Cours 2 : algorithme du simplexe - Laboratoire d`Informatique de

Cours 2 : algorithme du simplexe
Christophe Gonzales
LIP6 – Universit´ e Paris 6, France

Plan du cours
1Rappels sur l’algorithme vu la semaine derni`
ere
2D´
efinition de l’algorithme du simplexe
3Interpr´
etation g´ eom´ etrique
4Crit `
eres de choix pour les variables entrantes
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Rappels sur le cours de la semaine derni` ere (1/10)
Forme standard
max
n
X
j=1
cjxj
s.c.
n
X
j=1
aij xj≤bi(i=1,2,...,m)
xj≥0(j=1,2,...,n)
Algorithme de r ´ esolution (1/2)
1Ajouter des variables d’´
ecart xn+1,...,xn+m:
xn+i=bi−
n
X
j=1
aij xj(i=1,2,...,m)
z=
n
X
j=1
cjxj
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Rappels sur le cours de la semaine derni` ere (2/10)
Algorithme de r ´ esolution (2/2)
2premi`
ere solution r´ ealisable : x0= (0,...,0,b1,b2,...,bm)
variables en base :xn+1,...,xn+m,hors base :x1,...,xn
3s’il existe un coefficient positif dans z, soit xila variable
correspondante, sinon aller en 8
4calculer la valeur maximale de xide mani`
ere ` a ce que les
variables en base restent positives ou nulles. Soit xjune
des variables en base qui s’annule
5faire entrer xien base, faire sortir xjde la base
6exprimer les variables en base en fonction des variables
hors base
7retourner en 3
8on est `
a l’optimum. Les variables en base d´ efinissent la
solution optimale
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Rappels sur le cours de la semaine derni` ere (3/10)
Probl` eme ` a r´ esoudre :
max x1+5x2+x3
s.c.x1+3x2+x3≤3
−x1+3x3≤2
2x1+4x2−x3≤4
x1+3x2−x3≤2
x1≥0,x2≥0,x3≥0
Premi` ere ´ etape : ajouter des variables d’´ ecart :
max x1+5x2+x3
s.c.x1+3x2+x3+x4=3
−x1+3x3+x5=2
2x1+4x2−x3+x6=4
x1+3x2−x3+x7=2
x1≥0,x2≥0,x3≥0,x4≥0,x5≥0,x6≥0,x7≥0
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