πp (f ) = πp,u (f )⊗ | det | 2−k 2 . C’est une représentation lisse irréductible de GL2 (Qp ) de caractère central | |2−k × χ−1 p où χp est la composante locale en p de χ vu comme caractère de AQ,f . Par exemple, si (p, N ) = 1, alors πp (f ) est l’induite parabolique lisse de B(Qp ) à GL2 (Qp ) du caractère non ramifié nr(p−1 βp ) ⊗ nr(αp ) où αp , βp sont les racines de X 2 − ap X + pk−1 χ(p). Si A est un anneau (commutatif unitaire), on note Symk−2 A2 la représentation algébrique de GL2 (A) dont l’espace sous-jacent est le A-module ⊕0≤j≤k−2 Az j déf dz−b ) où g = muni de l’action A-linéaire à gauche (g(P ))(z) = (−cz + a)k−2 P ( −cz+a a b j ∈ GL2 (A) et P ∈ ⊕0≤j≤k−2 Az . c d Si M est un entier premier à p, on note T(M ) (ou simplement T si M est fixé) l’algèbre polynomiale sur Zp engendrée par les variables T` et S` pour ` premier ne divisant pas M p. On appelle parfois « module de Hecke » un T-module et « système de valeurs propres de Hecke » (defini sur L) un homomorphisme λ : T → L pour une extension finie L de Qp dans Qp . Si λ est un système de valeurs propres de Hecke défini sur L et X un module de Hecke, on note XLλ le sous-espace de X ⊗Zp L sur lequel T agit via λ. Si λ provient d’une forme déf modulaire f vecteur propre des T` et S` , on note aussi XLf = XLλ . On dit qu’un système de valeurs propres λ defini sur L est Eisenstein s’il existe des caractères × continus ε1 , ε2 : Z× M p → L tels que λ(T` ) = ε1 (`) + ε2 (`) et λ(`S` ) = ε1 (`)ε2 (`) pour tout ` - M p. On dit qu’un module de Hecke X est Eisenstein si, pour toute 8 C. BREUIL & M. EMERTON extension finie L de Qp , tout système de valeurs propres λ defini sur L tel que XLλ 6= 0 est Eisenstein. Tous les espaces de Banach B de ce texte sont p-adiques et tels que ||B|| ⊆ |L| où L ⊂ Qp désigne le corps des coefficients qui est toujours une extension finie de Qp . On appelle GL2 (Qp )-Banach unitaire un espace de Banach B muni d’une action à gauche L-linéaire de GL2 (Qp ) telle que les applications GL2 (Qp ) → B, g 7→ gv sont continues pour tout v ∈ B et telle que, pour un choix de norme || || sur B, on a ||gv|| = ||v|| pour tout g ∈ GL2 (Qp ) et tout v ∈ B. Un GL2 (Qp )Banach unitaire est dit admissible (suivant [45, §3]) si le Banach dual est de type déf fini sur L ⊗OL OL [[GL2 (Zp )]] où OL [[GL2 (Zp )]] = lim OL [GL2 (Zp )/H], la limite ←− H projective étant prise sur les sous-groupes de congruences principaux de GL2 (Zp ). 2. Représentations ordinaires de GL2 (Qp ) Dans cette partie, après des préliminaires sur les induites paraboliques, nous définissons les GL2 (Qp )-Banach unitaires B(σp ) de l’introduction. On fixe L une extension finie de Qp dans Qp . 2.1. On commence par quelques considérations générales sur les induites paraboliques. b l’espace rigide analytique sur Qp paramétrant les caractères localeOn note T ment analytiques (ou continus, ce qui est équivalent) χ1 ⊗χ2 de T(Qp ). Cet espace est isomorphe au produit (W × Gm )2 où W est l’espace rigide analytique sur Qp paramétrant les caractères localement analytiques de Z× p ([21, §4.4]). Un élément b de T(L) est donc un caractère localement analytique χ1 ⊗ χ2 : T (Qp ) → L× . b Définition 2.1.1. — On dit qu’un caractère χ1 ⊗ χ2 de T(L) est de poids clas× × sique k où k est un entier ≥ 2 si le caractère χ2 /χ1 : Qp → L est produit d’un caractère localement constant par le caractère algébrique z 7→ z k−2 . On dit qu’un b caractère χ1 ⊗ χ2 de T(L) est de poids classique s’il existe un entier k ≥ 2 tel que χ1 ⊗ χ2 est de poids classique k. Si d un entier positif ou nul, on note C lp,≤d (Zp , L) (resp. C an (Zp , L), resp. C (Zp , L)) le L-espace vectoriel des fonctions localement polynomiales de degré ≤ d (resp. localement analytiques, resp. continues) f : Zp → L muni de la topologie localement convexe la plus fine (resp. de type compact définie dans [44], resp. associée à la norme Sup | f (z) |). Lorsque d = 0, on note aussi déf C lc (Zp , L) = C lp,≤0 (Zp , L) l’espace des fonctions localement constantes sur Zp . 0 REPRÉSENTATIONS ORDINAIRES DE GL2 (Qp ) ET COMPATIBILITÉ 9 Si χ1 ⊗ χ2 : T (Qp ) → L× est un caractère de poids classique k (resp. localement analytique, resp. continu), on note : lp,≤k−2 GL (Q ) IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 an C 0 GL (Q ) GL (Q ) (resp. IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 , resp. IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 ) l’induite parabolique localement polynomiale de degré ≤ k − 2 (resp. localement analytique au sens de [44, §5,6], resp. continue au sens de [45]), c’est-à-dire le L-espace vectoriel V des fonctions F : GL2 (Qp ) → L telles que g 7→ det(g)−1 F (g) est localement polynomiale de degré ≤ k − 2 (resp. localement analytique, resp. continue) et telles que : a b F 0 d g = χ1 (a)χ2 (d)F (g) déf muni de l’action à gauche de GL2 (Qp ) donnée par (g ·F )(g 0 ) = F (g 0 g). Cet espace est naturellement muni d’une topologie localement convexe (la plus fine dans le cas localement algébrique, de type compact dans le cas localement analytique (cf. [44] pour une définition précise), associée à la norme Supg∈GL2 (Zp ) |f (g)| dans le cas continu) pour laquelle l’application GL2 (Qp ) × V → V , (g, F ) 7→ g · F est continue. L’application : 0 1 F ∈ V 7→ z 7→ F −1 z identifie V au L-espace vectoriel des fonctions localement polynomiales de degré ≤ k − 2 (resp. localement analytiques, resp. continues) f : Qp → L telles que (χ2 χ−1 1 )(z)f (1/z) se prolonge au voisinage de z = 0 en une fonction polynomiale de degré ≤ k − 2 (resp. analytique, resp. continue). L’action de GL2 (Qp ) s’écrit alors : dz − b a b −1 · f (z) = χ1 (ad − bc)(χ2 χ1 )(−cz + a)f (1) c d −cz + a et l’application : f 7→ z 7→ f (pz) , z 7→ (χ2 χ−1 )(z)f (1/z) 1 fournit un isomorphisme topologique avec C lp,≤k−2 (Zp , L)2 (resp. C an (Zp , L)2 , resp. lc déf GL (Q ) GL (Q ) C 0 (Zp , L)2 ). Si k = 2, on note aussi IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 = IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ lp,≤0 χ2 . Il s’agit de l’induite lisse usuelle de 1 ⊗ χ2 χ−1 1 tordue par χ1 . Nous aurons besoin de considérer des sous-espaces non préservés par GL2 (Qp ), mais préservés par gl2 (Qp ) et B(Qp ), dans les induites localement analytiques précédentes. Nous les introduisons maintenant. b Pour χ1 ⊗ χ2 ∈ T(L) et d un entier ≥ 0, on note : GL (Q ) IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )lp,≤d 10 C. BREUIL & M. EMERTON an GL (Q ) le sous-espace de IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 des fonctions f ci-dessus à support compact dans Qp et localement polynomiales de degré ≤ d. Si d = 0, on note aussi GL (Q ) IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )lc . On pose : [ déf GL (Q ) GL (Q ) IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )lp = IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )lp,≤d . d≥0 On munit ces espaces de la topologie localement convexe la plus fine. Chacun des GL (Q ) espaces IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )lp,≤d est B(Qp )-invariant et leur réunion est de plus gl2 (Qp )-invariante. L’inclusion : GL (Q ) GL (Q ) IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )lc ⊂ IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )lp induit donc un morphisme (gl2 (Qp ), B(Qp ))-équivariant : GL (Q ) GL (Q ) (2) Ugl2 (Qp ) ⊗Ub(Qp ) IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )lc −→ IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )lp où Ugl2 (Qp ) (resp. Ub(Qp )) est l’algèbre enveloppante de gl2 (Qp ) (resp. b(Qp )). Les deux lemmes qui suivent sont classiques. Pour le confort du lecteur, nous incluons leur preuve. Lemme 2.1.2. — Si χ1 ⊗ χ2 n’est pas de poids classique, alors (2) est un isomorphisme. Démonstration. — Soit wi ∈ L le poids du caractère χi (i = 1, 2) et notons déf w = w2 − w1 . Demander que χ1 ⊗ χ2 ne soit pas de poids classique estéquivalent déf α β à demander que w ne soit pas un entier positif ou nul. Si X = γ δ ∈ gl2 (Qp ) GL (Q ) et f ∈ IndB(Q2p ) p 1 (Qp )lp (vu comme fonction sur Qp comme précédemment), on obtient en différentiant (1) la formule suivante pour X · f : (3) (X · f )(z) = w1 (α + δ) + w(α − γz) f (z) + − β + (δ − α)z + γz 2 f 0 (z) où f 0 (z) est la dérivée de f . Soit L[z] le L-espace vectoriel des polynômes en z à coefficients dans L. La formule (3) définit une représentation de gl2 (Qp ) sur L[z] qui est un exemple de module de Verma contragrédient pour gl2 (Qp ). Le sous-espace L ⊂ L[z] des fonctions constantes est annulé par n(Qp ), et t(Qp ) agit sur L (vu comme L-espace vectoriel dedimension 1) par la dérivée du caractère α 0 χ2 | | ⊗χ1 | |−1 , c’est-à-dire par 0 δ 7→ w2 α + w1 δ. L’action de gl2 (Qp ) sur L[z] induit un morphisme de Ugl2 (Qp )-modules : (4) Ugl2 (Qp ) ⊗Ub(Qp ) L → L[z], et c’est un résultat classique de théorie des modules de Verma (qui se vérifie directement en utilisant (3)) que (4) est un isomorphisme sous l’hypothèse que w n’est pas un entier positif ou nul. Si Ω est un ouvert compact de Qp , notons L[z]|Ω l’espace des fonctions Qp → L qui sont polynomiales sur Ω et nulles sur le complémentaire de Ω. Par (3), on voit que L[z]|Ω est un sous-espace de REPRÉSENTATIONS ORDINAIRES DE GL2 (Qp ) ET COMPATIBILITÉ 11 GL (Q ) IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )lp stable par gl2 (Qp ). Si f ∈ L[z], soit f|Ω l’élément de L[z]|Ω défini comme étant le polynôme f sur Ω et 0 sur Qp \ Ω. L’application ∼ f 7→ f|Ω induit un isomorphisme de gl2 (Qp )-modules L[z] −→ L[z]|Ω . Si L|Ω désigne le sous-espace de L[z]|Ω formé des fonctions constantes sur Ω, on a un diagramme commutatif : / L[z] Ugl2 (Qp ) ⊗Ub(Qp ) L id⊗(f 7→f|Ω ) f 7→f|Ω / L[z]|Ω Ugl2 (Qp ) ⊗Ub(Qp ) L|Ω où la flèche horizontale supérieure et les deux flèches verticales sont des isomorphismes. Il en est donc de même de la flèche horizontale inférieure. On a par ailleurs des isomorphismes de gl2 (Qp )-modules (resp. de b(Qp )-modules) : M ∼ GL2 (Qp ) lim L[z] −→ Ind χ ⊗ χ (Qp )lp 1 2 |Ω i B(Qp ) −→ {Ωi } i (resp. lim −→ {Ωi } M ∼ GL (Q ) L|Ωi −→ IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )lc ) i où la limite inductive est prise sur tous les ensembles finis {Ωi } d’ouverts compacts disjoints de Qp . Mais par le résultat ci-dessus, la flèche naturelle : M M Ugl2 (Qp ) ⊗Ub(Qp ) lim L → lim L[z]|Ωi |Ωi −→ −→ {Ωi } {Ωi } i i est un isomorphisme, d’où on déduit le lemme. b Lemme 2.1.3. — Si χ1 ⊗ χ2 ∈ T(L) est de poids classique k, alors le sous GL2 (Qp ) GL (Q ) lp,≤k−2 espace IndB(Qp ) χ1 ⊗ χ2 (Qp ) de IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )lp est stable par (gl2 (Qp ), B(Qp )), et l’image de (2) est égale à ce sous-espace, tandis que le noyau de (2) est isomorphe à : GL2 (Qp ) k−1 lc X− Ugl2 (Qp ) ⊗Ub(Qp ) IndB(Qp ) χ1 ⊗ χ2 (Qp ) . Démonstration. — On garde les notations de la preuve du lemme précédent mais on suppose cette fois que w = k−2 est un entier positif ou nul. Si L[z]≤w désigne le sous-espace de L[z] des polynômes de degré au plus w, on voit par (3) que L[z]≤w est stable sous l’action de gl2 (Qp ). Plus précisément L[z]≤w est une représentation irréductible de gl2 (Qp ) dont le sous-espace de plus haut poids (par rapport à la sous-algèbre de Borel b(Qp )) est précisément le sous-espace L des constantes, sur lequel t(Qp ) agit par le poids dominant α 0 0 δ 7→ w2 α + w1 δ (voir preuve du Lemme 2.1.2). L’annulateur de L dans Ugl2 (Qp ) est donc égal à X−w+1 Ugl2 (Qp ), et l’application (4) induit une surjection : Ugl2 (Qp ) ⊗Ub(Qp ) L → L[z]≤w 12 C. BREUIL & M. EMERTON de noyau X−w+1 Ugl2 (Qp ). Le lemme découle alors du même argument déjà utilisé dans la preuve du lemme 2.1.2, mutatis mutandis. Le résultat suivant, de type « Amice-Vélu » est un cas particulier du résultat principal de [23] : Proposition 2.1.4. — Si V est un espace de Banach sur L muni d’une action continue de GL2 (Qp ), alors la restriction des homomorphismes induit un isomorphisme : an GL (Q ) HomGL2 (Qp ) IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 , V ∼ GL (Q ) −→ Hom(gl2 (Qp ),B(Qp )) IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )lp , Van où Van est le sous-espace de V des vecteurs localement analytiques ([46, §7]). Il s’agit bien sûr ici des homomorphismes continus (notons que, la topologie GL (Q ) localement convexe sur IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )lp étant la plus fine, la continuité des morphismes à droite est automatique). Pour la commodité du lecteur, nous donnons en appendice une preuve complète de cette proposition importante mais technique. lp,≤k−2 GL (Q ) Rappelons enfin qu’aux représentations IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 si χ1 ⊗ χ2 an GL2 (Qp ) b χ1 ⊗ χ2 si χ1 ⊗ χ2 ∈ T(L), on peut aussi est de poids classique k et Ind B(Qp ) associer leur complété unitaire universel, c’est-à-dire le complété par rapport à une semi-norme continue invariante sous GL2 (Qp ) aussi « fine » que possible (cf. [24, §1]). C’est un GL2 (Qp )-Banach unitaire qui peut être nul. Par exemple, dans GL (Q ) le cas localement algébrique, il s’agit simplement du complété de IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ lp,≤k−2 χ2 par rapport à un OL -réseau de type fini sur OL [GL2 (Qp )] (lorsqu’un tel réseau existe). 2.2. On définit les espaces de Banach B(σp ) par complétion unitaire d’induites paraboliques. b On fixe un entier k ≥ 2 et χ1 ⊗ χ2 ∈ T(L) tel que χ1 ⊗ χ2 est de poids classique k, χ2 est localement constant et on a val(χ2 (p)) = k − 1 et val(χ1 (p)) = 1 − k. Si k = 2, on suppose de plus χ1 6= χ2 | |2 de sorte que la représentation lc lc GL (Q ) GL (Q ) IndB(Q2p ) p χ1 ⊗χ2 est irréductible et isomorphe à IndB(Q2p ) p χ2 | | ⊗χ1 | |−1 . déf déf On pose η1 = χ1 | |1−k εk−2 = χ1 | |−1 z k−2 et η2 = χ2 | |k−1 ε2−k = χ2 | | z 2−k : les caractères η1 et η2 sont à valeurs entières. Proposition 2.2.1. — Le complété unitaire universel de la représentation lolp,≤k−2 GL (Q ) calement algébrique IndB(Q2p ) p χ1 ⊗χ2 s’identifie au GL2 (Qp )-Banach uniC 0 GL (Q ) taire admissible et topologiquement irréductible IndB(Q2p ) p η2 ⊗ η1 . REPRÉSENTATIONS ORDINAIRES DE GL2 (Qp ) ET COMPATIBILITÉ 13 Démonstration. — En utilisant l’entrelacement : lc lc GL (Q ) GL (Q ) IndB(Q2p ) p χ1 z k−2 ⊗ χ2 ' IndB(Q2p ) p χ2 | | ⊗χ1 | |−1 z k−2 lp,≤k−2 lp,≤k−2 GL (Q ) GL (Q ) . ' IndB(Q2p ) p η2 ⊗η1 on obtient un isomorphisme IndB(Q2p ) p χ1 ⊗χ2 Soit Ik−2 le L-espace vectoriel des fonctions f : Qp → L nulles en dehors de Zp et polynomiales de degré ≤ k − 2 en restriction à Zp , et choisissons une base (f0 , · · · , fk−2 ) du OL -réseau de Ik−2 des fonctions à valeurs dans OL . Alors la souslp,≤k−2 P GL (Q ) GL2 (Qp )-représentation IndB(Q2p ) p η2 ⊗ η1 0≤i≤k−2 OL [GL2 (Qp )]fi ⊂ lp,≤k−2 GL (Q ) s’identifie au réseau stable par GL2 (Qp ) des fonctions de IndB(Q2p ) p η2 ⊗η1 à valeurs dans OL . On voit donc que ce réseau est de type fini et que le complété lp,≤k−2 lp,≤k−2 GL (Q ) GL (Q ) ), (ou de IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 unitaire universel de IndB(Q2p ) p η2 ⊗ η1 lp,≤k−2 GL2 (Qp ) c’est-à-dire le complété de IndB(Qp ) η2 ⊗ η1 par rapport à ce réseau, C 0 GL2 (Qp ) s’identifie à IndB(Qp ) η2 ⊗ η1 . Ce dernier GL2 (Qp )-Banach est admissible car son dual s’identifie à L ⊗ (OL [[GL2 (Zp )]] ⊗OL [[B(Zp)]] OL) qui est de type fini sur OL [[GL2 (Zp )]] (l’application B(Zp ) → OL étant a 0 b d 7→ η2 (a)η1 (d)). On C 0 GL (Q ) peut voir l’irréductibilité comme suit : soit B ⊆ IndB(Q2p ) p η2 ⊗ η1 un sousespace fermé non-nul stable par GL2 (Qp ). Par densité des vecteurs localement analytiques d’un Banach p-adique admissible ([46, Th.7.1]), B contient une sousan GL (Q ) représentation de IndB(Q2p ) p η2 ⊗ η1 dense (dans B), qui contient elle-même lp,≤k−2 GL2 (Qp ) nécessairement la représentation IndB(Qp ) η2 ⊗ η1 (car celle-ci est localement polynomiale, donc a fortiori localement analytique). Or on a vu que cette C 0 GL (Q ) représentation est dense dans IndB(Q2p ) p η2 ⊗ η1 qui est donc aussi B. Rappelons qu’une fonction f : Zp → L est de classe C k−1 si son développement P z k−1 de Mahler f (z) = +∞ | an (f ) | tend vers 0 dans R+ n=0 an (f ) n est tel que n déf déf quand n tend vers +∞ (où z0 = 1 et nz = z(z−1)···(z−n+1) si n > 0). On note n! k−1 C (Zp , L) le L-espace vectoriel de ces fonctions. C’est un Banach pour la norme déf || f || = Supn nk−1 | an (f ) |. On peut aussi décrire cet espace comme les fonctions k − 1 fois dérivables de (k − 1)-ième dérivée continue ([41, §54]). Les fonctions de classe C k−1 sont stables par somme, produit, composition, etc. (cf. [41, Th.77.5]). Soit V le L-espace vectoriel des fonctions f : Qp → L telles que les fonctions déf déf k−1 f1 = (z 7→ f (pz)) et f2 = (z 7→ (χ2 χ−1 (Zp , L). C’est 1 )(z)f (1/z)) sont dans C un espace de Banach pour la norme Sup(|| f1 ||, || f2 ||). On munit V de l’action à gauche (1) de GL2 (Qp ) qui est une action par automorphismes continus (cf. [4, §4.2]). Pour 0 ≤ j ≤ k − 2 et a ∈ Qp , les fonctions f (z) = z j et f (z) = (z − a)−j (χ2 χ−1 1 )(z − a) sont dans V (la preuve est analogue à [4, Lem.4.2.2]). On définit W ⊂ V comme l’adhérence dans V du sous-L-espace vectoriel engendré par toutes ces fonctions. Il est stable par GL2 (Qp ). 