Sur l`ordre maximum d`un élément dans le groupe Sn des

Séminaire Delange-Pisot-Poitou.
Théorie des nombres
JEAN-LOUIS NICOLAS
Sur l’ordre maximum d’un élément dans le groupe
Sndes permutations, II
Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres, tome 8, no2 (1966-1967),
exp. no11, p. 1-18
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11-01
SUR
L’ORDRE MAXIMUM
D’UN
ÉLÉMENT
DANS
LE GROUPE
Sn
DES
PERMUTATIONS,
II.
par
Jean-Louis NICOLAS
Séminaire DELANGE-PISOT-POITOU
(Théorie
des
nombres)
8e
année,
1966/67,
n° 11
6
février
1967
1.
Rappel
de
propriétés
élémentaires
de
g(n)
([l]~
§
61,
et
jl2]).
g(n)
est
croissante,
mais
non
strictement
croissante ;
g(n)
=
sup
[p.
p.
c.m.
(ni ,
n ~ ... ~n.)
];
n.+n~+...+iL==n
g(n)
=
sup
(p
premier,
Définition. -
Soit l : N*
~ N .
~
est une
fonction
arithmétique
additive :
et
sa
restriction aux
nombres
pa
( p
premier, a
E
N*)
est
l’application
iden-
tique.
On
a
k
pour
tout
k 3
et
,~ (k~
=
k
entraine
k
=
p~ .
Remarque. - Si 03B1 = 0 , l(p03B1) = 0 ~
p03B1 = 1 .
On a
donc :
C e
qui
équivaut
à
Remarquons
que
(3)
est
équivalent
à
(3’~ :

Propriété
caractéristique. -
Les
deux
propriétés
suivantes
sont
équivalentes :
Démonstration.
(b)
.-~~>
(a) .
Soit
m
vérifiant
(b).
Si
m ~
g(r~~ ,
comme
g
est croissante
et
non
bornée,
il
existe
n
tel
que
(3’)
et
(2)
donnent :
On
a
construit
M
=
g(n) ,
M
>
m
et ~ (r~~~ ~ (m~ ,
ce
qui
contredit
l’hypothèse.
COROLLAIRE. -
Si
g(n)
et
si
~(g(n)) ,
al rs
M
g(n) .
C’est une
autre
façon
d’écrire :
(a)
==>
(b) .
Remarque. -
Soit
f :
N* ~ R
une
fonction
arithmétique.
La
propriété
caractéristique
s’écrit
alors :
L’ensemble
des
nombres
où £
est
petite,
est
exactement
g(N) .
Soit
d(n)
le
nombre
de
diviseurs
de
n
([1], §
60).
RAMANUJAN
[3]
appelle
"Highly
composite
number"
un
nombre
en
lequel
la
fonction
d
est
grande,
et
utili-
se
pour
étudier
ces
nombres des
méthodes
qui
peuvent
s ’appliquer
à
d’ autres
fonc-
tions,
et
en
particulier
à ~ .
Rel ation
entre ~
et
g .
1°
Calcul
de
~(g(n)) .
On
définit sur
N
la
relation
d’équivalence
Soit n
le
plus
petit
élément
de
la
classe
de
n .
On a

(3’)
donne
n ,
et
~2~
donne
.~(~(n~~ 1
n 9
donc
On
a
en fait
démontré
les
équivalences :
2°
,~
est
strictement
croissante
sur
Soit
g(m)
g(n) ,
alors
g(m)
g(n) ,
donc
m
n
( g
est
croissante)
et,
avec
(2) ,
3 °
g(l(N))
> N
pour
tout
N ~ N* .
L’égalité
a
lieu
si,
et
seulement
si9
N
E
g(N) .
Puisque
g(l(N)) =
sup
k f
N
est
une valeur
possible
de
k
9
et
g(l(N))
>, N .
Si
N ~
g(1V) ?
il
ne
peut
y
avoir
égalité,
car
g(l(N))
E
g(N) .
Si
~J
==
g(n) ,
g(~~ (g(n) ) )
=
g(n)
=
g(n) .
4°
Soient
A
E
g(~~ p
et
A~
le
suivant
de
A
dans
alors
On
a
g(n)
g[j&#x26;(A’) -
1]
g(l(A*))
=
A* ,
car
l(A*)
e
l(g(N)).
D’autre
Part,
> g(2(A~~
=
A ,
donc
=
A .
5°
On
a
>, l~ ~
donc
g(~ (i~~ ~
~ A ~ .
Or
si ~(N)
~ ( A ~ 9
on
aurait
g(~(N)) ~
A
d’après ~4~ ~
d’où
contradiction.
Finalement,
la
restriction
de ~
à
g(N)
est une
bijection
croissante
sur
~(g~N~ ~ ~
et
l’application réciproque
est
g .
(4)
nous
permet
de
calculer
g(n)
si
n ~
,~~g(N~ ~ s
et
(5)
nous
donne
une
minoration
si
N ~
g~~J} .
2.
Etude de
la
décomposition
en
facteurs
remiers
de
g(n) .
Pour
cela,
on
va
utiliser
systématiquement
la
propriété caractéristique.
On
rap-
pelle
que
v
P (N)
désigne
le
plus
grand
exposant
a
tel
que
p
divise N .
PROPRIETE
1. -
Soient
p,
q
deux
nombres
premiers, p q .
Si
alors {3
$
a
+ 1 .

Démonstration. -
On
peut
supposer P
2
(si 03B2
=
0
ou 1 ,
c’est
évident).
Soit
M = p q g(n) ,
avec
k
défini
par
> q .
On
a
~~
> g(n~ ~
donc
~(~2~
> ~’~ (g(n~ ~ 9
donc
si
ce
qui
entraîne
Si a
=
0 ,
>
~(g(n))
s’écrit :
les
calculs
sont les
mêmes 9
la
majoration
(6)
pq -
1
pq
n’ayant
pas
à
être
faite.
PROPRIÉTÉ
2. -
Soit
p
le
plus
grand
nombre
premier
divisant
g(n) .
On
a
v
p ~g~n~ ~ = 1 ,
sauf
pour
n=4 .
On
désigne
par q
le
nombre
premier
suivant
p .
D’après
le
postulat
de Bertrand
(C1~, §
22)~
q 2p ,
donc
car
la
fonction
o~
)2014~
p~" -
p~
est
décroissante.
Si
p ~
3 y
~(M) -
0 ,
il
y
a
contradiction.
Si
p
=
2 ,
il
reste
à résoudre
g(n)
=
2~ .
Si
3,
M
=
2~
3
>
g(n)
et
j&#x26;(M) -
=
3 -
2~~
0 ;
les seules
solutions
sont
g(2)
=
2 et
g(4)
=
4 .
Seule
cette
dernière
est
exception.