I. Dipôle « résistance et condensateur en série

Étude expérimentale de dipôles électriques (6 points)
L'usage des calculatrices est autorisé.
Ce sujet ne nécessite pas de feuille de papier millimétré.
Les trois parties sont indépendantes.
I. Dipôle « résistance et condensateur en série »
Pour étudier ce dipôle, on réalise le circuit représenté sur la figure 1. Ce circuit est constitué
d'un générateur idéal de tension continue de force électromotrice E, d'un interrupteur K, d'un
conducteur ohmique de résistance R et d'un condensateur de capacité C.
Données : E = 4,0 V ; C = 1,0 μF.
Figure 1
1.
On utilise une interface d'acquisition reliée à un ordinateur pour observer les tensions uc et E
en fonction du temps.
a) À quels points A, B, D ou M du circuit doit-on relier les voies 1 et 2 et la masse de
l'interface pour visualiser uc sur la voie 1 et E sur la voie 2 ?
b) À t = 0, on déclenche l'acquisition en fermant l'interrupteur K. Les courbes uc = f(t) et
E = f(t) sont données dans le document 1.
Document 1
Qualifier les deux régimes de fonctionnement du circuit en choisissant parmi les adjectifs
suivants : périodique, permanent, pseudopériodique, transitoire.
Préciser les dates limitant chacun de ces régimes.
c) Quel phénomène physique se produit pendant le premier régime ?
2.
La constante de temps τ est une caractéristique de ce premier régime.
a) Déterminer graphiquement la valeur de τ en expliquant la méthode employée.
b) Donner l'expression littérale de τ en fonction des caractéristiques des éléments du circuit.
En déduire la valeur de la résistance R.
3. En appliquant la loi d'additivité des tensions, donner la relation littérale liant E, uR et uC.
Exprimer uR en fonction de i et en déduire une expression littérale de l'intensité du courant i
en fonction de E, uC et R.
À l'aide du document 1, calculer i pour t1 = 0 ms et t2 = 9 ms.
4. Sans considération d'échelle, représenter sur la copie l'allure de la courbe i = f(t).
II. Dipôle « résistance et bobine en série »
Le circuit étudié, représenté sur la figure 2, est constitué d'un générateur idéal de tension
continue de force électromotrice E, d'un interrupteur K, d'une bobine de résistance r et
d'inductance L et d'un conducteur ohmique de résistance .
Figure 2
Données : E = 4,0 V ; L = 11 mH ;
= 10 Ω.
1. À partir de la fermeture de l'interrupteur K, on observe la tension uR' à l'aide d'une interface
d'acquisition reliée à un ordinateur.
Quel est l'intérêt de faire le relevé de cette tension uR' ?
2. Le tableur du logiciel d'acquisition nous permet de calculer les valeurs de i et de tracer la
courbe i = f(t) donnée dans le document 2.
Document 2
Quel est le phénomène physique mis en évidence dans ce cas ? Quel élément du circuit est la
cause de ce phénomène ?
3. En appliquant la loi d'additivité des tensions, déterminer l'équation différentielle vérifiée
par l'intensité i du courant dans le circuit en fonction du temps.
4. Lorsqu'on est en régime permanent, i vaut alors Ip. Que devient l'équation différentielle ?
5. En déduire l'expression littérale de la résistance r de la bobine puis déterminer sa valeur en
utilisant le document 2.
III. Dipôle « bobine et condensateur en série »
Le circuit étudié, représenté sur la figure 3, est constitué d'un générateur idéal de tension
continue de force électromotrice , d'un interrupteur K à deux positions, d'un condensateur
de capacité C et d'une bobine de résistance r et d'inductance L.
Figure 3
1. Quel est le phénomène physique se produisant lorsque l'interrupteur est placé en
position 1 ? Est-il lent ou instantané ? Justifier.
2.
On bascule alors l'interrupteur en position 2 et, à partir de cet instant choisi comme origine
des dates, on relève la tension uC en fonction du temps à l'aide d'une interface d'acquisition
reliée à un ordinateur.
On obtient le graphique suivant.
En puisant dans le vocabulaire suivant, décrire le phénomène physique qui se produit dans le
circuit : apériodique, annulation, électrique, forcée, mécanique, libre, non amortie,
installation, amortie, oscillation.
3.
On souhaite suivre l'évolution énergétique du circuit rLC en fonction du temps. Pour cela il
faut calculer, à l'aide d'un tableur, l'énergie électrique Ee accumulée dans le condensateur et
l'énergie magnétique Em accumulée dans la bobine.
a) Donner les expressions littérales de E e et Em.
b) En respectant les conventions du schéma, exprimer i en fonction de la dérivée de uC par
rapport au temps.