14 C. BREUIL & M. EMERTON Théorème 2.2.2. — Le complétéunitaire universel de la représentation locaan GL (Q ) lement analytique IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 s’identifie au Banach quotient V /W avec son action induite de GL2 (Qp ). C’est un GL2 (Qp )-Banach unitaire admissible de C 0 GL (Q ) longueur topologique 2, extension non triviale de IndB(Q2p ) p η1 ε ⊗ η2 ε−1 par C 0 GL2 (Qp ) IndB(Qp ) η2 ⊗ η1 . déf déf Démonstration. — Posons α = χ1 (p)−1 et β = pk−1 χ2 (p)−1 , on a : GL (Q ) IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 an GL (Q ) = ε2−k ⊗ IndB(Q2p ) p nr(α−1 )ψ1 ⊗ nr(pβ −1 )ψ2 z k−2 an avec ψ1 = χ1 nr(χ1 (p))−1 εk−2 et ψ2 = χ2 nr(χ2 (p))−1 . D’après [24, Prop.1.21] (plus GL (Q ) précisément la preuve de loc. cit.), le complété unitaire universel de IndB(Q2p ) p χ1⊗ an χ2 est le complété par rapport au sous-OL [B(Qp )]-module engendré par les vec−j teurs 1Zp (z)z j et 1Qp −Zp (z)(χ2 χ−1 où 1U est la fonction caractéristique de 1 )(z)z l’ouvert U et j ∈ Z≥0 . Par le même calcul que dans la preuve de [4, Th.4.3.1] (on a multiplié ici les caractères non-ramifiés nr(α−1 ) et nr(pβ −1 ) par les caractères entiers ψ1 et ψ2 et tordu la représentation par le caractère entier ε2−k mais cela ne modifie pas l’argument), on trouve alors qu’une boule ouverte (de centre 0) du Banach dual du complété an cherché s’identifie aux distributions µ dans le dual GL2 (Qp ) telles que, pour tout a ∈ Qp , tout j ∈ Z≥0 et tout fort de IndB(Qp ) χ1 ⊗ χ2 n∈Z: Z (5) (z − a)j dµ(z) ∈ pn(j−k+1) OL n a+p Zp Z n(k−1−j) (6) (z − a)−j (χ2 χ−1 OL 1 )(z − a)dµ(z) ∈ p Qp −(a+pn Zp ) en se rappelant que val(χ1 (p)) = 1 − k. Un raisonnement analogue à celui de la preuve de [4, Th.4.3.1] montre que les conditions (5) et (6) sélectionnent exactement les distributions tempérées d’ordre ≤ k − 1 (c’est-à-dire les distributions de V ∨ ) annulant les fonctions z j et (z − a)−j (χ2 χ−1 1 )(z − a) pour 0 ≤ j ≤ k − 2 (faire n 7→ −∞ dans (5) et n 7→ +∞ dans (6)), c’est-à-dire les fonctions de W . On en déduit la première partie de l’énoncé. Un raisonnement similaire (en plus simple) montre que le complété unitaire universel de an an GL (Q ) GL (Q ) l’induite IndB(Q2p ) p χ1 z k−1 ⊗ χ2 z 1−k = IndB(Q2p ) p η1 ε ⊗ η2 ε−1 s’identifie 0 C GL (Q ) à IndB(Q2p ) p η1 ε ⊗ η2 ε−1 et la même preuve que pour la proposition 2.2.1 montre que ce dernier est un GL2 (Qp )-Banach admissible et topologiquement irréductible. Il résulte de la définition du complété unitaire universel que la sur an GL2 (Qp ) GL2 (Qp ) k−1 1−k an jection IndB(Qp ) χ1 ⊗ χ2 IndB(Qp ) χ1 z ⊗ χ2 z induit une sur0 C GL2 (Qp ) jection GL2 (Qp )-équivariante V /W IndB(Qp ) η1 ε ⊗ η2 ε−1 . Par continuité, cette dernière surjection s’identifie encore à f 7→ f (k−1) et son noyau n’est autre REPRÉSENTATIONS ORDINAIRES DE GL2 (Qp ) ET COMPATIBILITÉ 15 que N/W où N ⊂ V est le sous-espace fermé des fonctions de dérivée (k − 1)ième nulle (notons que W ⊂ N ). Par ailleurs, le complété unitaire universel de lp,≤k−2 GL (Q ) IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 s’envoie par fonctorialité dans N/W et, via la proposition 2.2.1, on voit qu’il s’agit nécessairement d’une immersion fermée (car les caractères η1 et η2 étant entiers, il n’y a qu’une norme invariante à équivalence près lp,≤k−2 lp,≤k−2 GL (Q ) GL (Q ) sur IndB(Q2p ) p χ1 ⊗χ2 = IndB(Q2p ) p η2 ⊗η1 , voir e.g. [4],Cor.5.4.4). En utilisant le résultat d’analyse p-adique disant que l’adhérence dans C k−1 (Zp , L) du sous-espace des fonctions polynomiales de degré au plus k − 2 s’identifie exactement aux fonctions de dérivée (k − 1)-ième nulle (dont on trouvera une preuve pour k = 2 dans [41, §68] et pour k quelconque dans [42, §8]), on obtient bien une suite exacte GL2 (Qp )-équivariante : C 0 C 0 GL (Q ) GL (Q ) 0 → IndB(Q2p ) p η2 ⊗ η1 → V /W → IndB(Q2p ) p η1 ε ⊗ η2 ε−1 →0 qui fait de V /W un GL2 (Qp )-Banach admissible de longueur topologique 2 (en utilisant ce qui précède et la proposition 2.2.1). Enfin, cette suite est non scindée, sian GL (Q ) non la représentation localement analytique IndB(Q2p ) p χ1 ⊗χ2 serait également scindée ce qui n’est pas le cas (cf. [44]). 2.3. Soit σp une représentation potentiellement cristalline de Gal(Qp /Qp ) réductible et de dimension 2 sur L. On peut écrire : χ1 | |1−k εk−2 ∗ σp ' ⊗η 0 χ2 | |k−1 ε1−k pour un caractère continu η : Gal(Qp /Qp ) → L× , un unique entier k supérieur ou égal à 1 et un caractère χ1 ⊗ χ2 de poids classique k avec χ2 localement constant tel que val(χ2 (p)) = k − 1 et val(χ1 (p)) = 1 − k (de sorte que, via la réciprocité locale, χ1 | |1−k et χ2 | |k−1 s’étendent à Gal(Qp /Qp )). Notons que, lorsque k = 1, la terminologie « de poids classique 1 » est un abus de notations et signifie ici que χ2 /χ1 est le produit d’un caractère localement constant par le caractère z 7→ z −1 (cf. définition 2.1.1). Si l’extension ∗ est non-nulle, alors elle est unique. On pose déf déf η1 = χ1 | |1−k εk−2 et η2 = χ2 | |k−1 ε2−k comme au §2.2. Si k = 2, on suppose η1 6= η2 (voir la remarque 2.3.1 pour le cas η1 = η2 ). On « associe » alors à σp le GL2 (Qp )-Banach unitaire B(σp ) suivant : η1 0 (i) si σp ' ⊗ η, alors : 0 η2 ε−1 C 0 C 0 déf GL (Q ) GL (Q ) B(σp ) = IndB(Q2p ) p η2 ⊗ η1 ⊗ η ⊕ IndB(Q2p ) p η1 ε ⊗ η2 ε−1 ⊗ η, η1 ∗ (ii) si σp ' ⊗ η avec ∗ = 6 0 et si k ≥ 2 (voir la remarque 2.3.2 pour 0 η2 ε−1 k = 1), alors B(σp ) est le tordu par η du complété unitaire universel de l’induite an GL (Q ) parabolique localement analytique IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 . Par le théorème 2.2.2, 16 C. BREUIL & M. EMERTON c’est une extension non scindée : C 0 C 0 GL (Q ) GL (Q ) 0 → IndB(Q2p ) p η2 ⊗ η1 ⊗ η → B(σp ) → IndB(Q2p ) p η1 ε ⊗ η2 ε−1 ⊗ η → 0. Remarque 2.3.1. — On discute ici le cas k = 2 et η1 = η2 . Notons qu’alors lc lc GL (Q ) GL (Q ) IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 = IndB(Q2p ) p | | ⊗ | |−1 ⊗ η1 n’est plus isomorphe à lc lc GL (Q ) GL (Q ) = IndB(Q2p ) p 1 ⊗ 1 ⊗ η1 . Soit B(2, ∞) le complété IndB(Q2p ) p χ2 | | ⊗χ1 | |−1 lc GL (Q ) (c’est une extension non-scindée unitaire universel de IndB(Q2p ) p | | ⊗ | |−1 de la représentation triviale par St où, comme dans [8], on note St le complété unitaire universel de la représentation de Steinberg). On est ici tenté de définir le GL2 (Qp )-Banach unitaire B(σp ) associé à σp comme suit : (i) si σp est scindée : C 0 déf GL (Q ) B(σp ) = B(2, ∞) ⊗ η1 η ⊕ IndB(Q2p ) p ε ⊗ ε−1 ⊗ η1 η, (ii) si σp est non scindée, B(σp ) est défini comme le complété unitaire universel an GL (Q ) de IndB(Q2p ) p | | ⊗ | |−1 ⊗ η1 η, et on a une extension non-scindée : C 0 GL (Q ) 0 → B(2, ∞) ⊗ η1 η → B(σp ) → IndB(Q2p ) p ε ⊗ ε−1 ⊗ η1 η → 0. Bien sûr, ce cas « non générique » n’arrive jamais dans le contexte global des formes modulaires paraboliques, et on ne peut donc le « tester » directement. Cependant, des considérations globales indirectes devraient permettre de tester le cas non scindé, comme nous l’expliquons maintenant. Supposons que σp est non scindée (avec k = 2 et η1 = η2 ) et supposons, pour simplifier, que η1 = η2 et η sont les caractères triviaux (quitte à tordre). La représentation σp peut se voir comme la « limite » (en un sens convenable) lorsque L → ∞ (i.e. val(L) → −∞) des représentations semi-stables réductibles V (2, L) de [8, Ex.1.3.5] (on peut par exemple considérer cette limite dans l’espace projectif de dimension 1 des classes d’isomorphismes d’extensions non-triviales de ε−1 par le caractère trivial). Pour chaque valeur (finie) de L, considérons le GL2 (Qp )-Banach unitaire B(2, L) défini dans [8]. Il est alors très facile de prendre la limite lorsque val(L) → −∞ dans la construction de B(2, L) et de vérifier que l’on obtient le GL2 (Qp )-Banach B(2, ∞) ci-dessus (dans la discussion de [8, §4.5], il suffit de remplacer la représentation σ(2, L) par la représentation σ(2, ∞) obtenue en remplaçant val par logL dans la définition de σ(2, L)). En remplaçant ∞ par une valeur finie de L, on s’attend comme en (ii) ci-dessus à ce que le GL2 (Qp )-Banach unitaire B(V (2, L)) correspondant à V (2, L) donne lieu à une suite exacte courte : C 0 GL (Q ) 0 → B(2, L) → B(V (2, L)) → IndB(Q2p ) p ε ⊗ ε−1 →0 (bien qu’il ne soit pas clair, pour l’instant, comment construire une telle suite exacte). Le test global indirect évoqué ci-dessus consiste alors à prendre une ∼ forme modulaire nouvelle de niveau N et poids 2 telle que σp (f ) −→ V (2, L) ⊗ η REPRÉSENTATIONS ORDINAIRES DE GL2 (Qp ) ET COMPATIBILITÉ 17 et à se demander si Πp (f ) (comme défini dans l’introduction) donne bien lieu à une suite exacte courte : C 0 GL (Q ) 0 → B(2, L) ⊗ η → Πp (f ) → IndB(Q2p ) p ε ⊗ ε−1 ⊗ η → 0. Pour le moment, il est seulement connu qu’il existe un plongement GL2 (Qp )équivariant B(2, L) ⊗ η ,→ Πp (f ) ([9]). Remarque 2.3.2. — Lorsque k = 1 et ∗ = 6 0, nous ignorons comment (ou GL (Q ) même si l’on peut) construire une extension non scindée de IndB(Q2p ) p η1 ε ⊗ C 0 C 0 GL (Q ) η2 ε−1 par IndB(Q2p ) p η2 ⊗ η1 . Remarque 2.3.3. — De même que l’extension est unique côté Galois (lorsqu’elle est non-nulle), on peut se demander s’il existe d’autres extensions de C 0 C 0 GL (Q ) GL (Q ) par IndB(Q2p ) p η2 ⊗ η1 dans la catégorie abélienne IndB(Q2p ) p η1 ε ⊗ η2 ε−1 des GL2 (Qp )-Banach unitaires admissibles que celle donnée par le complété unian GL (Q ) taire universel de IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 . Remarque 2.3.4. — Une version des résultats et définitions du §2.2 et du §2.3 se trouve déjà dans [3, §7] (qui ne sera pas publié). 3. La conjecture de compatibilité local-global À toute forme modulaire parabolique propre f de poids k ≥ 2, on associe un GL2 (Qp )-Banach unitaire admissible Πp (f ) construit dans la cohomologie des courbes modulaires. Lorsque la représentation galoisienne p-adique associée à f est potentiellement cristalline réductible en p, on conjecture que Πp (f ) est exactement le Banach du §2.3. 3.1. On commence par quelques rappels et préliminaires sur les GL2 (Qp )-Banach b c1 (K1p (M )) ⊗Zp Qp et H b 1 (K1p (M )) ⊗Zp Qp de [21] et [9]. H Pour tout sous-groupe compact Kf de GL2 (Af ), on note : déf Y (Kf ) = GL2 (Q)\GL2 (A)/C× Kf a −b × où l’on voit C dans GL2 (R) par a + ib 7→ b a . Pour tout entier positif M premier à p et tout entier positif ou nul r, on pose : a b déf p p b K1 (M ) = ∈ GL2 (Z ), (c, d) ≡ (0, 1) mod M , c d a b a b 1 0 déf r Kp (r) = ∈ GL2 (Zp ), ≡ mod p c d c d 0 1 18 C. BREUIL & M. EMERTON déf et K1 (M ; pr ) = K1p (M )Kp (r). Il s’agit de sous-groupes ouverts respectivement b p ), GL2 (Zp ) et GL2 (Z). b On note Y1 (M ; pr ) déf de GL2 (Z = Y (K1 (M ; pr )) la courbe modulaire (ouverte) classifiant les courbes elliptiques avec structure de niveau Γ1 (M ) en dehors de p et structure de niveau Γ(pr ) en p. Le complété p-adique d’un Zp -module X est par définition le Zp -module : b déf X/pn X. X = lim ←− n b i (K1p (M )) (resp. H b i (K1p (M ))) Pour i ∈ {0, 1} (resp. i ∈ {1, 2}), on note H c i r le complété p-adique du Zp -module lim H (Y (M ; p ), Z ) (resp. du Zp -module 1 p −→ r b i (K1p (M ))L déf lim Hci (Y1 (M ; pr ), Zp )) et, pour toute extension finie L de Qp , H = −→ r b i (K1p (M )) ⊗Zp L (resp. H b ci (K1p (M ))L déf b ci (K1p (M )) ⊗Zp L). Les Zp -modules H = H b i (K1p (M )) et H b i (K1p (M )) sont sans torsion et munis d’actions naturelles de H c Gal(Q/Q), GL2 (Qp ) et T induites par leurs actions sur lim H i (Y1 (M ; pr ), Zp ) et −→ r b i (K1p (M ))L et H b ci (K1p (M ))L Hci (Y1 (M ; pr ), Zp ). L’action de GL2 (Qp ) fait de H lim −→ r des GL2 (Qp )-Banach unitaires qui sont admissibles ([21, Th.2.2.13]). Si i = 1, par [9, Lem.2.2.1] ou [21, Prop.4.3.9], l’application naturelle de la cohomologie à support compact vers la cohomologie : b c1 (K1p (M )) −→ H b 1 (K1p (M )) H (7) c son noyau. Il est encore muni des actions induites de est surjective et on note M Gal(Q/Q), GL2 (Qp ) et T. Ce noyau admet une description explicite simple que nous donnons maintenant. Si Kf est un sous-groupe ouvert compact quelconque de GL2 (Af ), rappelons que l’ensemble des pointes de la courbe modulaire Y (Kf ) admet la description adélique : déf ∼ C(Kf ) = GL2 (Q)\(P1 (Q) × π0 × GL2 (Af ))/Kf −→ T(Q)+ N(Af )\GL2 (Af )/Kf où T(Q)+ est le sous-groupe de T(Q) des matrices diagonales de déterminant positif et π0 le groupe des composantes connexes de GL2 (R). Passant à la limite b déf projective sur Kf , on obtient la description suivante de l’ensembre profini C = lim C(Kf ) : ←− Kf (8) ∼ ∼ b b b −→ C T(Q)+ N(Af )\GL2 (Af ) −→ (±N(Z))\GL 2 (Z). L’application « déterminant » induit une surjection : (9) ∼ b× b Q× \A× −→ C Z >0 f REPRÉSENTATIONS ORDINAIRES DE GL2 (Qp ) ET COMPATIBILITÉ 19 qui s’identifie à la limite projective de la surjection C(Kf ) → π0 (Y (Kf )) envoyant une pointe vers la composante connexe qui la contient. Comme T(Af ) normalise T(Q)+ N(Af ), la multiplication à gauche par T(Af ) induit (via (8)) une action de b On définit un homomorphisme Gal(Q/Q) → T(Af ) par : T(Af ) sur C. cyclo(σ) 0 σ 7→ 0 1 b × est le où σ ∈ Gal(Q/Q) et cyclo : Gal(Q/Q) → Z adélique. Cet homomorphisme et l’action de T(Af ) sur b qui s’identifie à la limite projective de Gal(Q/Q) sur C Gal(Q/Q) sur C(Kf ). caractère cyclotomique b induisent une action C de l’action naturelle de b × , Zp )) l’espace des fonctions de C b Zp ) (resp. C 0,lc (Z b (resp. de On note C 0,lc (C, b × ) dans Zp qui sont continues en les variables p-adiques et localement constantes Z b fait de C 0,lc (C, b Zp ) une GL2 (Af )en les autres. L’action à droite de GL2 (Af ) sur C b × , Zp ) s’identifie à un sous-Zp -module invariant de représentation. Via (9), C 0,lc (Z b Zp ) et on pose : C 0,lc (C, b × , Zp ). b Zp ) déf b Zp )/ C 0,lc (Z e0,lc (C, = C 0,lc (C, C C’est un Zp -module sans torsion muni des actions de T(Af ) et Gal(Q/Q) induites b Zp ) (elles-mêmes déduites de l’action de T(Af ) sur par leurs actions sur C 0,lc (C, b Ces actions commutent avec celle de GL2 (Af ). C). c muni des actions de Gal(Q/Q), de Proposition 3.1.1. — Le Zp -module M b Zp )K1p (M ) de C b Zp ) e0,lc (C, e0,lc (C, GL2 (Qp ) et de T est isomorphe au sous-Zp -module C muni des actions induites ci-dessus de Gal(Q/Q) et GL2 (Qp ), et où l’action de ` 0 T` (resp. S` ) pour ` - M p est l’action de la double classe GL2 (Z` ) 0 1 GL2 (Z` ) ` 0 (resp. GL2 (Z` ) 0 ` GL2 (Z` )) dans l’algèbre de Hecke de GL2 (Z` ) dans GL2 (Q` ). Démonstration. — C’est un résultat bien connu, qui s’obtient par exemple en passant à la limite projective sur n dans la suite exacte (1) de [9, §2.1]. Pour c avec l’action de l’algèbre de la comparaison de l’action classique de T sur M 0,lc b Zp )K1p (M ) , cf. la preuve de [21, e (C, Hecke (en les premiers `, (`, M ) = 1) sur C Prop.4.4.2]. b Zp )K1p (M ) . e0,lc (C, Il va être nécessaire de décrire explicitement l’action de T sur C × × × Si a ∈ Z× M p , on note ap ∈ Zp l’image de a par la projection naturelle ZM p Zp et b × un élément quelconque de Z b × qui s’envoie sur a par la projection naturelle â ∈ Z × b × Z . Comme l’action de T(Af ) sur C 0,lc (C, b Zp ) commute avec l’action de Z Mp b Zp )K1p (M ) . Nous allons utiliser cette GL2 (Af ), elle préserve le sous-module C 0,lc (C, 20 C. BREUIL & M. EMERTON p 0,lc b action de T(Af ) pour définir deux actions de Z× (C, Zp )K1 (M ) . Pour M p sur C p 0,lc b b posons : a ∈ Z× (C, Zp )K1 (M ) et ĉ ∈ C, M p, f ∈ C −1 déf (hai1 f )(ĉ) = ap f â 0 10 ĉ) (ici ap agit simplement par la multiplication par ap ∈ Z× p ) et : déf 1 0 (hai2 f )(ĉ) = f 0 â−1 ĉ). Ces actions sont bien définies indépendamment du choix du relevé â, ce que l’on peut vérifier en utilisant l’identification : (10) C 0,lc b Zp )K1p (M ) = C 0 (C/K b 1p (M ), Zp ), (C, ∼ b 1p (M ) −→ où le module de droite est le module des fonctions continues sur C/K T(Q)+ N(Af )\GL2 (Af )/K1p (M ) à valeurs dans Zp . Chacune de ces actions préserve b × , Zp )K1p (M ) de C 0,lc (C, b Zp )K1p (M ) et induit donc une action le sous-module C 0,lc (Z b Zp )K1p (M ) . e0,lc (C, (notée de la même manière) de Z× M p sur C Lemme 3.1.2. — Si ` ne divise pas M p, l’action de T` (resp. de `S` ) sur b Zp )K1p (M ) est donnée par h`i1 + h`i2 (resp. par h`i1 h`i2 ). e0,lc (C, C Démonstration. — C’est un calcul facile en utilisant (10) et la description adélique b donnée par (8). de C c est Eisenstein. Corollaire 3.1.3. — Le module de Hecke M Démonstration. — Soit L une extension finie de Qp dans Qp et λ un système cλ 6= 0. Par la proposition 3.1.1, on peut de valeurs propres de Hecke tel que M L b Zp )K1p (M ) en actions sur e0,lc (C, transférer les deux actions h i1 et h i2 de Z× M p sur C c, et donc sur M c ⊗Zp L. Ces actions préservent M cλ 6= 0 et, par le lemme 3.1.2, M L vérifient les égalités : (11) h`i1 + h`i2 = λ(T` ), h`i1 h`i2 = `λ(S` ). cλ satisfont donc h`i2i −λ(`)h`ii +`λ(S` ) = Les automorphismes h`ii (i = 1, 2) de M L 0. Quitte à agrandir L, on peut factoriser ces équations quadratiques sur L (pour cλ contient un sous-espace non-nul sur lequel h i1 et h i2 tout `), et conclure que M L agissent par un caractère de Z× M p . De plus, ces caractères sont forcément continus car tel est le cas des automorphismes h i1 and h i2 . Par (11), le système de valeurs propres est bien Eisenstein. REPRÉSENTATIONS ORDINAIRES DE GL2 (Qp ) ET COMPATIBILITÉ 21 3.2. On définit le GL2 (Qp )-Banach p-adique Πp (f ) associé à une forme modulaire f . Pour tout k ≥ 2 et tout (M, r) comme au §3.1, on note Vk−2 le système local sur Y1 (M ; pr ) associé à la représentation Symk−2 Q2p de GL2 (Q) et on pose : déf H 1 (Y1 (M ; pr ), Vk−2 ), H 1 (K1p (M ), Vk−2 ) = lim −→ r Hc1 (K1p (M ), Vk−2 ) déf = lim Hc1 (Y1 (M ; pr ), Vk−2 ). −→ r Ces espaces sont naturellement munis d’actions de Gal(Q/Q), GL2 (Qp ) et T qui commutent entre elles. De plus, l’action de GL2 (Qp ) est lisse. Par [21, §4.3], pour toute extension finie L de Qp , on a une injection commutant à GL2 (Qp ) et T : (12) b 1 (K1p (M ))L , (Symk−2 L2 )∨ ⊗Qp H∗1 (K1p (M ), Vk−2 ) ,→ H ∗ b 1 (K1p (M ))L des (où ∗ ∈ {∅, c}) dont l’image est exactement le sous-espace de H ∗ vecteurs (Symk−2 L2 )∨ -localement algébriques. Soit f une forme modulaire parabolique normalisée de poids k ≥ 2 , niveau × N et caractère χ : (Z/N Z)× → Q définie sur une extension finie L de Qp dans Qp . On suppose f vecteur propre des opérateurs de Hecke T` pour ` - N et on note a` ∈ L la valeur propre associée. Si N = M pr (r ≥ 0, (M, p) = 1), on a par Eichler-Shimura un isomorphisme Gal(Q/Q)- et GL2 (Qp )-équivariant : (13) p ∼ σ(f ) ⊗L πp (f ) ⊗L π p (f )K1 (M ) −→ H∗1 (K1p (M ), Vk−2 )f p où ∗ ∈ {∅, c} et où le L-espace vectoriel non-nul π p (f )K1 (M ) est de dimension 1 exactement lorsque f est nouvelle en M . Combinant (13) et (12), on obtient une injection compatible aux actions de Gal(Q/Q) et GL2 (Qp ) : p b 1 (K1p (M ))f . (14) σ(f ) ⊗L (Symk−2 L2 )∨ ⊗L πp (f ) ⊗L π p (f )K1 (M ) ,→ H ∗ b 1 (K1p (M ))L de Supposons f nouvelle en M , notons π bp (f ) l’adhérence dans H c k−2 2 ∨ la représentation localement algébrique (Sym L ) ⊗L πp (f ) via un plongement issu de (14) (c’est indépendant du plongement) et posons : déf b 1 (K1p (M ))L Πp (f ) = HomGal(Q/Q) σ(f ), H c b 1 (K1p (M ))L . que l’on munit de l’action de GL2 (Qp ) induite par l’action sur H c Les deux L-espaces vectoriels π bp (f ) et Πp (f ) sont des GL2 (Qp )-Banach unitaires admissibles et on a une immersion fermée GL2 (Qp )-équivariante π bp (f ) ,→ Πp (f ). Il n’est pas difficile de vérifier que π bp (f ) est aussi l’adhérence de (Symk−2L2 )∨ ⊗L b 1 (K1p (M ))L ([9, Prop.2.2.3]). Montrer que la composante σ(f )-isotyπp (f ) dans H b 1 (K1p (M ))L redonne encore Πp (f ) requiert quelques préliminaires. pique de H Lemme 3.2.1. — L’ensemble des nombres premiers ` ne divisant pas M p tels que l’image de Frob` par σ(f ) est scalaire est de densité nulle. 