Oscillateurs mécaniques - Poly

POLY-PREPAS
Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux
- Section i-prépa -
Chapitre 9 : Oscillateurs mécaniques
I. Oscillateur mécanique en translation : le dispositif solide-ressort
1. Définition :
Un oscillateur mécanique élastique en translation est constitué par un solide lié à l’une des extrêmités
du ressort, l’autre étant relié à un point fixe.
Le solide peut se déplacer verticalement ou horizontalement sans frottements sur un axe.
2. Force de rappel du ressort à spires non-jointives :
Position de repos du ressort
Tension d’un ressort :
avec k : constante de raideur du ressort en (N/m)
et x, allongement du ressort toujours défini par rapport à sa position à vide (en m)
:
On étire la masse vers la droite ; le ressort s’allonge :
, et comme
On comprime le ressort vers la gauche, le ressort « rapetisse » :
, et comme
Travail de la force de rappel :
est une force variable, car variant avec l’élongation x du ressort ; au cours d’un étirement ou d’une
compression (x ou –x), le travail de cette force variable est donné par :
Dynamomètre :
A l’équilibre :
En projetant sur un axe vertical :
3. Etude des oscillations libres non-amorties d’un pendule élastique horizontal
Système : {le dispositif solide-ressort}
Référentiel : terrestre considéré comme galiléen
Bilan des forces :
2ème Loi de Newton :
Projection sur
:
Equation différentielle régissant le mouvement
du dispositif {solide-ressort}
Les solutions sont de la forme :
Avec :
ou
Expression de
On a , en dérivant deux fois :
:
Expression de la période propre :
Expression de la fréquence propre :
:
:
Remarques :
·
comme
donc
de la même manière :
comme
donc :
, on a
, on a
· L’accélération
=caratéristique d’un oscillateur libre non-amorti (appelé
aussi : Mouvement Harmonique Simple MHS)
on retrouve :
·
· le mouvement est rectiligne sinusoïdal
· on parle de pulsation, période, et fréquence propres car, une fois le système lâché, plus
aucun agent extérieur ne vient le modifier, dissiper ou lui apporter de l’énergie
Phase à l’origine des dates
La phase à l’origine des dates dépend uniquement de conditions données par le texte ou énoncé de
l’exercice ; généralement, il s’agit des conditions initiales, l’une sur la position, l’autre sur la vitesse :
·
exemple 1 :
on considère la condition initiale suivante :
à t =0, x(0) =
(c’est-à-dire que l’on enregistre le mouvement à partir du départ du
dispositif étiré à sa position maximale )
d’où :
·
=
exemple 2 :
on considère les conditions initiales suivantes :
(c’est-à-dire que l’on enregistre le mouvement lorsque la masse passe par sa position de repos
(en O) et se dirige vers les x décroissants (
vitesse initiale négative)
·
on a, d’après la donnée : x(0) =
or, d’après la formule :
d’où : 0 =
·
nécessité d’utiliser la 2ème condition initiale sur la vitesse :
on a, d’après la donnée :
or, d’après la formule de la vitesse à t = 0 :
d’où :
or, si
, on a :
et effectivement, , si
donc
, on a :
ne convient pas
, on pourrait noter également :
(remarque, comme
(on constate bien sur le schéma que, à t = 0, le solide se dirige vers les x négatifs)
4. Aspect énergétique :
·
Energie potentielle élastique :
Energie potentielle élastique :
·
Energie mécanique pour un dispositif {solide-ressort} horizontal :
=
Or, comme cos²
Donc
est un système conservatif
Diagramme d’évolution des énergies en fonction du temps
Au cours d’une oscillation, il y a conversion réciproque de l’énergie cinétique en énergie potentielle
élastique, et réciproquement.
Diagramme d’évolution des énergies en fonction du déplacement
Application :
(Relation permettant d’avoir la vitesse maximale
inversement… )
lorsqu’on a la position maximale
; et