4.
Les courbes Ee(t) et Em(t) sont données ci-après.
a) En justifiant chaque réponse, attribuer les grandeurs Ee ou Em aux courbes a et b.
b) En utilisant ces courbes, donner les valeurs des deux énergies E e et Em aux instants de dates
t1 = 0,5 ms et t2 = 2,0 ms.
Comparer les variations simultanées des énergies emmagasinées par le condensateur et la
bobine entre ces deux dates.
c) Comment évolue l'énergie totale du circuit entre les instants de dates t1 et t2 ? À quoi cette
évolution est-elle due ?
Corrigé
I. Dipôle « résistance et condensateur en série »
1.
a) La tension aux bornes du condensateur est
.
La tension aux bornes du générateur est
.
Il faut relier la masse au point M, la voie 1 au point D et la voie 2 au point A.
b) On observe un régime transitoire (pendant lequel la tension
augmente), de la date
à la date
, puis un régime permanent (pendant lequel
reste constante) audelà de .
c) Le régime transitoire correspond à la charge du condensateur.
2.
a) Pour déterminer la constante de temps , on sait qu'au bout d'une durée
la tension
aux bornes du condensateur est à 63 % de sa valeur maximale E :
On détermine alors sur le graphique l'abscisse
du point d'ordonnée
.
Sur le graphique précédent, on lit alors :
Remarque : on peut aussi déterminer par l'intersection de la tangente à l'origine et de
l'asymptote horizontale (également tracées sur le schéma ci-dessus), mais cette méthode est
moins précise, le tracé de la tangente étant facilement décalé…
b)
donc
A.N. :
3. En appliquant la loi d'additivité des tensions au circuit, on obtient :
soit
D'après la loi d'Ohm, en convention récepteur :
donc
À
À
et
,
, donc
,
, donc
4. D'après la question précédente,
varie comme
; la courbe a donc la forme
d'une exponentielle décroissante, passant par les points dont les coordonnées ont été calculées
à la question précédente.
II. Dipôle « résistance et bobine en série »
1. La tension aux bornes d'un conducteur ohmique étant proportionnelle à l'intensité du
courant qui le traverse, relever la tension
permet de suivre les variations de l'intensité
.
2. On observe sur la courbe un retard à l'établissement du courant, dû à la présence de la
bobine.
3. En appliquant la loi d'additivité des tensions au circuit, on obtient :
Finalement, l'équation différentielle s'écrit :
4. En régime permanent
est constante, donc
.
L'équation de la question précédente devient alors :
5. On en déduit
Sur le graphique ci-dessus, on mesure
A.N. :
sur l'asymptote (régime permanent) :
III. Dipôle « bobine et condensateur en série »
1. Lorsque l'interrupteur est en position 1 a lieu la charge du condensateur. Elle est quasi
instantanée car il n'y a pas de résistance dans le circuit en dehors de celle des fils ; la
constante de temps du circuit
est donc très faible.
2. Dans ce circuit rLC se produisent des oscillations électriques libres amorties (on pourrait
ajouter : pseudo périodiques).
3.
a) L'énergie électrique accumulée dans le condensateur a pour expression :
L'énergie magnétique accumulée dans la bobine a pour expression :
b) Le schéma est en convention récepteur (flèches de tension et d'intensité de sens opposés) et
q est la charge de l'armature qui reçoit le courant.
Avec ces conventions on peut écrire :
et
On en déduit
4.
a) L'énergie électrique
est maximale lorsque
est maximale ou minimale, ce qui
est le cas à
et
par exemple (voir la courbe
).
À ces dates c'est la courbe (a) qui est maximale, cette courbe représente donc les variations de
.
On en déduit par élimination que la courbe (b) représente donc les variations de
Remarque : on peut aussi raisonner sur le fait que lorsque
dérivée est nulle donc (d'après la question 3.b.)
(b) correspond à cette description.
b)
est nulle et
.
est maximale ou minimale, sa
également. La courbe
À
,
et
.
À
,
et
.
Entre ces deux dates, la variation d'énergie électrique vaut :
La variation d'énergie magnétique sur le même intervalle vaut :
En comparant ces deux valeurs, on constate que l'énergie magnétique a plus diminué que
l'énergie électrique n'a augmenté.
c) L'énergie totale (électromagnétique) emmagasinée dans le circuit vaut :
À
,
À
,
L'énergie totale diminue au cours du temps (amortissement) : cette énergie est dissipée sous
forme de chaleur, par effet Joule dû à la résistance interne de la bobine