22 C. BREUIL & M. EMERTON Démonstration. — Si P désigne l’ensemble de tous les nombres premiers et S ⊆ P un sous-ensemble quelconque, rappelons que la densité de S (lorsqu’elle existe) est par définition : déf #{` ∈ S | ` ≤ x} ≤ 1. x→+∞ #{` ∈ P | ` ≤ x} d(S) = lim Soit σ(f )0 : Gal(Q/Q) → GL2 (OL ) un OL -réseau stable par Gal(Q/Q) dans σ(f ) et S (resp. Sn pour n ∈ Z>0 ) l’ensemble des nombres premiers ` ne divisant pas M p tels que l’image de Frob` par σ(f ) (resp. σ(f )0 ⊗OL OL /pn OL ) est scalaire. Notons Gn ⊆ PGL2 (OL /pn OL ) l’image de Gal(Q/Q) par la représentation projective : σ(f )0 Gal(Q/Q) −→ GL2 (OL ) GL2 (OL /pn OL ) PGL2 (OL /pn OL ) ∼ et Kn ⊂ Q l’extension galoisienne finie de Q telle que Gal(Kn /Q) → Gn . Le théorème de Čebotarev (voir e.g. [43, §2.1]) appliqué à l’extension Kn /Q implique que d(Sn ) existe et vaut : d(Sn ) = 1 1 = . #Gal(Kn /Q) #Gn Or, par [39, Th.4.3], l’image de Gal(Q/Q) dans PGL2 (OL ) donnée par la représentation σ(f )0 “projectivisée” est infinie, donc le cardinal de Gn tend vers +∞ avec n, d’où : (15) lim d(Sn ) = 0. n→+∞ Mais pour tout n, on a : 0 ≤ lim sup x→+∞ #{` ∈ S | ` ≤ x} #{` ∈ Sn | ` ≤ x} ≤ lim sup = d(Sn ) #{` ∈ P | ` ≤ x} x→+∞ #{` ∈ P | ` ≤ x} d’où avec (15) en faisant n → +∞ : lim sup x→+∞ #{` ∈ S | ` ≤ x} #{` ∈ S | ` ≤ x} = 0 = lim = d(S) x→+∞ #{` ∈ P | ` ≤ x} #{` ∈ P | ` ≤ x} ce qui achève la preuve. Si S est un ensemble de nombres premiers ne divisant pas M p et X un module de Hecke, on note : déf XLS,f = {x ∈ X ⊗Zp L | ∀ ` ∈ S, T` x = a` x, S` x = `χ(`)x}. Lemme 3.2.2. — Soit S un ensemble de nombres premiers ne divisant pas M p b c1 (K1p (M ))S,f ,→ H b c1 (K1p (M ))f et H b 1 (K1p (M ))S,f ,→ de densité 1, les injections H L L L b 1 (K1p (M ))f sont des isomorphismes. H L REPRÉSENTATIONS ORDINAIRES DE GL2 (Qp ) ET COMPATIBILITÉ 23 b 1 (K1p (M )) ⊗Zp OL )S,f déf b 1 (K1p (M )) ⊗Zp OL ) ∩ Démonstration. — Notons (H = (H c c p p S,f S,f 1 1 b b Hc (K1 (M ))L et soit x = (xn ) ∈ (Hc (K1 (M )) ⊗Zp OL ) où : déf Hc1 (Y1 (M ; pm ), OL /pn OL ). xn ∈ Hc1 (K1p (M ), OL /pn OL ) = lim −→ m Il suffit de montrer que, ∀ n, T` xn = a` xn et S` xn = `χ(`)xn pour tout ` premier ne divisant pas M p. Soit m tel que xn ∈ Hc1 (Y1 (M ; pm ), OL /pn OL ), ` un nombre premier ne divisant pas M p, x̂n un relevé de xn dans Hc1 (Y1 (M ; pm ), OL ) et (`i )i∈N une suite de nombres premiers dans S telle que, dans le groupe de Galois de l’extension maximale de Q non-ramifiée en dehors de M p, on ait Frob`i → Frob` quand i → +∞ (notons que cela implique `i tend vers ` dans Z× p ). Une telle suite existe par le théorème de Čebotarev puisque S est de densité 1. Par les relations d’Eichler-Shimura (et la structure galoisienne connue de Hc1 (Y1 (M ; pm ), OL ) ⊗ L), on a alors aussi T`i → T` et S`i → S` comme endomorphismes de Hc1 (Y1 (M ; pm ), OL ). En particulier, pour i 0, on a T`i xn = a`i xn = a` xn et T`i xn = T` xn d’où T` xn = a` xn . De même pour i 0, on a S`i xn = `i χ(`i )xn = `χ(`)xn et S`i xn = S` xn d’où S` xn = `χ(`)xn . La preuve b 1 (K1p (M ))L est la même. pour H Proposition 3.2.3. — On a : ∼ b c1 (K1p (M ))f −→ HomGal(Q/Q) σ(f ), H Πp (f ). L Démonstration. — Notons S l’ensemble des nombres premiers ne divisant pas M p tels que Frob` n’est pas scalaire sur σ(f ). Par le lemme 3.2.1, S est de b c1 (K1p (M ))S,f densité 1 et par le lemme 3.2.2, il suffit de montrer l’énoncé avec H L b c1 (K1p (M ))f . Munissons Πp (f ) de l’action des opérateurs de Hecke au lieu de H L b 1 (K1p (M ))L (qui commute avec celle de Gal(Q/Q)). induite par leur action sur H c Il suffit de montrer que, pour tout x ∈ Πp (f ) et tout ` ∈ S, on a T` (x) = a` x et S` (x) = `k−2 χ(`)x. On a une injection canonique Galois- et Hecke-équivariante : b c1 (K1p (M ))L σ(f ) ⊗OL Πp (f ) ,→ H v ⊗ x 7→ x(v) (l’injection résultant de l’irréductibilité de σ(f )). Soit (v, x) ∈ σ(f ) × Πp (f ), les −1 relations d’Eichler-Shimura Frob−2 ` − T` ◦ Frob` + `S` = 0 (encore valables sur p b 1 (K1 (M )) par passage à la limite sur les relations à niveau fini) et les propriétés H c de σ(f ) |Gal(Q` /Q` ) impliquent l’égalité : k−1 −Frob−1 χ(`))(x) = 0 ` (v) ⊗ (T` − a` )(x) + v ⊗ (`S` − ` dans σ(f ) ⊗L Πp (f ) pour tout v ∈ σ(f ) et tout x ∈ Πp (f ). Comme Frob` n’est pas scalaire sur σ(f ), en fixant x et en faisant varier v dans σ(f ), on en déduit aisément (T` − a` )(x) = 0 et (S` − `k−2 χ(`))(x) = 0. 24 C. BREUIL & M. EMERTON Proposition 3.2.4. — On a : ∼ ∼ b 1 (K1p (M ))f → b 1 (K1p (M ))L . Πp (f ) → HomGal(Q/Q) σ(f ), H σ(f ), H Hom Gal(Q/Q) L Démonstration. — L’isomorphisme de gauche se prouve exactement comme celui de la proposition 3.2.3 grâce aux lemmes 3.2.1 et 3.2.2. Il suffit donc de montrer que l’application naturelle : (16) b c1 (K1p (M ))L )f −→ Hom b 1 (K1p (M ))L )f HomGal(Q/Q) σ(f ), (H σ(f ), ( H Gal(Q/Q) déf est un isomorphisme. Notons TOL = T ⊗Zp OL et I ⊂ TOL l’idéal engendré par T` − a` et S` − `k−2 χ(`). La surjection (7) induit une suite exacte : cL −→ H b 1 (K1p (M ))L −→ H b 1 (K1p (M ))L −→ 0. 0 −→ M c En appliquant le functeur HomTOL (TOL /I, –), on obtient une suite exacte : cL )f −→ (H b 1 (K1p (M ))L )f −→ (H b 1 (K1p (M ))L )f 0 −→ (M c cL ). −→ Ext1T (TO /I, M OL L cL )f = 0 par le corollaire 3.1.3 car f est parabolique, d’où une suite On a (M exacte : b 1 (K1p (M ))L )f −→(H b 1 (K1p (M ))L )f −→Ext1 (TO /I, M cL ), 0 −→ (H c L TOL qui induit une nouvelle suite exacte : b c1 (K1p (M ))L )f 0 −→ HomGal(Q/Q) σ(f ), (H b 1 (K1p (M ))L )f −→ HomGal(Q/Q) σ(f ), (H cL ) . −→ HomGal(Q/Q) σ(f ), Ext1TO (TOL /I, M L cL se factorise par Gal(Q/Q)ab Par la proposition 3.1.1, l’action de Gal(Q/Q) sur M cL ). et il en est donc de même de l’action de Gal(Q/Q) sur Ext1TO (TOL /I, M L Comme σ(f ) est une Gal(Q/Q)-représentation absolument irréductible, on en déduit : cL ) = 0 HomGal(Q/Q) σ(f ), Ext1TO (TOL /I, M L d’où l’isomorphisme recherché. 3.3. On énonce la conjecture de compatibilité local-global 1.1.1 de l’introduction. On fixe une forme modulaire comme au §3.2 avec f nouvelle sur Γ1 (M pr ) et on suppose de plus que πp (f ) est une série principale de sorte que l’on peut écrire : lp,≤k−2 GL (Q ) (Symk−2L2 )∨ ⊗L πp (f ) = IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 REPRÉSENTATIONS ORDINAIRES DE GL2 (Qp ) ET COMPATIBILITÉ 25 b où χ1 ⊗ χ2 ∈ T(L) est de poids classique k, χ2 est localement constant et 2−k −1 χ1 χ2 = ε χp (χp est la composante locale en p de χ vu comme caractère déf de A× f ). On pose σp (f ) = σ(f ) |Gal(Qp /Qp ) . Dans ce cas, par [40] σp (f ) devient cristalline sur l’extension abélienne totalement ramifiée Qp (ζpr ). On suppose enfin σp (f ) réductible ou, ce qui est équivalent quitte à modifier χ1 et χ2 en utilisant l’entrelacement sur les induites lisses, val(χ2 (p)) = k − 1 et val(χ1 (p)) = 1 − k. déf déf On pose η1 = χ1 | |1−k εk−2 , η2 = χ2 | |k−1 ε2−k et on a comme au §2.3 : χ1 | |1−k εk−2 ∗ η1 ∗ σp (f ) ' = . 0 η2 ε−1 0 χ2 | |k−1 ε1−k La nullité ou non de ∗ (rappelons que si ∗ est non-nul, il n’y a qu’une seule extension possible) est liée au paramètre de la filtration de Hodge sur le ϕ-module déf filtré Dp (f ) = Dpcris (σp (f )). On montre en effet facilement (cf. [31]) : Dp (f ) = Le1 ⊕ Le2 ϕ(e1 ) = χ2 (p)e1 ϕ(e2 ) = pk−1 χ1 (p)e2 Fili Dp (f )Qp (ζpr ) = Dp (f )Qp (ζpr ) , i ≤ 0 Fili Dp (f )Qp (ζpr ) = Qp (ζpr ) ⊗Qp L · (e1 + δxe2 ), 1 ≤ i ≤ k − 1 Fili Dp (f )Qp (ζpr ) = 0, i ≥ k déf où Dp (f )Qp (ζpr ) = Qp (ζpr ) ⊗Qp Dp (f ), x ∈ (Qp (ζpr ) ⊗Qp L)× ne dépend que des caractères χ1 z k−2 et χ2 et δ ∈ {0, 1} est le « paramètre » de la filtration de Hodge. Il y a aussi une action de Gal(Qp (ζpr )/Qp ) sur Dp (f ) préservant Filk−1 Dp (f )Qp (ζpr ) que l’on ne donne pas ici (voir [31]). On voit que σp (f ) est scindée si et seulement si δ = 0. Proposition 3.3.1. — On a un isomorphisme topologique GL2 (Qp )-équivariant : C 0 GL (Q ) π bp (f ) ' IndB(Q2p ) p η2 ⊗ η1 . En particulier π bp (f ) est topologiquement irréductible et s’identifie au complété de k−2 2 ∨ (Sym L ) ⊗ πp (f ) par rapport à un (quelconque) OL -réseau de type fini sur OL [GL2 (Qp )]. Démonstration. — La deuxième partie de l’énoncé, c’est-à-dire la description et les propriétés du complété de (Symk−2L2 )∨⊗L πp (f ) par rapport à un OL -réseau de type fini stable par GL2 (Qp ), est le contenu de la proposition 2.2.1. La première résulte du fait que tous les OL -réseaux stables par GL2 (Qp ) dans (Symk−2L2 )∨⊗L b c1 (K1p (M )), induisent πp (f ), et en particulier celui induit par l’intersection avec H des normes équivalentes, ce qui découle facilement de la deuxième partie (voir e.g. [4],Cor.5.4.4). 26 C. BREUIL & M. EMERTON Par ailleurs, on a associé au §2.3 à la représentation réductible σp (f ) un GL (Q ) GL2 (Qp )-Banach unitaire B(σp (f )) de longueur 2, extension de IndB(Q2p ) p η1 ε ⊗ C 0 η2 ε−1 par π bp (f ) et scindé (comme représentation topologique de GL2 (Qp )) si et seulement si σp (f ) l’est (comme représentation de Gal(Qp /Qp )). Conjecture 3.3.2. — L’immersion fermée π bp (f ) ,→ Πp (f ) se prolonge en un isomorphisme topologique GL2 (Qp )-équivariant : ∼ B(σp (f )) → Πp (f ). Cette conjecture, dont nous montrons une version faible dans la suite, doit être vue comme une compatibilité local-global dans le cadre d’une « correspondance de Langlands p-adique ». En effet, elle affirme que la représentation de GL2 (Qp ) induite par la théorie globale (la représentation Πp (f )) est une représentation locale « au sens de Fontaine » (la représentation B(σp (f )). Comme dans le cas b 1 (K1p (M ))L semi-stable ([8],[9],[18]), la composante σ(f )-isotypique du Banach H c devrait donc contenir une information exactement « équivalente » à la donnée de σp (f ), ou de son module filtré. Lorsque σp (f ) est scindée, nous verrons que le deuxième morceau qui apparaı̂t C 0 GL (Q ) dans Πp (f ), à savoir le GL2 (Qp )-Banach IndB(Q2p ) p η1 ε ⊗ η2 ε−1 , est une manifestation de l’existence dans ce cas d’une forme modulaire surconvergente compagnon de la forme classique f . Sa réduction modulo p est d’ailleurs exactement une forme compagnon de f au sens de Serre ([33], [37], [29]). 4. Formes compagnons surconvergentes On montre que, lorsque f est une forme ordinaire en p (et donc en particulier comme au §3.3), la représentation σp (f ) est scindée si et seulement si une certaine forme modulaire de pente k − 1 associée à f est de la forme θk−1 (g) où g est une forme surconvergente ordinaire de poids 2 − k (théorème 1.1.3 de l’introduction). 4.1. On rappelle brièvement l’interprétation en termes de théorie des représentations des notions classiques de « pente finie » et de « valeur propre de Up ». Supposons que f est une forme nouvelle comme au §3.3, et donc que πp (f ) est une série principale. Avec les notations du §3.3, rappelons que l’on a : lc GL (Q ) πp (f ) = IndB(Q2p ) p χ1 z k−2 ⊗ χ2 . La forme nouvelle f est de pente finie si et seulement si l’un au moins des caractères χ1 z k−2 ou χ2 est non-ramifié. Si les deux sont non-ramifiés, alors f est de conducteur premier à p et est vecteur propre de Tp de polynôme de Hecke en p −1 X 2 −(χ1 (p)pk−1 +χ2 (p))X +χ(p)pk−1 (utiliser χ1 χ2 = χ−1 = χ(p)). La p et χp (p) REPRÉSENTATIONS ORDINAIRES DE GL2 (Qp ) ET COMPATIBILITÉ 27 forme f donne alors lieu à deux formes « p-stabilisées » vieilles en p, de pente finie déf déf et vecteurs propres de Up pour les valeurs propres αp = χ2 (p) et βp = pk−1 χ1 (p). Par exemple, f (z) − βp f (pz) est la vieille forme de valeur propre αp (et de pente k − 1). Si un seul des deux caractères χ1 z k−2 ou χ2 est non-ramifié, quitte à appliquer un entrelacement comme au §3.3 si nécessaire, on peut supposer que χ1 z k−2 est non-ramifié. Dans ce cas, p divise le conducteur de f et f est vecteur propre de Up , de valeur propre pk−1 χ1 (p). Soit χ0 la p-partie de χ (un caractère de (Z/pr Z)× ) et notons fe la forme nouvelle attachée à la forme modulaire tordue f ⊗ χ−1 0 (qui n’est pas nouvelle, cf. ci-dessous). Alors, on a : GL (Q ) πp (fe) = IndB(Q2p ) p χ1 z k−2 χ0 ⊗χ2 χ0 lc GL (Q ) = IndB(Q2p ) p χ2 | | χ0 ⊗χ1 z k−2 | |−1 χ0 lc (où l’on a étendu χ0 en un caractère de Q× p en posant χ0 (p) = 1). Le caractère χ2 | | χ0 étant non-ramifié, la discussion précédente montre que fe est de pente finie (= k − 1) pour la valeur propre χ2 (p) de Up (il est alors clair que fe 6= f ⊗ χ−1 0 puisque cette dernière forme est annulée par Up ). Dans la suite, nous utiliserons la formule bien connue pour fe : déf fe(z) = (f |wpr )(z) = (N cz + pr d)k f pr az + b N cz + pr d r déf p a b où wpr = N c pr d avec a, b, c, d ∈ Z, b ≡ 1 mod pr , a ≡ 1 mod M et pr ab − M cd = 1 (on vérifie cette formule par un calcul adélique, on peut aussi utiliser les formules explicites de [30, §6] par exemple). 4.2. On donne quelques préliminaires sur la connexion de Gauss-Manin pour les courbes modulaires et l’opérateur θk−1 (voir [12] et le début de [15] par exemple). Dans tout ce qui suit, on utilise sans commentaire le fait que la cohomologie d’un faisceau cohérent sur un schéma propre X sur Qp est la même que celle du faisceau “image inverse” sur la variété rigide analytique déduite de X (GAGA rigide). On fixe d’abord un entier N > 4 et on note π : E → X1 (N ) la courbe elliptique généralisée universelle au-dessus de la courbe modulaire usuelle X1 (N ) (associée au groupe de congruence Γ1 (N )) propre sur le corps Qp , C ⊂ X1 (N ) le sousdéf déf schéma fermé des pointes, C̃ = π −1 (C), ω = π∗ Ω1E/X1 (N ) (log C̃) et : déf Hk−2 = Symk−2 R1 π∗ Ω·E/X1 (N ) (log C̃) 28 C. BREUIL & M. EMERTON (avec H0 = OX1 (N ) ). Rappelons que le faisceau ω est inversible sur X1 (N ), le faisceau R1 π∗ Ω·E/X1 (N ) (log C̃) localement libre de rang 2 et le faisceau Hk−2 localement libre de rang k − 1. On a de plus une filtration canonique décroissante (Fili Hk−2 )i∈Z sur Hk−2 par des sous-OX1 (N ) -modules Fili Hk−2 localement facteurs directs (la filtration de Hodge) tels que : Fili Hk−2 = Hk−2 , i ≤ 0 Fili Hk−2 localement libre de rang k − 1 − i, 1 ≤ i ≤ k − 2 Fili Hk−2 = 0, i ≥ k − 1. Cette filtration se détermine à partir de Fil1 H1 = ω et Fili Hr ·Filj Hs = Fili+j Hr+s pour 0 ≤ i ≤ r et 0 ≤ j ≤ s. On a donc Filk−2 Hk−2 = ω k−2 et, plus généralement, on montre que, pour 0 ≤ i ≤ k − 2, gri Hk−2 ' ω 2i−k+2 . La connexion de GaussManin s’étend en un complexe de de Rham logarithmique : ∇ Hk−2 ⊗ Ω· (log) : Hk−2 −→ Hk−2 ⊗OX1 (N ) Ω1X1 (N )/Qp (log C) et vérifie la transversalité de Griffiths, i.e. définit des sous-complexes pour i ∈ Z : ∇ Fili Hk−2 → Fili−1 Hk−2 ⊗OX1 (N ) Ω1X1 (N )/Qp (log C). De plus, elle induit des isomorphismes sur les gradués pour 0 ≤ i ≤ k − 2 : ∇ (17) ∼ ω 2i−k+2 → ω 2i−k ⊗OX1 (N ) Ω1X1 (N )/Qp (log C) (si k = 2i, il s’agit simplement de l’isomorphisme de Kodaira-Spencer ω2 ' i 1 · 1 ΩX1 (N )/Qp (log C)). Si l’on note Fil H X1 (N ), Hk−2 ⊗ Ω (log) le groupe de cohomologie : ∇ H1 X1 (N ), Fili Hk−2 → Fili−1 Hk−2 ⊗OX1 (N ) Ω1X1 (N )/Qp (log C) , on vérifie par un calcul cohomologique évident à partir de (17) que l’on a une injection Fil1 H1 X1 (N ), Hk−2⊗ Ω· (log) ,→ H1 X1 (N ), Hk−2 ⊗ Ω· (log) , que Fili H1 X1 (N ), Hk−2 ⊗ Ω· (log) est constant si 1 ≤ i ≤ k − 1 et que : Filk−1 H1 X1 (N ), Hk−2 ⊗ Ω· (log) ' H 0 X1 (N ), ω k−2 ⊗OX1(N ) Ω1X1 (N )/Qp (log C) ' H 0 (X1 (N ), ω k ) (via Kodaira-Spencer). Rappelons enfin que l’application composée : ∇ ψ : Fil1 Hk−2 ,→ Hk−2 −→ Hk−2 ⊗ Ω1 (log C) (Hk−2 /Filk−2 Hk−2 ) ⊗ Ω1 (log C) est un isomorphisme (utiliser (17)) qui induit un morphisme Qp -linéaire canonique de faisceaux sur X1 (N ) : ω −k+2 ' gr0 Hk−2 −→ Filk−2 Hk−2 ⊗ Ω1X1 (N )/Qp (log C) ' ω k s 7−→ ∇ s − ψ −1 (∇(s)) où s est un relevé quelconque de s dans Hk−2 et ∇(s) l’image de ∇(s) dans (Hk−2 /Filk−2 Hk−2 ) ⊗ Ω1X1 (N )/Qp (log C). Si U ⊂ X1 (N ) est un ouvert connexe REPRÉSENTATIONS ORDINAIRES DE GL2 (Qp ) ET COMPATIBILITÉ 29 quelconque de la variété rigide associée à X1 (N ) et contenant la pointe à l’infini, k l’application induite H 0 (U, ω 2−k ) → H 0 (U, ω k ) s’identifie à (−1) θk−1 sur les qk! développements où θ est l’opérateur q(d/dq) sur Qp [[q]] (voir [15, §9] pour plus de détails). Par abus de notation, pour tout ouvert rigide U ⊂ X1 (N ) (pas forcément connexe) on note encore θk−1 : H 0 (U, ω 2−k ) → H 0 (U, ω k ) l’application précédente multipliée par k!