Exemple 1.7. Soit a∈E, on définit une mesure de probabilité sur (E, P(E)) en posant δa(A)=1
si a∈Aet δa(A) = 0 sinon. Cette mesure est appelée masse de Dirac en a.
Exemple 1.8. Pour tout sous-ensemble Ade Nposons µ(A) = card(A)si Aest fini et µ(A)=+∞
si Aest infini. Alors µdéfinit une mesure sur (N,P(N)) appelée mesure de comptage.
1.2 La mesure de Lebesgue
Dans cette partie on se place sur l’ensemble Rdes nombres réels. Les principaux théorèmes de
cette partie seront admis, leur démonstration dépasse le cadre d’une introduction à la théorie de
la mesure.
Remarquons qu’une intersection de tribus est encore une tribu, ce qui justifie la définition suivante.
Définition 1.9. On appelle tribu des Boréliens ou tribu Borélienne, notée B(R), la tribu engendrée
par les intervalles de R; c’est-à-dire la tribu obtenue en prenant l’intersection de toutes les tribus
contenant les intervalles.
Il faut retenir cette définition ainsi :
–B(R)est une tribu.
– Les intervalles de Rsont contenus dans B(R).
– Si Aest une tribu contenant les intervalles, alors B(R)⊂ A.
On ne change rien à la définition précédente en ne considérant que les intervalles ouverts, ou que
les intervalles fermés : un intervalle ouvert peut toujours s’écrire comme une union dénombrables
d’intervalle fermés. De même, la tribu B(R)contient les singletons. En effet, soit on considère que
{x}= [x, x]est un intervalle et donc appartient à B(R)par définition, soit on écrit
{x}=\
n≥1
[x, x + 1/n].
Par stabilité par union dénombrable la tribu B(R)contient tous les ensembles dénombrables, en
particulier l’ensemble Qdes nombres rationnels. En fait, il est difficile de construire un sous-
ensemble de Rqui ne soit pas Borélien.
Théorème 1.10. Soient µ, ν deux mesures définies sur (R,B(R)), si µet νcoïncident sur les
intervalles alors µet νsont égales. Autrement dit si µ(I) = ν(I)pour tout intervalle Ialors
µ(B) = ν(B)pour tout Borélien B.
Théorème 1.11. Il existe une unique mesure Lsur (R,B(R)) vérifiant
L([a, b]) = b−a
pour tout intervalle [a, b]. Cette mesure est appelée mesure de Lebesgue.
On admettra ces deux théorèmes. Remarquons quand même que l’unicité de la mesure de
Lebesgue est une conséquence du Théorème 1.10.
Proposition 1.12. La mesure de Lebesgue est invariante par translation : pour tout x∈Ret pour
tout B∈ B(R)l’ensemble x+Best aussi Borélien et
L(x+B) = L(B).
Démonstration. Commençons par montrer que si B∈ B(R)alors x+B∈ B(R). On fixe x∈Ret
on pose
A={B⊂R, x +B∈ B(R)}.
On vérifie aisément que Aest une tribu qui contient les intervalles. Par conséquent B(R)⊂ A, ce
qu’il fallait démonter.
Pour B∈ B(R)on définit
M(B) = L(x+B).
Alors Mest une mesure sur (R,B(R)) (exercice) et pour tout intervalle [a, b]on a
M([a, b]) = L([x+a, x +b]) = (b+x)−(a+x) = b−a=L([a, b]).
Les mesures Met Lcoïncident donc sur les intervalles. D’après le Théorème 1.10 on obtient
L=M, ce qui est le résultat.
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