Stimulateur cardiaque
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Applications des mathématiques: Stimulateur cardiaque Mathématiques Appliquées et Génie Industriel Résumé Modélisation d’un stimulateur cardiaque, appelé pacemakers en anglais, à l’aide d’équations différentielles. La simulation du coeur se fait en deux étapes, chacune d’elle nécessitant leur propre circuit électrique. Ensemble, ces deux circuits génèrent l’impulsion électrique qui stimule le coeur. Domaines du génie Électrique, Biomédical Notions mathématiques Équations du premier ordre, Équations linéaire à coefficients constants Cours pertinents Équations Différentielles Auteur(es) M. Laforest, A. Saucier, E. Chan-Tave Sommaire 1 Définition du problème 2 2 Modélisation 2.1 Étape 1 : La batterie charge le condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Étape 2 : Le condensateur se décharge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 3 3 Résolution 4 4 Interprétation des résultats 4 5 Conclusion 4 MAGI Stimulateur cardiaque 1 Définition du problème Le stimulateur cardiaque envoie une impulsion électrique au coeur à une fréquence prédéterminée. Le stimulateur cardiaque est modélisé par un simple circuit RC. Ce stimulateur est formé de deux circuits électriques qui sont, tous les deux, modélisés par des équations différentielles du premier ordre. Nous verrons comment la charge électrique dans le stimulateur et le coeur varient en fonction du temps. Dans le circuit suivant, une horloge contrôle l’interrupteur. Dépendant de sa position, soit le circuit du stimulateur ou du coeur sont activés. Le circuit est décrit par les valeurs constantes de ces composantes. E est le potentiel électrique de la batterie R est la résistance dans le stimulateur cardiaque Rcoeur est la résistance naturelle du coeur C est la capacitance On veut calculer Q = Q(t), la charge dans le capaciteur en fonction du temps. 2 Modélisation Le circuit global évolue périodiquement en deux étapes. 2 MAGI Stimulateur cardiaque 2.1 Étape 1 : La batterie charge le condensateur Le circuit est décrit par R dQ 1 + Q =E, dt C Q(0) =0 La solution est −t Q(t) = EC 1 − exp . RC 1 2.2 Étape 2 : Le condensateur se décharge Un système électronique commute l’interrupteur pour fermer le circuit qui relie le coeur à la branche RC du circuit. Le condensateur se décharge alors dans le coeur. On suppose qu’au moment où l’interrupteur change le circuit, le capaciteur est à 99% de sa capacité maximale EC. Le circuit est décrit par $ (R + Rcoeur ) dQ 1 + Q =0, dt C Q(0) =0.99EC. $ " # 3 % & ' ( ) MAGI Stimulateur cardiaque 3 Résolution La solution est Q(t) = 0.99EC exp “ −t (R+Rcoeur ) ” . 1 2 4 Interprétation des résultats Le condensateur se charge et se décharge à un taux qui dépend de la constante de temps τ = 1/(RC). L’évolution périodique du circuit global est donc : 5 Conclusion Des équations différentielles simples du premier ordre peuvent être utiles et mener à des phénomènes assez complexes quand elles sont utilisés en succession. 4