(−1)k . Lemme 4.2.1. — Soit U un ouvert quasi-Stein de X1 (N ) vue comme variété rigide sur Qp . L’injection : H 0 (U, ω k ) ' H 0 (U, ω k−2 ⊗ Ω1 (log C)) ,→ H 0 (U, Hk−2 ⊗ Ω1 (log C)) induit un isomorphisme : H 0 U, Hk−2 ⊗ Ω1 (log C) H 0 (U, ω k ) ∼ −→ θk−1 H 0 (U, ω 2−k ) ∇ H 0 (U, Hk−2 ) ' H1 U, Hk−2 ⊗ Ω· (log) . Démonstration. — Le deuxième isomorphisme résulte du fait que H q (U, F) = 0 pour tout q > 0 et tout faisceau cohérent F sur U . On a une suite exacte de faisceaux sur X1 (N ) (avec les notations ci-dessus) : 0 −→ gr0 Hk−2 −→ Hk−2 −→ Fil1 Hk−2 −→ 0 s 7→ s − ψ −1 (∇(s)) t 7→ ψ −1 (∇(t)) qui s’inscrit dans une suite exacte de complexes de faisceaux : 0 −→ gr0 Hk−2 −→ (−1)k k−1 θ k! k−2 Fil Hk−2 ⊗Ω1 (log C) −→ Hk−2 ↓ 0 −→ Fil1 Hk−2 −→ Hk−2 ⊗Ω1 (log C) Filk−2 Hk−2 ↓∇ −→ Hk−2 ⊗Ω1 (log C) −→ 0 −→ 0. ↓ψ 0 k ) Le H1 du complexe de gauche s’identifie à θk−1H(H (U,ω 0 (U,ω 2−k )) car U est quasi-Stein. La suite exacte longue de cohomologie associée donne alors le résultat puisque la cohomologie du complexe de droite est nulle. Soit maintenant un entier N tel que 1 ≤ N ≤ 4. La discussion précédente ne s’applique pas telle quel car la courbe X1 (N ) n’est plus un espace de modules fin. Nous suivons dans ce cas la méthode décrite dans l’appendice de [10]. On choisit un nombre premier q > 2, q - N p et on considère la courbe modulaire X1 (N ; q) associée au sous-groupe de congruence Γ1 (N ) ∩ Γ(q). Le choix de q est tel que cette courbe est maintenant un espace de modules fin pour le problème de modules paramétrant les courbes elliptiques E munies d’un point d’ordre exact N et d’un ∼ isomorphisme ı : E[q] −→ (Z/qZ)2 . L’action de GL2 (Z/qZ) sur l’ensemble des isomorphismes ı induit une action de GL2 (Z/qZ) sur X1 (N ; q) dont le quotient est X1 (N ). Comme X1 (N ; q) est un espace de modules fin, la discussion précédente s’applique mutatis mutandis à X1 (N ; q). De plus, tous les faisceaux et connexions 30 C. BREUIL & M. EMERTON en considération sont naturellement GL2 (Z/qZ)-équivariants. En particulier, si on suppose dans l’analogue du lemme 4.2.1 pour X1 (N ; q) que l’ouvert quasi-Stein U est GL2 (Z/qZ)-invariant, alors l’isomorphisme de ce lemme est aussi GL2 (Z/qZ)équivariant. 4.3. On montre le théorème 1.1.3 lorsque (N, p) = 1. On conserve les notations du §4.2 et on suppose ici de plus (N, p) = 1. On fixe f une forme modulaire comme au §3.3, de sorte que σp (f ) est en particulier cristalline. Dans ce cas, χp est le caractère non-ramifié de Q× p envoyant p sur déf déf χ(p)−1 , χ2 est non-ramifié et on pose αp = χ2 (p), βp = pk−1 χ1 (p). On a val(βp ) = 0, αp βp = χ(p)pk−1 et, d’après le §3.3 : Dp (f ) = Le1 ⊕ Le2 ϕ(e1 ) = αp e1 ϕ(e2 ) = βp e2 Fili Dp (f ) = Dp (f ), i ≤ 0 Fili Dp (f ) = L(e1 + δe2 ), 1 ≤ i ≤ k − 1 Fili Dp (f ) = 0, i ≥ k avec δ = 0 si et seulement si σp (f ) est scindée. Supposons d’abord N > 4. Le ϕ-module filtré Dp (f ) admet alors la description géométrique suivante (voir e.g. [29, §1]) : f Dp (f ) ' H1 (X1 (N ), Hk−2 ⊗ Ω· (log)) ⊗Qp L f Fili Dp (f ) ' H 0 (X1 (N ), ω k ) ⊗Qp L , 1 ≤ i ≤ k − 1 = L·f (en se rappellant que f est nouvelle) où le Frobenius ϕ sur Dp (f ) provient du 1 · Frobenius cristallin ϕ sur H X1 (N ), Hk−2 ⊗ Ω (log) . Soit X le modèle propre et lisse de X1 (N ) sur Zp et soit A ∈ H 0 X ×Zp Fp , ω p−1 l’invariant de Hasse. Rappelons que A s’annule à l’ordre 1 en chaque point supersingulier de X ×Zp Fp (et ne s’annule pas aux autres points). Si x ∈ X1 (N )(Qp ), notons x la spécialisation de x dans (X ×Zp Fp )(Fp ). Comme il est expliqué dans l’appendice de [10], pour chaque η ∈ pQ avec p−1 ≤ η < 1, on peut définir un ouvert rigide analytique quasi-Stein W (η) de X1 (N ) via : x ∈ W (η) ⇔|A(x)| > η. Si p > 3, alors W (η) ⊂ X1 (N ) est l’ouvert rigide analytique des points fermés x de X1 (N ) vérifiant : x ∈ W (η) ⇔|Ep−1 (x)| > η REPRÉSENTATIONS ORDINAIRES DE GL2 (Qp ) ET COMPATIBILITÉ 31 où Ep−1 ∈ H 0 (X1 (N ), ω p−1 ) est la série d’Eisenstein de poids p − 1 ≥ 4 et niveau 1 (voir [12, §1 et §2]). déf Soit W1 = W (p−p/(p+1) ). Comme W1 est quasi-Stein, on a : H 0 W1 , Hk−2 ⊗ Ω1 (log C) H W1 , Hk−2 ⊗ Ω (log) = ∇ H 0 (W1 , Hk−2 ) · 1 et on a un diagramme commutatif : (18) H 0 (W1 , ω k ) → H1 W1 , Hk−2 ⊗ Ω· (log) ↑ ↑ 0 k 1 H (X1 (N ), ω ) ,→ H X1 (N ), Hk−2 ⊗ Ω· (log) où les deux flèches verticales sont injectives (pour la deuxième, cela se déduit déf facilement de [2, Th.2.1 et Th.2.4]). Soit W2 = W (p−1/(p+1) ) ⊂ W1 . Notons E2 et E1 les courbes elliptiques généralisées universelles au-dessus de W2 et W1 , alors on dispose d’un diagramme commutatif (cf. [12, §2]) : Φ E2 −→ E1 ↓ ↓ (19) φ W2 −→ W1 qui induit par fonctorialité des applications « Frobenius » : φ : H 0 (W1 , ω k−2 ⊗ Ω1 (log C)) −→ H 0 (W2 , ω k−2 ⊗ Ω1 (log C)) Φ : H1 (W1 , Hk−2 ⊗ Ω· (log)) −→ H1 (W2 , Hk−2 ⊗ Ω· (log)). D’un point de vue « espaces de modules », l’application φ : W2 → W1 envoie (E, P ) (où E est une courbe elliptique généralisée au-dessus d’un point de W2 et P un point rationnel sur E d’ordre « exact » N ) sur (E/can, P ) où can ⊂ E est le sous-groupe canonique de E ([35, §3]) et P l’image de P dans le quotient E/can. Lemme 4.3.1. — Le diagramme : H1 (X1 (N ),Hk−2 ⊗Ω· (log)) ,→ H1 (W1 ,Hk−2 ⊗Ω· (log)) ,→ H1 (W ϕ↓ H1 (X1 (N ),Hk−2 ⊗Ω· (log)) ← H 0 (W1 ,ω k−2 ⊗Ω1 (log C)) ← H 0 (W ↓φ Φ↓ 2 ,Hk−2 ⊗Ω· (log)) 2 ,ω k−2 ⊗Ω1 (log C)) est commutatif. Démonstration. — La commutation du carré de droite est évidente. Donnons l’essentiel des arguments pour montrer celle du carré de gauche. Pour alléger les déf notations, on note X = X1 (N ), X le modèle propre et lisse de X sur Zp , Xb son complété p-adique formel, X leur fibre spéciale sur Fp , Z ⊂ X l’ouvert des points ordinaires et Z ⊂ X le tube ]Z[Xb de Z dans X au sens de [5, §1]. C’est un affinoı̈de de X. En considérant la courbe elliptique (généralisée) universelle au-dessus de Xb, on voit que le faisceau cohérent Hk−2 sur la variété propre X 32 C. BREUIL & M. EMERTON provient d’un faisceau cohérent sur Xb, évaluation sur l’épaississement X ,→ Xb d’un cristal Ek−2 sur le site cristallin (X/Fp )cris (plus précisément, il faut tenir compte de log-structures aux pointes et définir plutôt Ek−2 comme un log-cristal sur le site log-cristallin de X/Fp avec log-structure triviale sur Fp , mais pour alléger la rédaction, nous ignorons partout dans cette preuve ce point qui ne pose pas de problèmes). Le groupe H1 (X1 (N ), Hk−2 ⊗ Ω· (log)) n’est autre que 1 (X, Ek−2 ) ⊗ Qp . En fait, Ek−2 est un F-cristal non dégénéré au sens de [5, Hcris §2.4.1] (utiliser le Frobenius sur la courbe elliptique universelle au-dessus de X) et induit, par restriction, un F-isocristal surconvergent le long de X − Z que l’on † note Ek−2 (voir [5, §2.3]). Pour η ∈ pQ tel que p−1/(p+1) < η ≤ 1, soit Z(η) ⊂ W2 l’affinoı̈de de X dont les points fermés x sont tels que | A(x)| ≥ η. On a Z(1) = Z et les (Z(η))η<1 forment un système fondamental de voisinages stricts de Z dans X au sens de [5, §1.2]. De plus, on a φ(Z(η)) ⊂ Z(η p ) ⊂ W2 pour η > p−1/p(p+1) . Par [2, Th.2.4], les restrictions H1 (Z(η), Hk−2 ⊗ Ω· (log)) → H1 (Z(η 0 ), Hk−2 ⊗ Ω· (log)) sont des isomorphismes pour η ≤ η 0 . Posons : déf † 1 Hrig H1 (Z(η), Hk−2 ⊗ Ω· (log)) (Z, Ek−2 ) = lim −→ η<1 muni de son endomorphisme de Frobenius Φ induit par les Frobenius φ : Z(η) → Z(η p ) (et les Frobenius sur les courbes elliptiques universelles). La commutation du carré de gauche revient donc à montrer que la restriction : † 1 1 Hcris (X, Ek−2 ) ⊗ Qp → Hrig (Z, Ek−2 ) commute aux Frobenius, mais ceci est évident car du côté cristallin comme du côté rigide, l’endomorphisme de Frobenius s’obtient par fonctorialité en calculant les deux cohomologies grâce à un complexe de de Rham double sur un recouvrement ouvert de Xb muni de relevés locaux du Frobenius. que toute section g ∈ H 0 (W1 , ω k ) admet un q-développement PRappelons ∞ n n=0 an (g)(c)q ∈ Qp ⊗ Zp [[q]] en chaque pointe c de W1 donné par l’évaluation de g en la courbe elliptique généralisée universelle au-dessus du complété formel de W1 en la pointe c. Lemme 4.3.2. — Soit g ∈ H 0 (X1 (N ), ω k−2 ⊗ Ω1 (log C)) ' H 0 (X1 (N ), ω k ) et notons ϕ(g) ∈ H1 X1 (N ), Hk−2 ⊗Ω· (log) l’image de g par le Frobenius cristallin. Alors, ϕ(g) provient, via le diagramme (18), d’une section dans H 0 (W1 , ω k ) dont le q-développement à l’infini est donné par : +∞ X n=0 n an (ϕ(g))(∞)q = p k−1 +∞ X an (hpig)(∞)q pn . n=0 En particulier, si hpig = χ(p)g, alors ϕ(g) est l’image de pk−1 χ(p)g(pz) |W1 . Démonstration. — Par le lemme 4.3.1, il suffit de vérifier que, si g est une forme dans H 0 (W1 , ω k−2 ⊗ Ω1 (log C)) et si l’on note g(∞)(q) le q-développement de g REPRÉSENTATIONS ORDINAIRES DE GL2 (Qp ) ET COMPATIBILITÉ 33 à l’infini, alors φ(g) ∈ H 0 (W2 , ω k−2 ⊗ Ω1 (log C)) est tel que : φ(g)(∞)(q) = pk−1 g(hpi∞)(q p ) P P+∞ pn pn (car +∞ a (hpig)(∞)q = n n=0 n=0 an (g)(hpi∞)q ). Pour cela, on évalue la secZ tion φ(g) sur la courbe de Tate (Gm /q , ζN ) (avec son point d’ordre N ) au-dessus du complété en la pointe à l’infini, ce qui donne, avec les notations (standard) de [29, Prop.3.1.3(1)] et sachant que can(Gm /q Z ) = hζp i : dq dt k−2 dq dt k−2 φ(g)(∞)(q) ⊗ = φ(g) Gm /q Z , ζN (q) ⊗ q t q t dt k−2 dq Z = g Gm /hζp , q i, ζN (q) ⊗ q t p k−2 p dt dq = g Gm /q pZ , ζNp (q) p ⊗ q tp dq dt k−2 = pk−1 g(hpi∞)(q p ) ⊗ q t d’où le résultat. Rappelons que l’on a θk−1 : H 0 (W1 , ω 2−k ) → H 0 (W1 , ω k ) (cf. §4.2) et que f (z) − βp f (pz) est de niveau Γ1 (N p) et vecteur propre de Up de valeur propre αp (cf. §4.1). Théorème 4.3.3. — Soit f une forme parabolique propre de poids k ≥ 2 nouvelle pour le groupe Γ1 (N ) avec (N, p) = 1 et telle que la représentation locale σp (f ) est réductible. Si N > 4, alors σp (f ) est scindée si et seulement s’il existe g ∈ H 0 (W1 , ω 2−k ) ⊗ L tel que f (z) − βp f (pz) = θk−1 (g) dans H 0 (W1 , ω k ) ⊗ L. Si N ≤ 4, soit q - M p un nombre premier suffisamment grand, alors (en travaillant avec X1 (N ; q) au lieu de X1 (N ), cf. §4.2) σp (f ) est scindée si et seulement s’il existe g ∈ H 0 (W1 , ω 2−k )GL2 (Z/qZ) ⊗Qp L tel que f (z) − βp f (pz) = θk−1 (g) dans H 0 (W1 , ω k )GL2 (Z/qZ) ⊗Qp L. Démonstration. — La représentation σp (f ) est scindée si et seulement si, dans la description précédente de Dp (f ), on a Filk−1 Dp (f ) = Le1 et ϕ(e1 ) = αp e1 . Supposons d’abord N > 4. Dans la réalisation géométrique de Dp (f ), cela est équivalent à : ϕ(f ) − αp f = 0 1 · dans H X1 (N ), Hk−2 ⊗ Ω (log) ⊗ L, donc dans H1 W1 , Hk−2 ⊗ Ω· (log) ⊗ L (car la restriction est injective). Par le Lemme 4.3.2 et le lemme 4.2.1 appliqué à l’ouvert quasi-Stein W1 , c’est aussi équivalent à : pk−1 χ(p)f (pz) − αp f (z) = 0 dans H 0 (W1 , ω k )/θk−1 H 0 (W1 , ω 2−k ) ⊗ L soit finalement : f (z) − βp f (pz) ∈ θk−1 H 0 (W1 , ω 2−k ) ⊗ L . 34 C. BREUIL & M. EMERTON Supposons maintenant 1 ≤ N ≤ 4. Comme au §4.2, on fixe un nombre premier auxiliaire q > 2, q - N p et on travaille avec la courbe X1 (N ; q). Le ϕ-module filtré Dp (f ) admet alors la description géométrique suivante : f,GL2 (Z/qZ) H1 (X1 (N ; q), Hk−2 ⊗ Ω· (log)) ⊗Qp L f,GL2 (Z/qZ) Fili Dp (f ) ' H 0 (X1 (N ; q), ω k ) ⊗Qp L , 1≤i≤k−1 = L·f Dp (f ) ' (car le théorème de comparaison de [29] est fonctoriel pour l’action des automorphismes GL2 (Z/qZ)). En travaillant avec X1 (N ; q) au lieu de X1 (N ), on montre alors comme précédemment que σp (f ) est scindée si et seulement s’il GL (Z/qZ) existe g ∈ H 0 (W1 , ω 2−k ) ⊗ L 2 tel que f (z) − βp f (pz) = θk−1 (g) dans GL (Z/qZ) H 0 (W1 , ω k ) ⊗ L 2 . 4.4. On montre le théorème 1.1.3 lorsque (N, p) > 1. On conserve les notations et hypothèses du §4.3, à ceci près que l’on suppose maintenant N = M pr avec (M, p) = 1 et r ≥ 1. On fixe f une forme modulaire nouvelle comme au §3.3, de sorte que σp (f ) devient cristalline sur Qp (ζpr ). Comme r > 0, f est vecteur propre de Up et on suppose de plus que f est de pente nulle, i.e. que la valuation p-adique de la valeur propre associée est 0. Rappelons que, dans ce cas, χ1 z k−2 est non-ramifié et Up f = pk−1 χ1 (p)f (cf. §4.1). Si U est une variété (algébrique ou rigide) définie sur un corps et K une extension finie de ce corps, on note UK le changement de base à K. On note encore Hk−2 ⊗ Ω· (log) le changement de base à X1 (N )K du complexe défini au §4.2. Soit Wr ⊂ X1 (M ) l’ouvert rigide analytique des points fermés x de X1 (M ) r−2 vérifiant |A(x)| > p−1/p (p+1) (si r = 1 ou r = 2, on retrouve bien W1 et W2 , cf. §4.3). Si E correspond à un point de Wr (en oubliant la structure de niveau déf déf en M ), on peut définir par récurrence E (0) = E et E (i+1) = E (i) /can pour 0 ≤ i ≤ r − 1. On définit W1 (pr ) ⊂ X1 (M pr ) comme l’ouvert rigide de X1 (M pr ) des points fermés correspondants aux couples (E, QM , P ) (où QM (resp. P ) est un point rationnel sur E d’ordre exact M (resp. pr )) tels que (E, QM ) correspond à un point fermé de X1 (M ) qui est dans Wr et tels que l’image de pr−1−i P dans E (i) engendre le sous-groupe canonique de E (i) pour 0 ≤ i ≤ r − 1. Supposons d’abord M > 4 et notons X1 (M pr ) le modèle propre, plat et régulier de X1 (M pr )Qp (ζpr ) sur Zp [ζpr ] construit dans [36] représentant le problème de modules ([Γ1 (M )], [bal.Γ1 (pr )can ]). Par [36, §13.12], la fibre spéciale de X1 (M pr ) est réduite, union disjointe se coupant aux points supersinguliers de courbes d’Igusa sur Fp . Il y a exactement deux composantes irréductibles isomorphes à Ig(M pr ) (courbes d’Igusa représentant le problème de modules ([Γ1 (M )], [Ig(pr )]) sur Fp au sens de [36, §12]). On vérifie facilement que l’une d’entre elles, que l’on note REPRÉSENTATIONS ORDINAIRES DE GL2 (Qp ) ET COMPATIBILITÉ 35 Ig∞ , contient l’image de W1 (pr )Qp (ζpr ) par la flèche de spécialisation. On note Ig0 l’autre composante. Supposons de plus M suffisamment grand pour que X1 (M pr ) et les composantes irréductibles de la fibre spéciale de X1 (M pr ) soient de genre ≥ 2. Soit K une extension finie de Qp (ζpr ) sur laquelle X1 (M pr )K admet un modèle stable et FK déf son corps résiduel. On note X = X1 (M pr )K , X le changement de base de Zp [ζpr ] à OK de X1 (M pr ) et Xe le modèle régulier minimal (donc stable) de XK sur OK . Puisqu’il n’y a pas de contraction possible dans la fibre spéciale de X , on a un morphisme Xe → X qui est une succession d’éclatements sur la fibre spéciale. On note encore Ig∞ (resp. Ig0 ) l’unique composante irréductible de Xe ×OK FK qui s’envoie bijectivement sur Ig∞ ×FK (resp. Ig0 ×FK ) et W∞ ⊂ X (resp. W0 ⊂ X) l’image inverse (i.e. le tube) de Ig∞ (resp. Ig0 ) par la flèche de spécialisation via Xe. On note res∞ (resp. res0 ) la restriction H1 X, Hk−2 ⊗ Ω· (log) → H1 (W∞ , Hk−2 ⊗ Ω· (log)) (resp. avec W0 ). Lemme 4.4.1. — Les groupes H1 (W∞ , Hk−2 ⊗ Ω· (log)) et H1 (W0 , Hk−2 ⊗ Ω· (log)) sont naturellement munis d’une action des opérateurs de Hecke T` et S` pour ` - M p qui commute avec celle sur H1 (X, Hk−2 ⊗ Ω· (log)) via res∞ et res0 . Démonstration. — Par unicité du modèle régulier minimal, les automorphismes h`i (` - M p) de X s’étendent canoniquement en des automorphismes de Xe et de sa fibre spéciale qui préservent Ig∞ et Ig0 (car tel est le cas sur la fibre spéciale de X ). Ainsi, l’automorphisme h`i de X préserve W∞ et W0 d’où l’énoncé pour S` puisque S` = `k−2 h`i. Notons X (`) le schéma régulier propre et plat sur Zp [ζpr ] construit dans [36] représentant le problème de module ([Γ1 (M )], [bal.Γ1 (pr )can ], [Γ0 (`)]) des isogénies E E 0 de degré ` entre courbes elliptiques (généralisées) avec structures de niveau de type ([Γ1 (M )], [bal.Γ1 (pr )can ]) sur E. Soit pr1 (resp. pr2 ) la projection X (`) → X envoyant (E E 0 ) sur E (resp. sur E 0 avec structures de niveau ([Γ1 (M )], [bal.