l`arithmetique

 DIFFERENTES PARTIES DU
PROGRAMME :
●
ARITHMETIQUE ●
MATRICES ET SUITES L' ARITHMETIQUE
C’est la branche des mathématiques
qui étudie les nombres entiers et
leurs propriétés
Quelques mots clés:
●
Diviseurs, multiples, division euclidienne ...
●
Nombres premiers entre eux, PGCD, PPCM...
●
Nombres premiers
●
Algorithmes, ...
L'ARITHMETIQUE
ETUDE DE PROBLEMES HISTORIQUES
►ECRITURE D'UN NOMBRE ENTIER DANS DIFFERENTES
BASES UTILISEES CHEZ LES MAYAS, LES BABYLONNIENS …
►ECRITURE DES NOMBRES PREMIERS : NOMBRE DE
FERMAT, NOMBRE DE MERSENNE …
►INFINITÉ OU NON INFINITÉ DES NOMBRES PREMIERS, LÀ
EST LA QUESTION …
L'ARITHMETIQUE
ETUDE DE PROBLEMES CONCRETS
Un astronome a observé au jour J le corps céleste A qui apparaît périodiquement tous les 105 jours. Six jours plus tard, il observe le corps B dont la période d'apparition est de 81 jours. Déterminer la date de la prochaine apparition simultanée des deux objets aux yeux de l'astronome. (équation de Diophante)
L'ARITHMETIQUE
Des applications récentes :
La détection des erreurs (clé de contrôle d’un numéro INSEE, d'un code barre, d'un numéro bancaire...)
●
La correction des erreurs
●
La cryptographie (codage, internet)
L'ARITHMETIQUE
EXEMPLE DE CRYPTOGRAPHIE La cryptographie est la science du codage. Elle a été principalement utilisée dans l'histoire à des fins militaires ou politiques.
Dès l'Antiquité, on connaissait une méthode de cryptage très simple (trop simple!) : le code César, qui se perfectionna par la suite en codage affine.
L'ARITHMETIQUE
Pour commencer, à toute lettre de l'alphabet, on associe un nombre :
Soit x le nombre associé à la lettre de départ.
On se donne deux entiers a et b.
Le couple (a ; b) s'appelle la clé de codage.
On calcule : y = ax + b .
On calcule ensuite le reste de la division euclidienne de y par 26. On note c(x) ce reste.
Pour terminer,on associe à c(x) la lettre correspondante par lecture inverse du tableau.
Si a = 1 , le codage se résume à un décalage ; c'est le code César.
L'ARITHMETIQUE
Lettre initiale
M
A
T
H
S
x
12
0
19
7
18
y=3x+5
41
5
62
26
59
c(x)
15
5
10
0
7
Lettre codée
P
F
K
A
H
On a codé le mot « MATHS » avec la clé (3;5) , ce qui
donne : PFKAH.
Il existe d'autres codages possibles : Vigenère, Hill …
Le plus efficace jusqu'à présent est le codage RSA, basé sur
une clé public pour le codage et une clé privé pour le
décodage. Il utilise les nombres premiers.
CALCUL MATRICIEL
DEFINITION : m et n sont deux entiers naturels non nuls.
Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres formé de m lignes et de n colonnes.
Il existe des matrices­lignes (une seule ligne), des matrices­colonnes (une seule colonne) et des matrices carrées.
.

2
−5
1
0
3
6

CALCUL MATRICIEL
On peut additionner, multiplier des matrices entre
elles.
Il existe des matrices inverses pour les matrices
carrées :
M est l'inverse de N si et seulement si
M*N = M*N = I
I étant la matrice unité (des 1 sur la diagonale et
des 0 partout ailleurs)
CALCUL MATRICIEL
APPLICATIONS :
●
●
●
Résolution de systèmes linéaires : le calcul matriciel donne un moyen très performant de résoudre des systèmes de n équations à n inconnues.
L'utilisation des graphes : les graphes sont un outil qui permet de représenter « graphiquement » un problème donné et de le résoudre.
L'étude de mouvement de population, de marche aléatoire … ceci en relation avec les suites.
CALCUL MATRICIEL
L'un des problèmes historiques les plus célèbres est celui des ponts de Königsberg : est­il possible de trouver un parcours qui revienne à son point de départ en empruntant une fois et une seule chaque pont. C'est Leonhard Euler qui répondit à cette question et établit les premiers théorèmes de la théorie des graphes.
CALCUL MATRICIEL
Exemple : Un fumeur décide d’arrêter de fumer. On choisit d’utiliser la modélisation suivante :
• s’il ne fume pas un jour donné, il ne fume pas le jour suivant avec une probabilité de 0,9 ;
• s’il fume un jour donné, il ne fume pas le jour suivant avec une probabilité de 0,6.
On appelle pn la probabilité de ne pas fumer le n­ième jour après sa décision d’arrêter de fumer et qn la probabilité de fumer le n­ième jour après sa décision d’arrêter de fumer.
On suppose que p0 = 0 et q0 = 1.
A long terme, peut­on affirmer avec certitude que le fumeur arrêtera de fumer ?
CALCUL MATRICIEL
Soit F le sommet ”fume” et N le sommet ”ne fume pas”.
On construit alors la matrice de transition de l'état N à F :
[
0,9 0,6
A=
0,1 0,4
]
On peut établir en calculant différentes puissances de A que cette
personne à 85 % de chance d'arrêter définitivement de fumer.