Γ1 (pr )can ]) induites). On montre comme dans [40] que les deux produits fibrés X (`)×X Xe (pour pr1 et pr2 ) sont isomorphes, car isomorphes au modèle régulier minimal (et stable) de X (`) sur OK . Notons pr e 1 et pr e 2 les −1 −1 e e deux projections X (`) ×X X → X , alors pr e 1 (Ig∞ ) (resp. pr e 1 (Ig0 )) est l’unique composante irréductible de la fibre spéciale du modèle stable de X (`) dont l’image dans X (`) est la courbe d’Igusa se projetant sur Ig∞ × FK (resp. Ig0 × FK ) dans e X ×OK FK (par pr1 ou pr2 ). On a donc pr e 2 (pr e −1 1 (Ig∞ )) = Ig∞ dans X ×OK FK , d’où −1 pr2 (pr1 (W∞ )) = W∞ dans X (resp. avec Ig0 et W0 ). C’est la condition qu’il faut pour définir par restriction un endomorphisme T` sur H1 (W∞ , Hk−2 ⊗ Ω· (log)) (resp. avec W0 ) de la même manière qu’est défini T` sur H1 (X, Hk−2 ⊗ Ω· (log)) (voir [15, §8]). Comme X a réduction semi-stable sur OK , le K-espace vectoriel H1 X, Hk−2 ⊗ Ω· (log) possède une K0 -structure canonique H1log−cris (où K0 ⊆ K est le plus 36 C. BREUIL & M. EMERTON grand sous-corps absolument non-ramifié) munie d’un Frobenius semi-linéaire encore noté ϕ et d’un opérateur de monodromie N satisfaisant N ϕ = pϕN . Par [27] et [28] (voir aussi [16]), on a un isomorphisme de ϕ-modules filtrés à coefficients dans L : (20) Dp (f )K0 , ϕ, Filk−1Dp (f )K ' (H1log−cris ⊗Qp L)f, ϕ⊗1, (H 0 (X, ω k )⊗Qp L)f . déf Soit d = [K0 : Qp ] et ϕd l’automorphisme K-linéaire de H1 X, Hk−2 ⊗ Ω· (log) défini par extension des scalaires de K0 à K de l’automorphisme ϕd sur H1log−cris . Les K-espaces vectoriels H1 W∞ , Hk−2 ⊗ Ω· (log) et H1 W0 , Hk−2 ⊗ Ω· (log) sont canoniquement munis d’un Frobenius K-linéaire Φ commutant aux opérateurs T` et S` (` - M p) et tel que les restrictions res∞ et res0 commutent à Φ et ϕd (voir [16]). Lemme 4.4.2. — Les restrictions res∞ et res0 induisent un isomorphisme : f ∼ f H1 X, Hk−2 ⊗ Ω· (log) ⊗ L → H1 (W∞ , Hk−2 ⊗ Ω· (log)) ⊗ L f ⊕ H1 (W0 , Hk−2 ⊗ Ω· (log)) ⊗ L . Démonstration. — Sachant que le caractère de f en p est de conducteur exactement pr , on a une inclusion : f H1 X, Hk−2 ⊗ Ω· (log) ⊗L ⊂ H 1 (X, Symk−2 )prim ⊗ L où H 1 (X, Symk−2 )prim est le groupe introduit dans [13, §2]. L’isomorphisme se déduit alors facilement de l’isomorphisme : H 1 (X, Symk−2 )prim ⊗ L ' H 1 (W∞ , Symk−2 )∗ ⊗ L ⊕ H 1 (W0 , Symk−2 )∗ ⊗ L de [13, Th.2.1] (déduit lui-même d’une suite exacte de Mayer-Vietoris). Soit ζ une racine primitive pr -ième de 1. Rappelons que X classifie les données (E, QM , π, (P, Q)) où E est une courbe elliptique généralisée sur un OK -schéma S, QM un point de E(S) d’ordre exact M (au sens de [36, §1.4]), π : E E 0 une S-isogénie de degré pr , P ∈ Ker(π)(S) un générateur (au sens « Drinfel’d ») de Ker(π) et Q ∈ Ker(π ∗ )(S) un générateur de Ker(π ∗ ) (π ∗ est l’isogénie duale de π) tel que hP, Qiπ = ζ où h·iπ est l’accouplement alterné canonique entre Ker(π) et Ker(π ∗ ) (cf. [36, §2.8]). On définit un automorphisme wζ de X (qui préserve X) en envoyant (E, QM , π, (P, Q)) sur (E 0 , π(QM ), π ∗ , (Q, −P )). Lemme 4.4.3. — L’automorphisme wζ de X induit des isomorphismes wζ : ∼ ∼ W∞ → W0 et wζ : W0 → W∞ . Démonstration. — Par unicité du modèle régulier minimal, wζ s’étend canoniquement de X à Xe et on vérifie facilement qu’il échange Ig∞ et Ig0 dans X ×OK FK , d’où le résultat. REPRÉSENTATIONS ORDINAIRES DE GL2 (Qp ) ET COMPATIBILITÉ 37 On dispose d’un diagramme commutatif : E −→ E ↓ ↓ wζ X −→ X où la flèche horizontale supérieure est la composée : E E/Ker(π) ' X ×wζ ,X E → E qui induit un automorphisme encore noté wζ sur H1 X, Hk−2 ⊗ Ω· (log) . Par le lemme 4.4.3, on en déduit un diagramme commutatif : res0 H1 (W0 , Hk−2 ⊗ Ω· (log)) H1 X, Hk−2 ⊗ Ω· (log) −→ wζ ↓ o o ↓ wζ (21) res∞ 1 1 · H X, Hk−2 ⊗ Ω (log) −→ H (W∞ , Hk−2 ⊗ Ω· (log)). Lemme 4.4.4. — Soit s ∈ H1 X, Hk−2 ⊗ Ω· (log) tel que res0 (s) = 0, alors res∞ (wζ (s)) = 0. Démonstration. — Découle immédiatement de (21). déf f = W1 (pr )K ∩ W∞ ⊂ X, c’est encore un voisinage strict dans X du lieu Soit W de spécialisation ordinaire car intersection de deux voisinages stricts. Il existe f qui est encore voisinage strict de ce lieu ([5, §1.2]) et donc un affinoı̈de W ⊂ W on a un morphisme de restriction : H1 W∞ , Hk−2 ⊗ Ω· (log) −→ H1 W, Hk−2 ⊗ Ω· (log) . (22) Remarque 4.4.5. — Par le même argument que dans [12, §8] utilisant [2], on peut montrer que la restriction (22) est en fait un isomorphisme. Nous n’aurons pas besoin de ce fait. Notons res∞ (f ) (resp. res0 (f )) l’image de la droite : f K ⊗Qp L · f ⊂ H1 X, Hk−2 ⊗ Ω· (log) ⊗L f f dans H1 (W∞ , Hk−2 ⊗ Ω· (log))⊗L (resp. H1 (W0 , Hk−2 ⊗ Ω· (log))⊗L ) par l’application res∞ (resp. res0 ). Proposition 4.4.6. — Supposons que la représentation σp (f ) est scindée, alors res0 (f ) = 0. Démonstration. — On a toujours res∞ (f ) 6= 0 car sinon, via la restriction (22) et le lemme 4.2.1 appliqué à l’affinoı̈de W , f serait dans l’image de θk−1 (agissant sur l’espace des formes surconvergentes de poids 2 − k) ce qui est impossible car f est de pente nulle en p (procéder comme dans [12, Lem.6.3]). Supposons res0 (f ) f non-nul. Alors les deux K ⊗Qp L-modules libres H1 (W∞ , Hk−2 ⊗ Ω· (log))⊗L et f f H1 (W0 , Hk−2 ⊗Ω· (log))⊗L sont non-nuls. Comme H1 X, Hk−2 ⊗Ω· (log) ⊗L 38 C. BREUIL & M. EMERTON est libre de rang 2 sur K ⊗Qp L (Eichler-Shimura), ils sont forcément de rang 1 par la proposition 4.4.2. Comme ils sont stables par ϕd , on a forcément par (20) et la description de Dp (f ) donnée au §3.3, quitte à inverser peut-être e1 et e2 : f H1 (W∞ , Hk−2 ⊗ Ω· (log))⊗L ' K ⊗Qp L · e1 f H1 (W0 , Hk−2 ⊗ Ω· (log))⊗L ' K ⊗Qp L · e2 . Puisque res0 (f ) 6= 0 et res∞ (f ) 6= 0, on voit bien que δ 6= 0 dans la description de Filk−1 Dp (f )K ' K ⊗Qp L · f (cf. §3.3) ce qui entraı̂ne que σp (f ) est non scindée. Rappelons que f |wpr a été défini au §4.1. Proposition 4.4.7. — Si σp (f ) est scindée, il existe g ∈ H 0 (W, ω 2−k ) ⊗Qp L telle que f |wpr = θk−1 (g) dans H 0 (W, ω k ) ⊗Qp L. Démonstration. — Par la proposition 4.4.6, on a res0 (f ) = 0. Or, on sait que wpr est induit (à multiplication près par une constante non-nulle) par l’automorphisme wζ sur H1 (X, Hk−2 ⊗ Ω· (log)) (voir e.g. [33, §6] pour le cas r = 1, k = 2). Par le lemme 4.4.4, on a donc res∞ (f |wpr ) = 0, ce qui entraı̂ne f |wpr = θk−1 (g) par (22) et le lemme 4.2.1 appliqué à W . Supposons maintenant M quelconque et fixons comme au §4.2 un nombre premier auxiliaire q > 2, q - M p suffisamment grand pour que le genre de X1 (M ; q) et des composantes irréductibles de sa fibre spéciale soit au moins 2. On a un isomorphisme de ϕ-modules filtrés : Dp (f )K0 , ϕ, Filk−1Dp (f )K ' (H1log−cris ⊗Qp L)f,GL2 (Z/qZ), ϕ ⊗ 1, (H 0 (X, ω k ) ⊗Qp L)f,GL2 (Z/qZ) . Les propositions 4.4.2 et 4.4.6 s’étendent alors facilement en remplaçant partout (·)f par (·)f,GL2 (Z/qZ) . On en déduit alors l’analogue de la proposition 4.4.7 : f |wpr = θk−1 (g) dans H 0 (W, ω 2−k )GL2 (Z/qZ) ⊗ L lorsque σp (f ) est scindée. Théorème 4.4.8. — Soit f une forme parabolique propre de poids k ≥ 2 nouvelle pour le groupe Γ1 (M pr ) avec (M, p) = 1 et r > 0. Supposons que f est de pente nulle en p. Si M pr > 4, alors la représentation σp (f ) est scindée si et seulement s’il existe g ∈ H 0 (W1 (pr ), ω 2−k ) ⊗Qp L tel que f |wpr = θk−1 (g) dans H 0 (W1 (pr ), ω k ) ⊗Qp L. Si M pr ≤ 4, soit q - M p un nombre premier suffisamment grand, alors (en travaillant avec X1 (N ; q) au lieu de X1 (N )) σp (f ) est scindée si et seulement s’il existe g ∈ H 0 (W1 (pr ), ω 2−k )GL2 (Z/qZ) ⊗Qp L tel que f |wpr = θk−1 (g) dans H 0 (W1 (pr ), ω k )GL2 (Z/qZ) ⊗Qp L. Démonstration. — S’il existe g comme dans l’énoncé, alors il est connu que σp (f ) est scindée (voir e.g. [30, Prop.11]). REPRÉSENTATIONS ORDINAIRES DE GL2 (Qp ) ET COMPATIBILITÉ 39 Supposons que σp (f ) est scindée et supposons d’abord qu’il n’y a pas besoin de nombre premier auxiliaire (i.e. tous les genres sont au moins 2). Alors on a déjà g ∈ H 0 (W, ω 2−k ) ⊗Qp L tel que f |wpr = θk−1 (g) par la proposition 4.4.7. Il suffit de montrer que g s’étend (de façon nécessairement unique) en une section de H 0 (W1 (pr )K , ω 2−k )⊗Qp L (qui sera en fait dans H 0 (W1 (pr ), ω 2−k )⊗Qp L). Si k > 2, alors θk−1 est injectif et la relation pθ ◦ Up = Up ◦ θ (dans l’espace des formes surconvergentes) entraı̂ne Up g = λg avec val(λ) = 0 puisque f |wpr est de pente k−1. L’injection continue H 0 (W1 (pr )K , ω 2−k )⊗L ,→ H 0 (W, ω 2−k )⊗L est d’image dense (noter que l’espace de gauche est un Fréchet et celui de droite un Banach). Soit (gn )n ∈ H 0 (W1 (pr )K , ω 2−k ) ⊗ L tel que gn → g dans H 0 (W, ω 2−k ) ⊗ L et déf e = lim Upn! le projecteur de Hida défini sur l’espace des formes surconvergentes. On a e(H 0 (W1 (pr )K , ω 2−k ) ⊗ L) fermé dans H 0 (W1 (pr )K , ω 2−k ) ⊗ L car de dimension finie sur K (car Up est un opérateur compact sur H 0 (W1 (pr )K , ω 2−k ), cf. [14]). Or e(gn ) → e(g) = g, donc g ∈ H 0 (W1 (pr )K , ω 2−k ) ⊗ L. Si k = 2, on a seulement a priori Up g = λg + Cste mais le même argument s’applique car on a encore e(g) = g. Dans les cas où nous avons introduit un nombre premier auxiliaire q, la même preuve est valable par la discussion précédente en travaillant avec la courbe X1 (M pr ; q). Supposons finalement M pr > 4, de telle sorte que X1 (M pr ) est un espace de modules fin et, pour éviter toute confusion, notons W1 (pr ; q) l’ouvert rigide analytique de X1 (M pr ; q) noté jusqu’alors simplement W1 (pr ). Ce sous-espace est GL2 (Z/qZ)-invariant et son quotient par l’action de GL2 (Z/qZ) est isomorphe à l’ouvert W1 (pr ) de X1 (M pr ). On a de plus des isomorphismes naturels : GL (Z/qZ) H 0 (W1 (pr ; q), ω 2−k ) ⊗Qp L 2 ' H 0 (W1 (pr ), ω 2−k ) ⊗Qp L GL (Z/qZ) H 0 (W1 (pr ; q), ω k ) ⊗Qp L 2 ' H 0 (W1 (pr ), ω k ) ⊗Qp L (cf. l’appendice de [10]). Dans cette situation, on peut donc supprimer toute mention du nombre premier auxiliaire q, comme dans l’énoncé. 5. Les résultats principaux On démontre les théorèmes 1.1.4 et 1.1.2 de l’introduction. b 1 (K1p (M )) 5.1. On commence par des résultats préliminaires sur les espaces H b c1 (K1p (M )) du §3.1. et H Soit M ≥ 1 un entier premier à p et, pour r ≥ 1, Y1 (M pr ) la courbe modulaire ouverte correspondant au sous-groupe de congruences Γ1 (M pr ). On note : 1 r n 1 r b c déf H = lim lim H (Y (M p ), Z )/p lim H (Y (M p ), Z ) . 1 p 1 p c c −→ ←− −→ n r r 40 C. BREUIL & M. EMERTON C’est naturellement un Zp -module de Hecke qui est aussi muni d’une action de b c ⊗Zp Qp est un espace de Banach. La projection Y1 (M ; pr ) → l’opérateur Up et H Y1 (M pr ) induit une application continue T-équivariante : bc → H b c1 (K1p (M ))P(Zp ) H (23) P(Zp ) b b1 p où qui entrelace l’action de Up sur Hc avec l’action de pπ℘ sur Hc (K1 (M )) déf p 0 ℘ = 0 1 . Pour tout r ≥ 1, on note Gr le noyau de la réduction GL2 (Zp ) → GL2 (Z/pr Z). Proposition 5.1.1. — L’application (23) est un isomorphisme. Démonstration. — L’argument est analogue à la preuve de [21, Th.2.1.12]. Soit r0 suffisamment grand pour que Γ1 (M pr0 ) soit sans torsion et soit Xr0 un souscomplexe simplicial de dimension 1 de Y1 (M pr0 ) qui est un rétract par déformation de Y1 (M pr0 ). Posons : a b 1 déf r0 Gr0 = ∈ GL2 (Zp ) | (c, d) ≡ (0, 1) mod p , c d pour r > r0 , Y1 (M ; pr ) est un revêtement galoisien de Y1 (M pr0 ) de groupe de Galois G1r0 /Gr (agissant à droite). Soit Xr l’image inverse de Xr0 dans Y1 (M ; pr ), c’est encore un revêtement galoisien de Xr0 de groupe de Galois G1r0 /Gr . On note T• (r0 ) la triangulation de Xr0 (où Ti (r0 ) est l’ensemble des simplexes de degré i, avec i ∈ {0, 1}) et T• (r) la triangulation de Xr image inverse de T• (r0 ). L’action à droite de G1r0 /Gr sur Xr au-dessus de Xr0 induit une action à droite sur T• (r0 ). Pour r ≥ r0 , soit S• (r, Z/pn Z) le complexe de chaı̂nes à coefficients dans Z/pn Z associé à la triangulation T• (r) : c’est un complexe de (Z/pn Z)[G1r0 /Gr ]-modules. On a un système inductif de complexes de chaı̂nes S• (r, Z/pn Z) r quand r varie et on note : déf S• (Z/pn Z) = lim S• (r, Z/pn Z). −→ r Passant à la limite projective sur n, on obtient un complexe de Zp [[G1r0 ]]-modules : déf Se• = lim S• (Z/pn Z). ←− n De manière similaire, soit X1,r l’image inverse de Xr0 dans Y1 (M pr ) et T• (1, r) la triangulation de X1,r image inverse de T• (r0 ). Pour r ≥ r0 , soit R• (r, Z/pn Z) le complexe de chaı̂nes à coefficients dans Z/pn Z associé à la triangulation T• (1, r) déf e• déf et posons R• (Z/pn Z) = lim R• (r, Z/pn Z) et R = lim R• (Z/pn Z). Comme la −→ ←− r n triangulations T• (r) ne fait intervenir que des simplexes de dimensions 0 et 1, le complexe S• (Z/pn Z) a des termes seulement en degrés 0 et 1, et on a donc une suite exacte : 0 → H1 (S• (Z/pn Z) → S1 (Z/pn Z) → S0 (Z/pn Z). REPRÉSENTATIONS ORDINAIRES DE GL2 (Qp ) ET COMPATIBILITÉ 41 Le foncteur limite projective étant exact à gauche, on en déduit une suite exacte : 0 → lim H1 (S• (Z/pn Z)) → Se1 → Se0 ←− n et donc un isomorphisme : ∼ H1 (Se• ) −→ lim H1 (S• (Z/pn Z)). ←− (24) n Le foncteur limite inductive étant exact, on a : (25) ∼ H1 (Y1 (M ; pr ), Z/pn Z) H1 (S• (Z/pn Z)) −→ lim −→ r ∼ −→ r ⊗Zp Z/pn Z. ), Z ) lim H (Y (M ; p p 1 1 −→ r En combinant (24) et (25), on déduit que H1 (Se• ) est isomorphe au complété b 1 (K1p (M )) par dualité de Poincaré. p-adique de lim H1 (Y1 (M ; pr ), Zp ), donc à H c −→ r C’est en fait un isomorphisme de G1r0 -modules si l’on fait agir g ∈ G1r0 à gauche sur H1 (Se• ) par l’action à droite de g −1 . Par un raisonnement analogue à celui du paragraphe ci-dessus, on obtient que e• ) est isomorphe à H b c . Par ailleurs, il est clair sur les complexes que l’on H1 (R ∼ e• −→ a un isomorphisme R (Se• )P(Zp ) , et donc, comme le foncteur des P(Zp )invariants est exact à gauche, en prenant les P(Zp )-invariants sur la suite exacte ∼ e• ) −→ 0 → H1 (Se• ) → Se1 → Se0 on obtient un isomorphisme H1 (R H1 (Se• )P(Zp ) . En combinant les conclusions de ce paragraphe avec celles du précédent, on obtient ∼ b c −→ b c1 (K1p (M ))P(Zp ) . l’isomorphisme recherché H H b 1 (K1p (M ))L,an et On étudie maintenant les espaces d’extensions Ext1b(Qp ) ψ, H b 1 (K1p (M ))L,an où ψ est un caractère de b(Qp ) à valeurs dans une Ext1b(Qp ) ψ, H c b 1 (K1p (M ))L,an et H b 1 (K1p (M ))L,an désignent les extension finie L de Qp et où H c b 1(K1p (M ))L vecteurs localement analytiques des GL2 (Qp )-Banach admissibles H b 1 (K1p (M ))L (cf. [46, §7]). et H c Proposition 5.1.2. — Pour tout caractère ψ comme ci-dessus, on a : b 1 (K1p (M ))L,an = 0. Ext1b(Q ) ψ, H p Démonstration. — L’argument est basé sur les constructions de la preuve de [21, Th.2.1.5]. Soit r0 tel que Γ1 (M ) ∩ Γ(pr0 ) est sans torsion et Xr0 un sous-complexe simplicial de dimension 1 de Y1 (M ; pr0 ) qui est un rétract par déformation de Y1 (M ; pr0 ). Si r ≥ r0 , Y1 (M ; pr ) est un revêtement galoisien de Y1 (M ; pr0 ) de groupe de Galois Gr0 /Gr (agissant à droite). Soit Xr l’image inverse de Xr0 dans Y1 (M ; pr ), alors Xr est un revêtement galoisien de Xr0 de groupe de Galois Gr0 /Gr . On définit alors des triangulations T• (r0 ) et T• (r) exactement comme dans la preuve du lemme 5.1.1. Pour r ≥ r0 , soit S • (r, Z/pn Z) le complexe de 42 C. BREUIL & M. EMERTON cochaı̂nes à coefficients dans Z/pn Z associé à T• (r). On définit de manière similaire à la preuve précédente les complexes S • (Z/pn Z) et Se• . En particulier, ce dernier est un complexe de Zp [[Gr0 ]]-modules. Par [21, Th.2.1.5], chacun des espaces Sei est isomorphe à un Gr0 -module C 0 (Gr0 , Zp )si pour un entier si ≥ 0 et ∼ b i (K1p (M )) (i ∈ {0, 1}). Comme le foncteur on a des isomorphismes H i (Se• ) −→ H « vecteurs localement analytiques » est exact ([46, Th.7.1]), on obtient donc une suite exacte : b 1 (K1p (M ))L,an → 0. b 0 (K1p (M ))L,an → C an (Gr0 , L)s0 → C an (Gr0 , L)s1 → H 0→H Comme les termes du milieu sont b(Qp )-acycliques et invariants par torsion par le caractère −ψ, une chasse au diagramme facile fournit un isomorphisme : b 1 (K1p (M ))L,an = H 1 b(Qp ), H b 1 (K1p (M ))L,an (−ψ) (26) Ext1b(Qp ) ψ, H ∼ b 0 (K1p (M ))L,an (−ψ) . −→ H 3 b(Qp ), H ∼ b 0 (K1p (M ))L,an → (où « (−ψ) » désigne la torsion par −ψ.) Mais H C an (Z× p , L), p 1 0 b d’où H (z(Qp ), H (K1 (M ))L,an (−ψ)) = 0. Par ailleurs b(Qp ) est la somme directe de z(Qp ) et d’une algèbre de Lie l(Qp ) de dimension 2 (l’algèbre de Lie formée ∗ ∗ des matrices de la forme 0 0 ). Rappelons que la cohomologie d’une algèbre de Lie de dimension d est nulle en degré > d. Comme z(Qp ) est de dimension 1 et l(Qp ) de dimension 2, la formule de Künneth pour la cohomologie des algèbres de Lie entraı̂ne alors que, pour tout b(Qp )-module M , on a H 3 (b(Qp ), M ) ' H 1 (z(Qp ), M ) ⊗ H 2 (l(Qp ), M ) (seul terme éventuellement non-nul). En prenant b 0 (K1p (M ))L,an (−ψ), on voit que l’on obtient bien H 3 (b(Qp ), M ) = 0 M = H puisque H 1 (z(Qp ), M ) = 0, d’où le résultat par (26). Corollaire 5.1.3. — Pour tout caractère ψ comme ci-dessus, le module de b 1 (K1p (M ))L,an est Eisenstein. Hecke Ext1b(Qp ) ψ, H c Démonstration. — Par exactitude du foncteur « vecteurs localement analytiques » ([46, Th.7.1]), la surjectivité de (7) et la proposition 5.1.2, on voit que le module b c1 (K1p (M ))L,an est un quotient de Ext1b(Q ) ψ, M cL,an . Le de Hecke Ext1b(Qp ) ψ, H p corollaire suit alors du même argument que celui dans la preuve du corollaire 3.1.3 en utilisant le lemme 3.1.2. 5.2. On donne ici quelques rappels sur le foncteur de Jacquet de [22] et [23] et sur les résultats de [21] pour le groupe GL2 sur Q. Soit V un L-espace vectoriel topologique localement convexe (où L est une extension finie de Qp ) muni d’une action localement analytique de B(Qp ). Dans [22, Def.3.4.5] est défini un L-espace vectoriel topologique localement convexe de type compact JB(Qp ) (V ) muni d’une représentation localement analytique de T(Qp ) appelé module de Jacquet de V . Nous ne rappelons pas sa définition ici, REPRÉSENTATIONS ORDINAIRES DE GL2 (Qp ) ET COMPATIBILITÉ 43 χ1 ⊗χ2 b (V ) est le sous-espace mais simplement que si χ1 ⊗ χ2 ∈ T(L) (§2.1) et si JB(Q p) de JB(Qp ) (V ) sur lequel T(Qp ) agit par χ1 ⊗ χ2 , il y a un isomorphisme naturel (cf. [22, Prop.3.4.9]) : ∼ χ1 ⊗χ2 (V ) −→ V N(Zp ),T(Qp ) JB(Q p) (27) + =χ ⊗χ 1 2 + où V N(Zp ),T(Qp ) =χ1 ⊗χ2 est le sous-espace de V N(Zp ) sur lequel πt agit par la multiplication par (χ1 ⊗ χ2 )(t) pour tout t ∈ T(Qp )+ . b 1 (K1p (M ))an est une représentation localement Le module de Jacquet JB(Qp ) H c analytique essentiellement admissible de T(Qp ) au sens de [24], et donc corresb noté Ec (cf. [21, §4.4]). L’action des opérateurs pond à un faisceau cohérent sur T p ±1 1 b de Hecke T` et S` sur Hc (K1 (M )) (pour ` - M p) induit une action sur Ec . On note, comme dans [21, §4.4], Ac ⊂ End(Ec ) le sous-faisceau cohérent d’algèbres b Donc Spec Ac est engendré par T` et S`±1 et Spec Ac le Spec relatif de Ac sur T. un espace rigide analytique muni d’une injection continue : b × Spec Qp [{T` , S ±1 }`-M p ] Spec Ac ,→ T ` ' (W × Gm )2 × Spec Qp [{T` , S`±1 }`-M p ]. On notera typiquement (χ2 | | ⊗χ1 | |−1 , λ) un point de Spec Ac où χ2 | | ⊗χ1 | |−1 b et λ le système correspondant de valeurs désigne le point correspondant de T propres de Hecke (le choix de tordre par | | ⊗ | |−1 s’expliquera au §5.5). L’espace Spec Ac est invariant par torsion « diagonale » par les éléments de W (cf. [21],(4.4.8)) : le tordu du point (χ2 | | ⊗χ1 | |−1 , λ) par χ ∈ W est le point (χχ2 | | ⊗χχ1 | |−1 , χλ). On déduit par ailleurs de (27) : Proposition 5.2.1. — On a un isomorphisme Hecke-équivariant : χ | |⊗χ1 | |−1 2 JB(Q p) ∼ b 1 (K1p (M ))L,an )λ −→ b 1 (K1p (M ))N(Zp ),T(Qp ) (H H c c L,an + =χ | 2 |⊗χ1 | |−1 ,λ . b c1 (K1p (M )) est unitaire, on remarque que l’on Comme l’action de GL2 (Qp ) sur H a pour tout point (χ2 | | ⊗χ1 | |−1 , λ) de Spec Ac (cf. [22, Lem.4.4.2]) : (28) |χ2 (p)| ≤ 1 et |χ1 (p)| = |χ2 (p)|−1 . 5.3. On rappelle brièvement le lien entre l’espace rigide Spec Ac et la courbe (ou surface) de Hecke de Coleman et Mazur ([17]). Soit f une forme modulaire comme au §3.2 (i.e. parabolique, normalisée, de poids k ≥ 2 et niveau N = pr M pour un entier r ≥ 0, définie sur une extension finie L de Qp dans Qp ) de système de valeurs propres hors niveau λ et telle que lp,≤k−2 GL (Q ) (Symk−2L2 )∨ ⊗ πp (f ) = IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 . Par (14) et la compatibilité entre foncteurs de Jacquet classique et localement analytique ([22, Prop.4.3.6]), 44 C. BREUIL & M. EMERTON on voit que les deux points (χ2 | | ⊗χ1 | |−1 , λ) et (χ1 z k−2 ⊗ χ2 z 2−k , λ) sont alors dans Spec Ac . On peut construire aussi des points dans Spec Ac à partir de formes f telles que πp (f ) est une série spéciale et à partir des séries d’Eisenstein. On dit que les points de Spec Ac obtenus par torsion par des caractères arbitraires dans W des points précédents sont des points classiques (noter une légère différence avec la définition de [21] où l’on n’autorisait que des torsions par des caractères localement algébriques de Z× p . Ceci ne portera pas à conséquence dans la suite car les caractères localement algébriques de Z× p sont Zariski-dense dans W). La clôture Zariskienne (au sens rigide analytique) des points classiques dans Spec Ac est par définition la surface de Hecke de niveau M (cf. [21, Prop.4.4.15]). C’est une variété rigide analytique équidimensionnelle de dimension 2 stable sous l’action des éléments de W. Les points (χ2 | | ⊗χ1 | |−1 , λ) de la surface de Hecke correspondent aux formes modulaires p-adiques f de niveau M qui sont des tordues par des éléments de W de formes modulaires surconvergentes de pente finie, niveau modéré M et vecteurs propres de Hecke. Plus précisément, si f est une forme surconvergente de pente finie, poids entier k, niveau N = M pr (pour (M, p) = 1 et r ≥ 0), définie sur une extension finie L de Qp (i.e. dont le q-développement vit dans L ⊗OL OL [[q]]), de caractère χ : (Z/N Z)× → L× , vecteur propre de Up de valeur propre α et vecteur propre des T` , S` de système de valeurs propres λ, alors f correspond au point : 2−k nr(α/p) ⊗ nr(p/α)χ−1 ε , λ p de (Spec Ac )(L). Par exemple, si f est une forme classique comme au §4.3 nouvelle pour Γ1 (M ) et si λ est le système de valeurs propres de Hecke associé, alors le point correspondant à f (z) − αp f (pz) est (χ1 z k−2 ⊗ χ2 z 2−k , λ) et celui correspondant à f (z)−βp f (pz) est (χ2 | | ⊗χ1 | |−1 , λ). De même, si f est nouvelle pour Γ1 (M pr ) avec r > 0 et de pente nulle en p comme au §4.4, le point correspondant à f est (χ1 z k−2 ⊗ χ2 z 2−k , λ) et celui correspondant à f |wpr est le tordu par χ0 du point (χ2 | | ⊗χ1 | |−1 , λ). La surface de Hecke est en fait une union de composantes connexes de Spec Ac et son complémentaire dans Spec Ac est une union disjointe de composantes irréductibles de dimension 1 dont chacune est juste une orbite sous l’action de W (cf. la discussion suivant la preuve de [21, Prop.4.4.14], le point étant que toute composante de dimension 2 contient un ensemble Zariski-dense de points classiques). En fait, on s’attend à ce que Spec Ac coı̈ncide avec la surface de Hecke, au moins hors du lieu d’Eisenstein (cf. [26, Thm.7.5.8]). On dit qu’un point (χ2 | | ⊗χ1 | |−1 , λ) de Spec Ac est de poids classique si χ1 ⊗ χ2 est de poids classique au sens de la définition 2.1.1. Tout point classique de Spec Ac est de poids classique mais la réciproque est fausse (par exemple, les formes surconvergentes de pente finie et de poids entier qui ne sont pas des formes modulaires classiques donnent des points de poids classique non classiques). REPRÉSENTATIONS ORDINAIRES DE GL2 (Qp ) ET COMPATIBILITÉ 45 Définition 5.3.1. — On dit qu’un point (χ2 | | ⊗χ1 | |−1 , λ) de Spec Ac est ordinaire si chacun des caractères χ1 et χ2 est unitaire (i.e. entier). Proposition 5.3.2. — Tout point ordinaire (χ2 | | ⊗χ1 | |−1 , λ) de Spec Ac se trouve sur la surface de Hecke. Démonstration. — Quitte à tordre par χ−1 , on peut supposer χ2 non-ramifié. 2|Z× p χ2 | |⊗χ1 | |−1 b 1 Tout élément de JB(Q (H (K1p (M ))an )λ correspond alors en particulier à p) b 1 (K1p (M ))P(Zp ) par la proposition 5.2.1, donc à un élément de un élément de H c b c par la proposition 5.1.1. Mais, par [34], tout système de valeurs propres de H b c provient d’une forme modulaire p-adique. Il Hecke dans la partie ordinaire de H est alors montré dans [32] (voir aussi [11] pour p = 2) que toute forme modulaire p-adique ordinaire est surconvergente (même principe que la fin de la preuve du théorème 4.4.8). 5.4. On définit et on étudie les « mauvais » points sur la surface de Hecke. Définition 5.4.1. — Un point (χ2 | | ⊗χ1 | |−1 , λ) de Spec Ac est mauvais s’il est de poids classique k et si le point (χ2 | | z 1−k ⊗ χ1 | |−1 z k−1 , λ) est aussi dans Spec Ac . De manière équivalente par la proposition 5.2.1, (χ2 | | ⊗χ1 | |−1 , λ) est mauvais s’il est de poids classique k et si l’espace : b 1 (K1p (M ))N(Zp ),T(Qp ) H c L,an + =χ | 2 |z 1−k ⊗χ1 | |−1 z k−1 ,λ est non-nul (où L est une extension finie de Qp sur laquelle le point est défini). La définition 5.4.1 est une extension aux points de Spec Ac de la notion de mauvais point sur la courbe de Hecke définie dans [21, Def.4.5.5]. Notons que l’ensemble des mauvais points sur Spec Ac est invariant sous l’action de W. Lemme 5.4.2. — Si (χ2 | | ⊗χ1 | |−1 , λ) ∈ (Spec Ac )(L) est de poids classique + −1 b c1 (K1p (M ))N(Zp ),T(Qp ) =χ2 | |⊗χ1 | | ,λ qui ne sont pas et s’il y a des éléments de H L,an localement algébriques sous l’action de SL2 (Qp ), alors (χ2 | | ⊗χ1 | |−1 , λ) est un mauvais point de Spec Ac . Démonstration. — Supposons que χ2 | | ⊗χ1 | |−1 est de poids classique k. Si + −1 b c1 (K1p (M ))N(Zp ),T(Qp ) =χ2 | |⊗χ1 | | ,λ n’est pas localement algébrique, alors v ∈ H L,an X−k−1 v est non-nul. Par [22, Prop.4.4.4], il appartient à b 1 (K1p (M ))N(Zp ),T(Qp ) H c L,an + =χ | 2 |z 1−k ⊗χ1 | |−1 z k−1 ,λ et donc (χ2 | | ⊗χ1 | |−1 , λ) est un mauvais point. 46 C. BREUIL & M. EMERTON Proposition 5.4.3. — Soit (χ2 | | ⊗χ1 | |−1 , λ) ∈ (Spec Ac )(L) de poids classique k. Si (χ2 | | ⊗χ1 | |−1 , λ) n’est pas un point classique, alors il est mauvais. Réciproquement, si (χ2 | | ⊗χ1 | |−1 , λ) est mauvais, alors soit ce n’est pas un point classique, soit |χ2 (p)| = |pk−1 |. Démonstration. — Étant donné que tout vecteur SL2 (Qp )-localement algébrique b c1 (K1p (M ))L,an est le tordu d’un élément de l’image de (12) pour un k ≥ 2, dans H on voit que si (χ2 | | ⊗χ1 | |−1 , λ) n’est pas un point classique, alors aucun vec+ −1 b 1 (K1p (M ))N(Zp ),T(Qp ) =χ2 | |⊗χ1 | | ,λ ne peut être SL2 (Qp )-localement teur dans H c L,an algébrique. Donc (χ2 | | ⊗χ1 | |−1 , λ) est mauvais par le lemme 5.4.2. Si par contre (χ2 | | ⊗χ1 | |−1 , λ) est classique, on sait que |pk−1 | ≤ |χ2 (p)| ≤ 1 (valable pour tout point classique). Si la première inégalité est stricte, alors par (28) appliqué à (χ2 | | z 1−k ⊗ χ1 | |−1 z k−1 , λ) on déduit : b 1 (K1p (M ))N(Zp ),T(Qp ) H c L,an + =χ | 2 |z 1−k ⊗χ1 | |−1 z k−1 ,λ =0 et donc (χ2 | | ⊗χ1 | |−1 , λ) n’est pas mauvais. Grâce à la proposition 5.4.3, on peut donner un critère simple et utile permettant de reconnaı̂tre les mauvais points sur la surface de Hecke. Proposition 5.4.4. — Si f est une forme surconvergente non-nulle de poids entier k ≥ 2, de niveau N = M pr (r ≥ 0), vecteur propre pour Up , T et pour l’action de (Z/N Z)× , alors le point correspondant sur la surface de Hecke est un mauvais point de Spec Ac si et seulement s’il existe une forme surconvergente g non-nulle de poids 2 − k, de niveau N , vecteur propre pour Up , T et pour l’action de (Z/N Z)× telle que f et θk−1 (g) ont même valeur propre de Up , même système de valeurs propres de Hecke et même caractère de (Z/N Z)× (cf. §4 pour θk−1 ). Démonstration. — Avec les notations du §5.3, rappelons que f correspond au 2−k point nr(α/p) ⊗ nr(p/α)χ−1 ε , λ de Spec Ac . Supposons d’abord qu’il existe p une telle forme g. Il est facile de voir que g correspond au point nr(α/pk ) ⊗ k k−1 nr(pk /α)χ−1 λ de Spec Ac . Quitte à tordre par ε1−k ∈ W, on voit que p ε ,ε 2−k k−1 le point nr(α/p)z 1−k ⊗ nr(p/α)χ−1 z , λ est aussi dans Spec Ac , ce qui p ε montre que le point associé à f est mauvais. Réciproquement, supposons que le 2−k k−1 point associé à f est mauvais, i.e. que nr(α/p)z 1−k ⊗ nr(p/α)χ−1 ε z , λ est p k−1 k aussi dans Spec Ac . Quitte à tordre cette fois par ε , on voit que nr(α/p ) ⊗ k −1 k k−1 nr(p /α)χp ε , ε λ est un point de Spec Ac . Si f n’est pas classique, on sait déjà que f = θk−1 (g) par [12] et [13]. On peut donc supposer f classique. Par la proposition 5.4.3 appliquée à f , on a |α| = pk−1 et le point nr(α/pk ) ⊗ k k−1 nr(pk /α)χ−1 λ est ordinaire. Par la proposition 5.3.2, il correspond à une p ε ,ε forme modulaire surconvergente non-nulle g de poids 2 − k et niveau N , de valeur propre de Up égale à α/pk−1 , de système de valeurs propres de Hecke égal à εk−1 λ REPRÉSENTATIONS ORDINAIRES DE GL2 (Qp ) ET COMPATIBILITÉ 47 et de caractère de p-composante χp . On voit que g satisfait les conditions de l’énoncé. 5.5. On énonce maintenant et on commence à démontrer un résultat important de l’article qui est le : Théorème 5.5.1. — Soit L une extension finie de Qp . Si (χ2 | | ⊗χ1 | |−1 , λ) ∈ (Spec Ac )(L) n’est pas mauvais au sens de la définition 5.4.1, alors on a un isomorphisme : an 1 p GL (Q ) b c (K1 (M ))λL HomGL2 (Qp ) IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 , H ∼ b c1 (K1p (M ))N(Zp ),T(Qp ) −→ H L,an + =χ | 2 |⊗χ1 | |−1 ,λ . On voit que la torsion par | | ⊗ | |−1 à droite permet de considérer l’induite paan an GL (Q ) GL (Q ) . rabolique IndB(Q2p ) p χ1 ⊗χ2 plutôt que l’induite IndB(Q2p ) p χ2 | | ⊗χ1 | |−1 Cet énoncé est essentiellement une conséquence de [21, Lem.4.5.13] et du résultat principal de [23]. Pour la commodité du lecteur, nous donnons maintenant une preuve complète du théorème 5.5.1. Proposition 5.5.2. — Si (χ2 | | ⊗χ1 | |−1 , λ) ∈ (Spec Ac )(L), il y a un isomorphisme naturel : χ | |⊗χ1 | |−1 2 (29) JB(Q p) ∼ b c1 (Kp1 (M ))λL,an ) −→ (H GL (Q ) Hom(gl2 (Qp ),B(Qp )) Ugl2 (Qp ) ⊗Ub(Qp ) IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )lc , b c1 (Kp1 (M )λL,an . H Démonstration. — Par [22, Th.3.5.6], on a un isomorphisme : χ | |⊗χ1 | |−1 2 (30) JB(Q p) ∼ b c1 (Kp1 (M ))λL,an ) −→ (H HomB(Qp ) GL (Q ) b c1 (Kp1 (M )λL,an . IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )lc , H En combinant (30) avec la propriété universelle des produits tensoriels, on a le résultat. Lorsque (χ2 | | ⊗χ1 | |−1 , λ) n’est pas de poids classique, le théorème 5.5.1 découle immédiatement des propositions 2.1.4 et 5.5.2, du lemme 2.1.2 et de la proposition 5.2.1. Supposons maintenant que (χ2 | | ⊗χ1 | |−1 , λ) est de poids classique. Comme on suppose de plus que ce n’est pas un mauvais point de Spec Ac , c’est un point classique par la proposition 5.4.3. Lemme 5.5.3. — Si (χ2 | | ⊗χ1 | |−1 , λ) est un point classique qui n’est pas GL (Q ) mauvais, alors chaque flèche dans l’image de (29) se factorise par IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ 48 C. BREUIL & M. EMERTON GL (Q ) χ2 (Qp )lp,≤k−2 (vu comme quotient de Ugl2 (Qp ) ⊗Ub(Qp ) IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )lc par l’application (2)). −1 + b 1 (K1p (M ))N(Zp ),T(Qp ) =χ2 | |⊗χ1 | | ,λ sont tous Démonstration. — Les éléments de H c L,an SL2 (Qp )-localement algébriques par le lemme 5.4.2. Comme χ2 | | ⊗χ1 | |−1 est de poids classique k, ils sont en fait localement Symk−2 L2 -algébriques. Comme X−k−1 annule ces vecteurs, l’image de chaque flèche dans l’image de l’isomorphisme (30) est annulée par X−k−1 , et donc chaque flèche dans l’image de l’isomorphisme(29) GL (Q ) a un noyau qui contient X−k−1 Ugl2 (Qp ) ⊗Ub(Qp ) IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )lc . Le résultat découle alors du lemme 2.1.3. Le lemme 5.5.3 montre que, si (χ2 | | ⊗χ1 | |−1 , λ) ∈ (Spec Ac )(L) est de poids classique k et n’est pas mauvais, alors on a un isomorphisme : χ | |⊗χ1 | |−1 2 JB(Q p) ∼ b c1 (Kp1 (M ))L,an )λ −→ (H Hom(gl2 (Qp ),B(Qp )) GL (Q ) b 1 (K 1 (M ))λ IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )lp,≤k−2 , H c p L,an . Il n’est pas possible d’obtenir plus d’informations en appliquant la théorie générale des modules de Jacquet au caractère χ2 | | ⊗χ1 | |−1 de poids classique k. Pour terminer la preuve du théorème 5.5.1 dans le cas de poids classique k, on doit montrer que la restriction : GL (Q ) b c1 (Kp1 (M ))λL,an (31) Hom(gl2 (Qp ),B(Qp )) IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )lp , H GL (Q ) b 1 (K 1 (M ))λ → Hom(gl2 (Qp ),B(Qp )) IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )lp,≤k−2 , H c p L,an est un isomorphisme (puis utiliser comme précédemment les propositions 2.1.4 et 5.2.1). Lorsque χ2 | | ⊗χ1 | |−1 est de pente non critique, c’est-à-dire lorsque |χ2 (p)| > |pk−1 |, (31) découle du théorème classique de Amice-Vélu et Vishik (cf. le lemme A.2.1 et aussi la preuve de [23, Prop.2.5]). Lorsque χ2 | | ⊗χ1 | |−1 est de pente critique (qui est le cas intéressant utilisé dans la suite), (31) découle du résultat suivant, démontré au §5.6 : Proposition 5.5.4. — Si (χ2 | | ⊗χ1 | |−1 , λ) ∈ (Spec Ac )(L) est un point classique qui n’est pas mauvais si λ n’est pas Eisenstein, et lp,≤k−2 alors tout élément de GL2 (Qp ) 1 1 λ b HomB(Qp ) IndB(Qp ) χ1 ⊗χ2 (Qp ) , Hc (Kp (M ))L,an s’étend de manière uni GL2 (Qp ) b 1 (K 1 (M ))λ que en un élément de HomB(Qp ) Ind χ1 ⊗χ2 )(Qp )lp,≤k−1 , H . B(Qp ) c p L,an En effet, on observe que l’inclusion : GL (Q ) GL (Q ) IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )lp,≤k−1 ⊂ IndB(Q2p ) p χ2 | | ⊗χ1 | |−1 (Qp )lp induit une surjection : GL (Q ) GL (Q ) Ugl2 (Qp ) ⊗Ub(Qp ) IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )lp,≤k−1 IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )lp REPRÉSENTATIONS ORDINAIRES DE GL2 (Qp ) ET COMPATIBILITÉ 49 dont le noyau coı̈ncide avec le noyau de (2). Si λ n’est pas Eisenstein, la proposition 5.5.4 entraı̂ne alors que (31) est un isomorphisme. Si λ est Eisenstein, le point classique (χ2 | | ⊗χ1 | |−1 , λ) de poids k provient nécessairement d’une série d’Eisenstein. Cette série d’Eisenstein est soit ordinaire, mais alors on n’est pas dans le cas critique, soit de pente k − 1. Mais une telle série d’Eisenstein est toujours dans l’image de θk−1 . Ce cas est donc impossible par la proposition 5.4.4 lorsque (χ2 | | ⊗χ1 | |−1 , λ) n’est pas mauvais. 5.6. On montre la proposition 5.5.4. GL (Q ) En faisant agir T via le système de valeurs propres λ, on munit IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )lp,≤k−1 d’une structure de module de Hecke. La dérivation k −1 fois induit un isomorphisme naturel : GL (Q ) GL (Q ) IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )lp,≤k−1 / IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )lp,≤k−2 ∼ GL (Q ) −→ IndB(Q2p ) p χ1 z k−1 ⊗ χ2 z 1−k (Qp )lc . Supposons donné un morphisme B(Qp )-équivariant : GL (Q ) b 1 (K 1 (M ))λ , (32) IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )lp,≤k−2 → H c p L,an et considérons le diagramme cartésien de B(Qp )-représentations avec une action équivariante de Hecke : 0 ↓ (32) GL (Q ) IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )lp,≤k−2 −→ ↓ GL2 (Qp ) IndB(Qp ) χ1 ⊗ χ2 (Qp )lp,≤k−1 −→ ↓ GL2 (Qp ) k−1 IndB(Qp ) χ1 z ⊗χ2 z 1−k (Qp )lc ≡ ↓ 0 0 ↓ b c1 (K1p (M ))L,an H ↓ . E ↓ GL2 (Qp ) k−1 IndB(Qp ) χ1 z ⊗χ2 z 1−k (Qp )lc ↓ 0 GL (Q ) Comme l’espace IndB(Q2p ) p χ1 z k−1 ⊗ χ2 z 1−k (Qp )lc est muni de sa topologie localement convexe la plus fine, on voit que la suite exacte verticale de droite est scindée en tant que suite exacte d’espaces vectoriels topologiques. Donc E est un L-espace vectoriel localement convexe de type compact. Par hypothèse, le système de valeurs propres λ n’est pas Eisenstein. De plus, b(Qp ) agit sur GL (Q ) IndB(Q2p ) p χ1 z k−1 ⊗χ2 z 1−k (Qp )lc par la dérivée du caractère χ2 z 1−k ⊗ χ1 z k−1 de B(Qp ). Le corollaire 5.1.3 implique alors que la surjection : GL (Q ) (33) E IndB(Q2p ) p χ1 z k−1 ⊗ χ2 z 1−k (Qp )lc 50 C. BREUIL & M. EMERTON est scindée comme application de b(Qp )-modules, donc aussi comme application de B(Zp )-modules. b 1 (K1p (M ))N(Zp ) (resp. de Notons U (resp. V , resp. W ) le sous-espace fermé de H c L,an GL2 (Qp ) N(Zp ) k−1 1−k lc N(Zp ) E , resp. de IndB(Qp ) χ1 z ⊗ χ2 z (Qp ) ) sur lequel T(Zp ) agit 1−k −1 k−1 par le caractère χ2 | | z ⊗ χ1 | | z . Comme la surjection (33) est scindée comme application de B(Zp )-représentations, on a encore une suite exacte de L-espaces vectoriels de type compact : (34) 0 → U → V → W → 0. Les opérateurs de Hecke πt pour t ∈ T(Qp )+ et l’algèbre de Hecke T agissent sur U , V , W et les morphismes dans la suite exacte sont équivariants pour GL (Q ) ces actions. Par [22, Lem.3.5.2] le L-espace vectoriel JB(Qp ) IndB(Q2p ) p χ1 z k−1 ⊗ χ2 z 1−k (Qp )lc est la représentation de dimension 1 de T(Qp ) donnée par le caractère χ2 | | z 1−k ⊗ χ1 | |−1 z k−1 et il s’identifie par (27) à : N(Zp ),T(Qp )+ =χ2 | |z1−k ⊗χ1 | |−1 zk−1 GL (Q ) IndB(Q2p ) p χ1 z k−1 ⊗ χ2 z 1−k (Qp )lc . Notons W0 cet espace de dimension 1 et V0 l’image inverse de W0 dans V . La suite exacte (34) induit une suite exacte 0 → U → V0 → W0 → 0. D’après la preuve de [22, Prop.4.2.33], l’action de π℘ induit un opérateur compact sur U , et aussi sur V0 puisque W0 est de dimension 1. La théorie des opérateurs compacts entraı̂ne alors que le sous-espace caractéristique de V0 pour (T(Qp )+ = χ2 | | z 1−k ⊗ χ1 | |−1 z k−1 , T = λ) est de dimension finie, et donc que tout sous-espace de cet espace qui est stable par T(Qp )+ et T contient un vecteur propre non-nul pour (T(Qp )+ = χ2 | | z 1−k ⊗ χ1 | |−1 z k−1 , T = λ). Comme (χ2 | | ⊗χ1 | |−1 , λ) n’est pas un mauvais point par hypothèse, cet espace caractéristique est donc d’intersection nulle avec U . Il est par suite isomorphe à W0 et coı̈ncide aussi avec l’espace propre pour (T(Qp )+ = χ2 | | z 1−k ⊗ χ1 | |−1 z k−1 , T = λ). Par la formule d’adjonction de [22, Th.3.5.6], on en déduit une section de (33) de la forme : GL (Q ) IndB(Q2p ) p χ1 z k−1 ⊗ χ2 z 1−k (Qp )lc ,→ E λ ⊂ E d’où on tire facilement la proposition 5.5.4. Remarque 5.6.1. — La preuve du théorème 5.5.1 donnée ici dans le cas de poids classique est différente de celle donnée dans [21, Lem.4.5.13]. Dans loc.cit., on ne montre pas directement que (31) est un isomorphisme. À la place, on montre le théorème 5.5.1 « pour tous les poids à la fois » et on utilise de façon cruciale les propriétés géométriques de la surface de Hecke. On peut résumer la situation en disant que l’on y démontre que (31) est un isomorphisme par passage à la limite à partir des poids non-classiques. Ici, on travaille plutôt poids par poids et la géométrie de la surface de Hecke est remplacée par le résultat de la proposition 5.1.2. REPRÉSENTATIONS ORDINAIRES DE GL2 (Qp ) ET COMPATIBILITÉ 51 Remarque 5.6.2. — En utilisant la proposition 5.1.2 au lieu du corollaire 5.1.3 dans le cas critique, on démontre par les mêmes méthodes que, si (χ2 | | ⊗χ1 | |−1 , λ) n’est pas mauvais (où « mauvais » est ici défini comme au §5.4 mais avec le faisceau d’algèbres A, et pas Ac , agissant sur le faisceau cohérent associé b 1 (Kp1 (M ))L,an ), alors tout élément de : au module de Jacquet de H GL (Q ) b 1 (Kp1 (M ))λL,an HomB(Qp ) IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )lp,≤k−2, H s’étend de manière unique en un élément de : HomB(Qp ) GL (Q ) b 1 (K 1 (M ))λ IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 )(Qp )lp,≤k−1 , H p L,an puis que tout élément de : GL (Q ) b 1 (Kp1 (M ))λL,an Homgl2 (Qp ),B(Qp ) IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )lp,≤k−1, H s’étend de manière unique en un élément de : HomGL2 (Qp ) GL (Q ) b 1 (K 1 (M ))λ IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 )an , H p L,an . Noter qu’il n’y a pas besoin ici de l’hypothèse « λ non Eisenstein » dans l’analogue de la proposition 5.5.4. Remarque 5.6.3. — Notons que la proposition 5.4.4 est encore valable si l’on définit « mauvais » en termes de A plutôt que Ac (cf. remarque précédente). La raison en est que, même si l’analogue de la proposition 5.1.1 ne marche pas avec H 1 au lieu de Hc1 , il marche encore à condition de se restreindre aux parties ordinaires (pour l’action de Up sur la source et l’action de pπ℘ sur le but). On aurait pu ainsi tout aussi bien travailler avec H 1 plutôt que Hc1 . 5.7. On démontre maintenant le résultat principal de l’article qui est une version faible de la conjecture 3.3.2. Pour toute représentation continue H de Gal(Q/Q), on note H ± les espaces propres de H sous l’action d’une conjugaison complexe dans Gal(Q/Q). Lemme 5.7.1. — Soit f une forme parabolique de niveau N = M pr nouvelle en M comme au §3.2. On a : b 1 (K1p (M ))f,± ' L. HomGL2 (Qp ) (Symk−2L2 )∨ ⊗L πp (f ), H c L Démonstration. — Par [21, §4.3], le terme de gauche s’identifie à : HomGL2 (Qp ) (Symk−2L2 )∨ ⊗πp (f ), (Symk−2L2 )∨ ⊗ Hc1 (K1p (M ), Vk−2 )f,± qui est isomorphe à HomGL2 (Qp ) πp (f ), Hc1 (K1p (M ), Vk−2 )f,± ' L. 52 C. BREUIL & M. EMERTON On fixe f une forme parabolique nouvelle de niveau N = M pr comme au §3.3 et on conserveles notations du §3.3. Rappellons que, par définition (cf. §2.3) : η1 0 , alors : (i) si σp (f ) ' 0 η2 ε−1 C 0 C 0 déf GL (Q ) GL (Q ) B(σp (f )) = IndB(Q2p ) p η2 ⊗ η1 ⊕ IndB(Q2p ) p η1 ε ⊗ η2 ε−1 , η1 ∗ avec ∗ 6= 0, alors B(σp (f )) est une extension non (ii) si σp (f ) ' 0 η2 ε−1 scindée : C 0 C 0 GL (Q ) GL (Q ) 0 → IndB(Q2p ) p η2 ⊗ η1 → B(σp (f )) → IndB(Q2p ) p η1 ε ⊗ η2 ε−1 → 0, cette extension s’identifiant au complété unitaire an universel B de l’induite paraboGL2 (Qp ) (théorème 2.2.2). On pose dans lique localement analytique IndB(Qp ) χ1 ⊗ χ2 C 0 C 0 déf déf GL2 (Qp ) GL (Q ) la suite B1 = IndB(Qp ) η2 ⊗ η1 et B2 = IndB(Q2p ) p η1 ε ⊗ η2 ε−1 . Notons que B2 est aussi le complété unitaire de l’induite localement analyan an universel GL (Q ) GL (Q ) (voir preuve = IndB(Q2p ) p η1 ε ⊗ η2 ε−1 tique IndB(Q2p ) p χ1 z k−1 ⊗ χ2 z 1−k du théorème 2.2.2). Rappelons enfin que Πp (f ) est par définition la composante b 1 (K1p (M ))L (§3.3). b 1 (K1p (M ))L ou de H σ(f )-isotypique de H c Théorème 5.7.2. — On a σp (f ) scindée si et seulement si Πp (f ) contient la C 0 GL (Q ) représentation B2 = IndB(Q2p ) p η1 ε ⊗ η2 ε−1 . Démonstration. — Quitte à tordre par un caractère de Dirichlet de conducteur une puissance de p et à remplacer f par la forme nouvelle « sous-jacente » au tordu de f , on peut supposer χ1 z k−2 non-ramifié et soit r = 0, soit r > 0 et f de pente nulle. Si r = 0 (resp. r > 0), on dit que f (z) − βp f (pz) (resp. f |wpr ) est la forme de pente k − 1 associée à f (avec les notations du §4.1). Supposons σp (f ) non scindée. Par la proposition 5.4.4 et la même preuve que dans [30, Prop.11], on voit que le point de Spec Ac correspondant à la forme de pente k − 1 associée à f n’est pas mauvais (définition 5.4.1). Par le théorème 5.5.1, on en déduit que Πp (f ) an GL (Q ) ne contient pas IndB(Q2p ) p χ1 z k−1 ⊗ χ2 z 1−k et donc a fortiori B2 . Supposons déf b 1 (K1p (N ))f c’est-à-dire : σp (f ) scindée et posons W = HomGL2 (Qp ) B2 , H c L an 1 p GL (Q ) b (K1 (N ))f . W = HomGL2 (Qp ) IndB(Q2p ) p χ1 z k−1 ⊗ χ2 z 1−k , H c L Par les théorèmes 4.3.3 et 4.4.8, la forme de pente k − 1 associée à f est dans l’image de θk−1 d’où on déduit que W est non-nul par le théorème 5.5.1 appliqué à la forme g telle que f (z) − βp f (pz) = θk−1 (g) (resp. f |wpr = θk−1 (g)). Par [21, §4], le théorème 5.5.1 et la proposition 5.2.1, W est un L-espace vectoriel de dimension finie. Il est muni d’une action continue de Gal(Q/Q) déduite de l’action b 1 (K1p (M )). Toute sous-représentation absolument irréductible non-nulle de sur H c W est nécessairement isomorphe à σ(f ) par les relations d’Eichler-Shimura sur b 1 (K1p (M )) ⊗ L et un argument bien connu dû à Mazur (voir [38, p.115]). On H c REPRÉSENTATIONS ORDINAIRES DE GL2 (Qp ) ET COMPATIBILITÉ 53 ι a donc σ(f ) ,→ W d’où une application GL2 (Qp )-équivariante B2 → Πp (f ), x 7→ (v 7→ ι(v)(x)) (où v ∈ σ(f )). Cette application est une injection fermée car B2 est topologiquement irréductible et car les GL2 (Qp )-Banach B2 et Πp (f ) sont admissibles. Théorème 5.7.3. — Si σp (f ) est non scindée, alors il existe une unique (à multiplication près par une constante non-nulle) injection fermée GL2 (Qp )-équivariante B(σp (f )) ,→ Πp (f ). Démonstration. — Quitte à tordre, on se ramène à la situation de la preuve du théorème 5.7.2. On a alors vu que, si σp (f ) est non scindée, le point de Spec Ac correspondant à la forme de pente k − 1 associée à f n’est pas mauvais. La suite exacte courte 0 → B1 → B → B2 → 0 induit une suite exacte : b 1 (K1p (M ))f,± → HomGL (Qp ) B, H b 1 (K1p (M ))f,± 0 → HomGL2 (Qp ) B2 , H c c 2 L L b 1 (K1p (M ))f,± . → HomGL (Qp ) B1 , H c 2 L Le premier terme est nul par le théorème 5.7.2 et le dernier de dimension 1 par la proposition 2.2.1 et le lemme 5.7.1. Mais celui du milieu est non-nul par ce qui précède et les théorèmes 2.2.2 et 5.5.1. On a donc un isomorphisme : ∼ b 1 (K1p (M ))f,± → b 1 (K1p (M ))f,± ' L. HomGL (Qp ) B, H HomGL (Qp ) B1 , H 2 c L c 2 L b c1 (K1p (M ))f,± H L De plus, le morphisme correspondant B → est une injection fermée. En effet, il est injectif par le théorème 2.2.2 et le fait que l’application induite sur le sous-objet B1 est non-nulle, et c’est une application fermée car b 1 (K1p (M ))f,± sont admissibles. On en déduit les deux GL2 (Qp )-Banach B et H c L b c1 (K1p (M ))f ' L2 ' σ(f ) (par Eichler-Shimura) d’où avec la HomGL2 (Qp ) B, H L proposition 3.2.3 : b c1 (K1p (M ))f ) = HomGL (Qp ) (B, Πp (f )) 6= 0. HomGL (Qp ) B, Hom (σ(f ), H 2 Gal(Q/Q) L 2 On a aussi une injection : b 1 (K1p (M ))f ) ' L HomGL2 (Qp ) (B, Πp (f )) ,→ HomGal(Q/Q) σ(f ), HomGL2 (Qp ) (B, H c L F 7→ v 7→ (x 7→ F (x)(v) d’où le résultat. Corollaire 5.7.4. — La représentation Πp (f ) contient toujours B(σp (f )) comme sous-représentation fermée. 54 C. BREUIL & M. EMERTON Appendice A Preuve de la proposition 2.1.4 GL (Q ) A.1. Commençons par quelques préliminaires topologiques. Soit IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ GL (Q ) GL (Q ) χ2 (Qp )an (resp. IndB(Q2p ) p χ1 ⊗χ2 (Zp )an ) le sous-espace fermé de IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ an χ2 des fonctions localement analytiques f : Qp → L (cf. §2.1) qui sont à support compact (resp. à support dans Zp ). Il est stable par (gl2 (Qp ), B(Qp )) (resp. (gl2 (Qp ), B(Qp )+ )) et l’application naturelle : GL (Q ) GL (Q ) (35) L[N(Qp )] ⊗L[N (Zp )] IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Zp )an → IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )an GL (Q ) GL (Q ) est un isomorphisme. On note aussi IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Zp )lp et IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ GL (Q ) GL (Q ) χ2 (Zp )lp,≤d les sous-espaces fermés de IndB(Q2p ) p χ1 ⊗χ2 (Qp )lp et IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )lp,≤d formés des fonctions à support dans Zp . Ce sont encore des sousespaces stables par (gl2 (Qp ), B(Qp )+ ) et les applications analogues à (35) sont des isomorphismes. GL (Q ) Si r ≥ 1, on note IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Zp )an r l’espace de Banach des fonctions déf localement analytiques sur Zp et analytiques sur chaque disque fermé D(z, r) = {x ∈ Qp | kx − zk ≤ |pr |} pour tout z ∈ Zp . Si O(D(z, r)) désigne l’espace de Banach des fonctions rigides analytiques sur D(z, r) à valeurs dans L, il y a un isomorphisme topologique naturel : ∼ GL (Q ) IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Zp )an r −→ ⊕z∈Zp /pr O(D(z, r)) GL2 (Qp ) GL (Q ) (attention : la topologie sur IndB(Q2p ) p χ1 ⊗χ2 (Zp )an r induite par IndB(Qp ) χ1 ⊗ χ2 (Zp )an est plus grossière que la topologie ci-dessus d’espace de Banach). Si r0 l’on choisit r0 ≥ 1 de telle sorte que χ2 χ−1 on voit 1 est analytique sur 1 + p Zp , GL2 (Qp ) GL2 (Qp ) an que IndB(Qp ) χ1 ⊗χ2 (Zp )r est stable par Kp (r) dans IndB(Qp ) χ1 ⊗χ2 (Zp )an pour tout r ≥ r0 (voir §3.1 pour Kp (r)). De plus, on vérifie facilement que l’action GL (Q ) de Kp (r) est continue pour la topologie d’espace de Banach de IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Zp )an r . En fait, on a plus : si Kp (r) désigne le sous-groupe affinoı̈de du groupe algébrique GL2 sur Qp défini par les conditions |a − 1|, |b|, |c|, |d − 1| ≤ |pr |, alors Kp (r) est le groupe des Qp -points de Kp (r), et l’action de Kp (r) est en fait induite GL (Q ) par une action rigide analytique de Kp (r) sur IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Zp )an r (l’action de Kp (r) est « Kp (r)-analytique » au sens de [25]). En particulier, on peut GL (Q ) différentier cette action pour obtenir une action de gl2 (Qp ) sur IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Zp )an r (pour r ≥ r0 ). L’application naturelle : GL2 (Qp ) GL2 (Qp ) an Ind χ ⊗ χ (Zp )an (36) lim Ind χ ⊗ χ (Z ) −→ 1 2 p 1 2 r B(Qp ) B(Qp ) −→ r≥r0 est alors un isomorphisme topologique gl2 (Qp )-équivariant. REPRÉSENTATIONS ORDINAIRES DE GL2 (Qp ) ET COMPATIBILITÉ 55 Pour d ≥ 0 et r ≥ 1, on pose : GL (Q ) IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Zp )lp,≤d r déf \ GL (Q ) GL2 (Qp ) = IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Zp )an Ind χ ⊗ χ (Zp )lp,≤d , 1 2 r B(Qp ) et : \ déf GL (Q ) GL (Q ) GL2 (Qp ) an IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Zp )lp IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Zp )lp r = IndB(Qp ) χ1 ⊗ χ2 (Zp )r [ GL (Q ) = IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Zp )lp,≤d . r d≥0 GL (Q ) Chacun des espaces IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Zp )lp,≤d est de dimension finie et leur r GL2 (Qp ) an réunion est dense dans IndB(Qp ) χ1 ⊗ χ2 (Zp )r (pour sa topologie de Ba GL (Q ) engendre nach). Si d est suffisamment grand, alors IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Zp )lp,≤d r GL2 (Qp ) IndB(Qp ) χ1 ⊗ χ2 (Zp )lp r comme gl2 (Qp )-module (en fait, si χ1 ⊗ χ2 n’est pas de poids classique, tout d ≥ 0 convient, mais si χ1 ⊗ χ2 est de poids classique k ≥ 2, il faut prendre d ≥ k − 1, cf. le lemme 2.1.2 et le lemme 2.1.3). On reprend maintenant le GL2 (Qp )-Banach V de la proposition 2.1.4. Pour r ≥ 1, soit VKp (r)−an le sous-espace de V des vecteurs v tels que l’application « orbite » : g → g · v, lorsque restreinte à Kp (r), est (la restriction à Kp (r) d’) une fonction rigide analytique sur Kp (r) à valeurs dans V . Si O(Kp (r), V ) est l’espace de Banach des fonctions rigides analytiques sur Kp (r) à valeurs dans V , alors la flèche qui envoie v ∈ VKp (r)−an sur son application orbite identifie VKp (r)−an à un sous-espace fermé de O(Kp (r), V ) ([25, Prop.3.3.3]). On munit VKp (r)−an de la topologie de Banach induite par celle de O(Kp (r), V ) (qui est plus fine que la topologie induite par le Banach V ). On a alors un isomorphisme topologique ∼ lim VKp (r)−an −→ Van . −→ r Remarque A.1.1. — On utilise ici la définition des vecteurs localement analytiques donnée dans [25, Def.3.5.3] qui diffère de celle de [46] : les deux définitions donnent le même espace sous-jacent Van , mais la topologie de Van définie dans [25] est en général plus fine que celle définie dans [46] (cf. [25, Th.3.5.7]). On démontrera la proposition 2.1.4 lorsque Van est muni de la topologie de [25], ce qui implique immédiatement l’énoncé correspondant lorsque Van est muni de la topologie plus grossière de [46]. Notons que, dans les applications, V sera toujours un GL2 (Qp )-Banach (unitaire) admissible, et dans ce cas les deux topologies sur Van sont alors les mêmes (utiliser [25, Prop.6.2.4] et [46, Th.7.1]). A.2. On démontre la proposition 2.1.4. On conserve les notations du §A.1. 56 C. BREUIL & M. EMERTON Lemme A.2.1. — La restriction : (37) HomB(Qp )+ GL (Q ) IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Zp )an , V GL (Q ) IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Zp )lp , V → HomB(Qp )+ est un isomorphisme. GL (Q ) Démonstration. — Puisque IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Zp )lp est dense dans l’espace GL (Q ) IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Zp )an , toute application linéaire continue : GL (Q ) (38) IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Zp )an → V est nulle (resp. est B(Qp )+ -équivariante) si et seulement s’il en est de même de sa GL (Q ) restriction à IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Zp )lp . Il suffit donc de montrer que tout élément dans l’image de (37) s’étend en une application linéaire continue (38). Si f (X) ∈ Qp [X], notons ||f (X)|| le sup des valeurs absolues p-adiques de ses coefficients. Notons ||–||V une norme sur V donnant sa topologie de Banach. On choisit ||–||V invariante sous N (Zp ) (ce qui est possible car N (Z p ) est compact). Soit A > 0 déf p 0 tel que ||℘v||V ≤ A||v||V pour tout v ∈ V où ℘ = 0 1 . Soit φ dans l’image de (37) et, pour chaque d ≥ 0, soit C(d) > 0 tel que ||φ(f (X))||V ≤ C(d)||f (X)|| pour les f (X) de degré au plus d. Pour chaque z ∈ Zp et r ≥ 0, on a (cf. (1)) : −r 1 z X−z ℘r · f (X). f ( pr )|z+pr Zp = χ2 (p) 0 1 En utilisant l’invariance sous B(Qp )+ de φ, on obtient : 1 z −r X−z ℘r · φ(f (X))||V ||φ(f ( pr ))||V = |χ2 (p)| || 0 1 ≤ (|χ2 (p)|−1 A)r ||φ(f (X))||V ≤ (|χ2 (p)|−1 A)r C(d)||f (X)||. Soit h tel que |χ2 (p)|−1 A ≤ |p−h |, on voit que, pour chaque d ≥ 0, la restriction GL (Q ) de φ à IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Zp )lp,≤d est tempérée d’ordre ≤ h. Par le théorème d’Amice-Vélu ([1]) et Vishik ([47]), si d > h − 1 la restriction s’étend de manière GL (Q ) unique en une application linéaire continue φed : IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Zp )an → V qui est tempérée d’ordre ≤ h. L’unicité montre alors que l’extension φed ne dépend GL (Q ) pas du choix de d > h − 1 et définit l’extension cherchée de φ à IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Zp )an . Lemme A.2.2. — La restriction : Hom(gl2 (Qp ),B(Qp )) GL (Q ) IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )an , Van → Hom(gl2 (Qp ),B(Qp )) est un isomorphisme. GL (Q ) IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )lp , Van REPRÉSENTATIONS ORDINAIRES DE GL2 (Qp ) ET COMPATIBILITÉ 57 Démonstration. — Comme la flèche (35) et son analogue en remplaçant « an » par « lp » sont des isomorphismes et comme B(Qp )+ engendre le groupe B(Qp ), il suffit de montrer que la restriction : (39) Hom(gl2 (Qp ),B(Qp )+ ) GL (Q ) IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Zp )an , Van → Hom(gl2 (Qp ),B(Qp )+ ) GL (Q ) IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Zp )lp , Van est un isomorphisme. Compte tenu du lemme A.2.1, il suffit de montrer que si GL (Q ) φ : IndB(Q2p ) p χ1 ⊗χ2 (Zp )an → V est une application continue dont la restriction GL (Q ) φlp à IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Zp )lp se factorise comme le composé d’une application GL (Q ) continue gl2 (Qp )-équivariante IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Zp )lp → Van avec l’injection naturelle Van → V , alors φ admet aussi une analogue. Soit r ≥ r0 , factorisation GL2 (Qp ) an φr la restriction de φ à IndB(Qp ) χ1 ⊗ χ2 (Zp )r et d un entier assez grand pour GL (Q ) GL (Q ) que IndB(Q2p ) p χ1 ⊗χ2 (Zp )rlp,≤d engendre IndB(Q2p ) p χ1 ⊗χ2 (Zp )an r sous gl2 (Qp ). GL2 (Qp ) lp,≤d est de dimension finie, son image par φlp dans Comme IndB(Qp ) χ1 ⊗χ2 (Zp )r Van est de dimension finie et tombe donc dans VKp (s)−an pour un s ≥ r. Comme φlp est gl2 (Qp )-équivariant et VKp (s)−an est stable par gl2 (Qp ), on voit que l’image de GL (Q ) IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Zp )lp r tombe encore dans VKp (s)−an . Considérons maintenant l’application continue : GL (Q ) → V Φ : Kp (s) × IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Zp )an r (g, f ) 7→ φr (g · f ) − g · φr (f ). GL (Q ) Soit f ∈ IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Zp )lp r , alors l’application g 7→ Φ(g, f ) est (la restriction à Kp (s) d’) une fonction rigide analytique sur Kp (s) (car l’action de Kp (s) sur f et φr (f ) provient d’une action rigide analytique de Kp (s)). De plus, toutes ses dérivées sont nulles car φlp est gl2 (Qp )-équivariant. On voit donc que GL (Q ) Φ est nul sur Kp (s) × IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Zp )lp r . Mais cet espace est dense dans GL (Q ) Kp (s) × IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Zp )an r , donc Φ est identiquement nul et l’application GL (Q ) φr est Kp (s)-équivariante. Comme l’action de Kp (s) sur IndB(Q2p ) p χ1 ⊗χ2 (Zp )an r est Kp (s)-rigide analytique, on voit que φr se factorise par une application continue Kp (s)-équivariante : GL (Q ) IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Zp )an r → VKp (s)−an , et donc en particulier par une application continue gl2 (Qp )-équivariante : GL (Q ) IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Zp )an r → Van . Passant à la limite inductive sur r ≥ r0 et utilisant (36), on obtient le résultat. 58 C. BREUIL & M. EMERTON GL (Q ) Lemme A.2.3. — Soit f ∈ IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )an et g ∈ GL2 (Qp ) tels GL (Q ) que g · f est encore dans IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )an , alors pour tout élément φ de GL (Q ) Hom(gl2 (Qp ),B(Qp )) IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )an , Van , on a φ(g · f ) = g · φ(f ). Démonstration. — Soit Ω ⊂ Qp le support de f . Il suffit de montrer que, pour tout z ∈ Ω et tout voisinage ouvert compact Ωz ⊂ Ω de z, on a : ? (40) φ g · (f|Ωz ) = g · φ(f|Ωz ). déf 1 −z Fixons z ∈ Ω et n = 0 1 ∈ N(Qp ) (donc z est le translaté par n du point 0 ∈ Qp , cf. (1)). Comme le support de g · f est contenu dans Qp par hypothèse, l’image de z par g vit dans Qp et donc ng −1 envoie 0 ∈ Qp vers un point de Qp . On peut donc écrire : ng −1 = n−1 b−1 pour un n ∈ N(Qp ) et un b ∈ B(Qp ). Par l’invariance de φ sous B(Qp ), on obtient pour tout voisinage ouvert compact Ωz ⊂ Ω de z : φ g · (f|Ωz ) = φ bnn · (f|Ωz ) = b · φ nn · (f|Ωz ) g · φ(f|Ωz ) = bnn · φ(f|Ωz ) = bn · φ n · (f|Ωz ) . Quitte à remplacer f par n · f et z par 0, on est donc ramené à montrer que, pour n ∈ N(Qp ) et Ω0 un voisinage suffisamment petit de 0 dans Ω, on a : ? φ(n · f ) = n · φ(f ). (41) Fixons r tel que f est analytique sur D(0, r) et s ≥ r suffisamment grand pour GL (Q ) GL2 (Qp ) avoir φ( IndB(Q2p ) p χ1 ⊗χ2 (Qp )an r )) ⊂ VKp (s)−an (un tel s existe car IndB(Qp ) χ1 ⊗ χ2 (Qp )an r est un espace de Banach et Van est réunion des Banach VKp (s)−an , cf. [6, Prop.1 p.I.20] par Soit t0 ≥ 0 tel que ℘−t0 n℘t0 ∈ Kp (s) ∩ N(Qp ) exemple). (rappelons que ℘ = (42) et notons que (℘−t p 0 0 1 ), on a aussi pour tout t ≥ t0 : ℘−t n℘t ∈ Kp (s) ∩ N(Qp ) GL (Q ) · f )|pr Zp ∈ IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )an r pour t ≥ 0. Comme GL (Q ) l’action de Kp (s) sur (IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 )(Qp )an r et VKp (s)−an provient d’une action rigide analytique de Kp (s) et comme φ est gl2 (Qp )-équivariant, on obtient : φ(k · f 0 ) = k · φ(f 0 ) GL (Q ) pour tout k ∈ Kp (s) et f 0 ∈ IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )an r . Un calcul donne alors pour t ≥ t0 : φ(n · f|pr+t Zp ) = ℘t ℘−t · φ n℘t · (℘−t · f )|pr Zp = ℘t · φ ℘−t n℘t · (℘−t · f )|pr Zp = ℘t (℘−t n℘t ) · φ (℘−t · f )|pr Zp = n · φ ℘t (℘−t · f )|pr Zp = n · φ(f|pr+t Zp ) (43) REPRÉSENTATIONS ORDINAIRES DE GL2 (Qp ) ET COMPATIBILITÉ 59 où les deuxième et quatrième égalités découlent de la B(Qp )-équivariance de φ 0 et la troisième de (43) et (42). On obtient bien (41) pour Ω0 = pr Zp avec r0 ≥ r + t. Lemme A.2.4. — La restriction : (44) HomGL2 (Qp ) GL (Q ) IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 an , Van → Hom(gl2 (Qp ),B(Qp )) GL (Q ) IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )an , Van est un isomorphisme. GL (Q ) GL (Q ) Démonstration. — Comme IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )an engendre IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ an χ2 sous GL2 (Qp ), l’application (44) est injective. On doit montrer sa surjectivité. Munissons L[GL2 (Qp )] de sa topologie localement convexe la plus fine et GL (Q ) considérons le produit tensoriel L[GL2 (Qp )]⊗L IndB(Q2p ) p χ1 ⊗χ2 (Qp )an muni de sa topologie produit tensoriel inductive (cet espace est isomorphe à une somme GL (Q ) directe de copies de IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )an indexées par les éléments de GL2 (Qp ) et cette topologie n’est autre que la topologie somme directe). L’inclu an GL (Q ) GL (Q ) sion IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )an ,→ IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 induit une application continue GL2 (Qp )-équivariante : an GL (Q ) GL (Q ) (45) L[GL2 (Qp )] ⊗L IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )an → IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 . déf 0 1 Si w = 1 0 ∈ GL2 (Qp ), on a une immersion fermée : (46) GL (Q ) GL (Q ) IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )an ⊕ IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )an GL (Q ) ,→ L[GL2 (Qp )] ⊗L IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )an définie par (f1 , f2 ) 7→ 1 ⊗ f1 + w ⊗ f2 . Comme P(Qp ) = Qp ∪ wQp , le composé de (45) et (46) est une surjection continue. Comme son but et sa source sont de plus des espaces localement convexes de type compact, le théorème de l’image ouverte entraı̂ne qu’il s’agit d’une surjection topologique. Il en est donc de même de (45). Puisque Van est muni d’une action continue de GL2 (Qp ), toute application GL (Q ) linéaire continue φ : IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )an → Van induit une application continue GL2 (Qp )-équivariante : GL (Q ) Φ : L[GL2 (Qp )] ⊗L IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )an → Van . Nous allons montrer que, si φ est de plus (gl2 (Qp ), B(Qp ))-équivariant, alors le noyau de Φ contient le noyau de (45). Comme (45) est une surjection topologique, cela montrera que Φ se factorise par une application continue GL2 (Qp )an GL (Q ) GL (Q ) → Van dont la restriction à IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ équivariante Φ : IndB(Q2p ) p χ1 ⊗χ2 χ2 (Qp )an coı̈ncide avec φ (et Φ sera un antécédent de φ, d’où la surjectivité vou GL (Q ) lue). Soit donc φ ∈ Hom(gl2 (Qp ),B(Qp )) IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )an , Van et g1 ⊗ 60 C. BREUIL & M. EMERTON f1 + · · · + gr ⊗ fr un élément dans le noyau de (45) où gi ∈ GL2 (Qp ), fi ∈ an GL (Q ) GL (Q ) : IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 (Qp )an . On a donc dans IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 r X (47) gi · fi = 0 i=1 et on doit montrer que : r X (48) ? gi · φ(fi ) = 0. i=1 Il suffit de montrer que, si z ∈ P(Qp ) et Ωz est un voisinage ouvert suffisamment petit de z dans P(Qp ), alors : r X ? (49) gi · φ(fi|Ωz gi−1 ) = 0 i=1 (on peut en effet écrire P(Qp ) = r X gi · φ(fi ) = i=1 Soit g = r X s X `s j=1 Ωzj , fi = gi · φ(fi|Ωz −1 j gi )= i=1 j=1 a c b d j=1 fi|Ωz s X r X −1 j gi et on a bien alors : gi · φ(fi|Ωz −1 j gi ) = 0). j=1 i=1 ∈ GL2 (Qp ) tel que −1 Ps dz−b −cz+a = 0, quitte à remplacer g1 ⊗ f1 + · · · + −1 gr ⊗ fr par g1 g ⊗ f1 + · · · + gr g ⊗ fr , il suffit de traiter le cas z = 0. Si 0 n’est pas dans le support de gi · fi , alors on peut supposer de même pour Ω0 (quitte à le rapetisser) et le i-ième terme dans (49) est déjà nul. On peut donc supposer que 0 est dans le support de chaque gi · fi , que Ω0 est à support dans Qp et donc que chaque gi · fi est aussi à support dans Qp (puisque l’on ne regarde que fi|Ω0 gi−1 ). Le lemme A.2.3 entraı̂ne alors avec (47) : r r r r X X X X gi ·φ(fi|Ω0 gi−1 ) = φ gi ·(fi|Ω0 gi−1 ) = φ (gi ·fi )|Ω0 = φ ( gi ·fi )|Ω0 = 0. i=1 i=1 i=1 i=1 La proposition 2.1.4 découle des lemmes de l’isomorphisme ∼ A.2.2 et A.2.4 et an an GL2 (Qp ) GL2 (Qp ) HomGL2 (Qp ) IndB(Qp ) χ1 ⊗χ2 , Van → HomGL2 (Qp ) IndB(Qp ) χ1 ⊗χ2 , V . Remarque A.2.5. — La preuve précédente de la proposition 2.1.4 est la spécialisation au cas considéré des arguments de [23] et est assez analogue à la preuve de [24, Prop.2.5] : les lemmes A.2.1 et A.2.2 correspondent à [24, Lem.3.23] et les lemmes A.2.3 et A.2.4 à [24, Lem.3.1]. La différence clef est la suivante : dans le contexte de [24, Prop.2.5], on suppose que χ1 ⊗ χ2 est de poids classique k et de pente non critique (i.e. |χ1 (p)| > |pk−2 |), et aussi que V est un GL2 (Qp )-Banach unitaire. Cela permet de se restreindre à d = k−2 dans la preuve du lemme A.2.1. lp,≤k−2 GL (Q ) De plus, l’espace IndB(Q2p ) p χ1 ⊗ χ2 est GL2 (Qp )-invariant (pas seulement (gl2 (Qp ), B(Qp ))-invariant). Cela permet d’énoncer et de démontrer un résultat REPRÉSENTATIONS ORDINAIRES DE GL2 (Qp ) ET COMPATIBILITÉ 61 qui évite de considérer les vecteurs an localement analytiques dans V et l’action de GL2 (Qp ) gl2 (Qp ) sur IndB(Qp ) χ1 ⊗ χ2 . Références [1] Amice Y., Vélu J., Distributions p-adiques associées aux séries de Hecke, Astérisque 24/25, Soc. Math. de France, 1975, 119–131. [2] Baldassari F., Chiarellotto B., Algebraic versus rigid cohomology with logarithmic coefficients, Persp. in Maths 15, Academic Press, 1994, 11–50. [3] Berger L., Breuil C., Towards a p-adic Langlands programme, cours au C.M.S. de Hangzhou, août 2004, disponible à http ://www.ihes.fr/˜breuil/publications.html [4] Berger L., Breuil C., Sur quelques représentations potentiellement cristallines de GL2 (Qp ), à paraı̂tre à Astérisque. [5] Berthelot P., Cohomologie rigide et cohomologie rigide à supports propres, première partie, prépublication de l’Institut de Recherche Mathématique de Rennes, 1996. [6] Bourbaki N., Topological vector spaces. Chapters 1–5, Springer, 1987. [7] Breuil C., Sur quelques représentations modulaires et p-adiques de GL2 (Q) II, J. Institut Math. Jussieu 2, 2003, 23–58. [8] Breuil C., Invariant L et série spéciale p-adique, Ann. Scient. É.N.S. 37, 2004, 559–610. [9] Breuil C., Série spéciale p-adique et cohomologie étale complétée, ce volume. [10] Buzzard K., Calegari F., Slopes of overconvergent 2-adic modular forms, Comp. Math. 141, 2005, 591–604. [11] Buzzard K., Taylor R., Companion forms and weight one forms, Annals of Math. 149, 1999, 905–919. [12] Coleman R., Classical and overconvergent modular forms, Inv. Math. 124, 1996, 215–241. [13] Coleman R., Classical and overconvergent modular forms of higher level, J. Th. Nombres Bordeaux 9, 1997, 395–403. [14] Coleman R., p-adic Banach spaces and families of modular forms, Inv. Math. 127, 1997, 417–479. [15] Coleman R., A p-adic Shimura isomorphism and p-adic periods of modular forms, Contemp. Maths. 165, 21–51, 1994. [16] Coleman R., Iovita A., Hidden structures on semi-stable curves, ce volume. [17] Coleman R., Mazur B., The eigencurve, Lecture Note Series 254, Cambridge Univ. Press, 1–113, 1998. [18] Colmez P., Une correspondance de Langlands p-adique pour les représentations semi-stables de dimension 2, à paraı̂tre à Astérisque. [19] Colmez P., Série principale unitaire pour GL2 (Qp ) et représentations triangulines de dimension 2, à paraı̂tre à Astérisque. 62 C. BREUIL & M. EMERTON [20] Deligne P., Formes modulaires et représentations de GL2 , Modular functions of one variable II, Springer Lecture Notes 349, 1973, 55–105. [21] Emerton M., On the interpolation of systems of eigenvalues attached to automorphic Hecke eigenforms, Inv. Math. 164, 2006, 1–84. [22] Emerton M., Jacquet modules of locally analytic representations of p-adic reductive groups I. Constructions and first properties, Ann. Scient. É.N.S. 39, 2006, 775–839. [23] Emerton M., Jacquet modules of locally analytic representations of p-adic reductive groups II. The relation to parabolic induction, à paraı̂tre à J. Institut Math. Jussieu. [24] Emerton M., p-adic L-functions and unitary completions of representations of p-adic groups, Duke Math. J. 130, 2005, 353–392. [25] Emerton M., Locally analytic vectors in representations of locally p-adic analytic groups, à paraı̂tre à Memoirs of the AMS. [26] Emerton M., A local-global compatibility conjecture in the p-adic Langlands programme for GL2/Q , Pure and Appl. Math. Quarterly 2, 2006, 1–115. [27] Faltings G., Crystalline cohomology of semi-stable curves — the Qp -theory, J. Alg. Geom. 6, 1997, 1–18. [28] Faltings G., Almost étale extensions, Astérisque 279, Soc. Math. de France, 2002, 185–270. [29] Faltings G., Jordan B., Crystalline cohomology and GL(2, Q), Israel J. Math. 90, 1995, 1–66. [30] Ghate E., Ordinary forms and their local Galois representations, à paraı̂tre aux actes de la conférence à Hyderabad, 2003. [31] Ghate E., Mézard A., Filtered modules attached to modular forms, prépublication 2006. [32] Gouvêa F., Arithmetic of p-adic modular forms, Springer Lecture Notes 1304, 1988. [33] Gross B., A tameness criterion for Galois representations associated to modular forms (mod. p), Duke Math. J. 61, 1990, 445–517. [34] Hida H., Galois representations into GL2 (Zp [[X]]), Inv. Math. 85, 1986, 545–613. [35] Katz N., p-adic properties of modular schemes and modular forms, Springer Lecture Notes 350, 1973, 69–190. [36] Katz N., Mazur B., Arithmetic moduli of elliptic curves, Annals of Maths Studies 108, Princeton University Press, 1985. [37] Kurihara M., A tameness criterion (en japonais), volume à la mémoire d’O. Hyodo, université de Tokyo, 1993, 27–36. [38] Mazur B., Modular curves and the Eisenstein ideal, Publ. Math. de l’I.H.É.S. 47, 1977, 33–186. [39] Ribet K., Galois representations attached to Eigenforms with Nebentypus, Springer Lecture Notes 601, 1976, 17–51. [40] Saito T., Modular forms and p-adic Hodge theory, Inv. Math. 129, 1997, 607–620. [41] Schikhof W., An introduction to p-adic analysis, Cambridge Studies in Advanced Math. 4, Cambridge University Press, 1984. REPRÉSENTATIONS ORDINAIRES DE GL2 (Qp ) ET COMPATIBILITÉ 63 [42] Schikhof W., Non-Archimedean calculus, prépublication, université de Nijmegen, 1978. [43] Serre J.-P., Quelques applications du théorème de Čebotarev, Publ. Math. I.H.É.S. 54, 1981, 123–201. [44] Schneider P., Teitelbaum J., Locally analytic distributions and p-adic representation theory, with applications to GL2 , J. Amer. Math. Soc. 15, 2002, 443–468. [45] Schneider P., Teitelbaum J., Banach space representations and Iwasawa theory, Israel J. Math. 127, 2002, 359–380. [46] Schneider P., Teitelbaum J., Algebras of p-adic distributions and admissible representations, Inv. Math. 153, 2003, 145–196. [47] Vishik M., Nonarchimedean measures connected with Dirichlet series, Math. USSR Sb., 1976, 216–228. C. Breuil, C.N.R.S. & I.H.É.S., Le Bois-Marie, 35 route de Chartres, 91440 Bures-surYvette, France • E-mail : [email protected] M. Emerton, Mathematics Department, Northwestern University, 2033 Sheridan Road, Evanston, IL 60208, U.S.A. • E-mail : [email protected]