Aspects combinatoires des pavages

Aspects combinatoires
des pavages
Frédéric Chavanon
LIP, UMR CNRS - INRIA - Univ. Lyon I - ENS Lyon 5668
(frederic.chavanon)@ens-lyon.fr
1
Plan
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Introduction- Problèmes de pavages
Pavages de zonotopes
Premier codage, structure d’un pavage
Deuxième codage, espace de pavages
Structure en codimension 2
Conclusion et perspectives
2
1- Introduction
3
Problème de pavage
4
Questions classiques
– Pavabilité
– Nombre de pavages
– Génération aléatoire uniforme
Structure de l’espace des pavages
5
Etat de l’art :
cas des pavages par dominos ou losanges
Pavabilité :
Algorithme de Thurston
6
Nombre de pavages :
Losanges : Formule de MacMahon
H(a + b + c)H(a)H(b)H(c)
H(a + b)H(a + c)H(b + c)
H(n) = (n − 1)!(n − 2)!...2!
a
b
c
Dominos : Formule de Kasteleyn

1/2
m Y
n
Y
πj
πk

(2 cos(
) + 2i cos(
))
m+1
n+1
j=1
k=1
7
Structure de l’espace des pavages : treillis distributif (Propp,
Rémila)
Génération aléatoire uniforme (Propp-Wilson,
Luby-Randall-Sinclair, Wilson )
Génération exhaustive - algorithme de Thurston modifié
(Desreux-Rémila)
8
2- Pavages de zonotopes
9
Zonotope
V = (v1 , v2 , v3 , v4 ), M = (2, 3, 1, 1), D = 4
(
D
X
)
λi vi , 0 ≤ λi ≤ mi , mi ∈ M, vi ∈ V
i=1
v4
v3
v2
v1
taille t =
PD
10
i=1
mi
Pavages de zonotopes
zonotope
proto-tuiles
pavage
11
Pavages de zonotopes
–
–
–
–
Pas de grille sous-jacente (résultats de Thurston non applicables)
Définis en toute dimension
Relations avec physique (quasicristaux), structures apériodiques
Combinatoire (étude des espaces de pavages)
12
Retour aux questions classiques
Cas des pavages de zonotopes
– Pavabilité - évident avec les définitions données
– Nombre de pavages - pb ouvert même dans le cas
planaire (avec D > 4)
– Structure de l’espace des pavages - ( Kenyon,
Elnitsky : connexité par flips pour d = 2)
– Génération aléatoire - (Propp-Wilson,
Luby-Randall-Sinclair pour D = 3 d = 2)
13
Flips, espace de pavages
14
Cas des pavages de zonotopes
– Treillis distributif en codimension 1.
– Connexe pour les pavages de dimension 2. (Kenyon,
Elnitsky)
15
3- Premier codage,
structure d’un pavage
de dimension 2
16
Graphe induit par la relation d’adjacence
17
Problème de caractérisation
18
Sections et familles de De Bruijn
C
A
B
mi =nombre de sections de la famille i.
Deux sections de familles différentes se coupent exactement une
fois.
Deux sections d’une famille donnée ne se coupent pas.
19
Graphe de De Bruijn
6
1
3
4
1
2
5
6
6
6
6
1
1
2
3
4
5
3
5
4
5
2
2
3
4
5
4
3
1
2
Théorème : il existe un algorithme en O(n), où n est le nombre de
tuiles, construisant un pavage T à partir de son graphe de de
Bruijn.
20
Graphe avec origines
6
5
4
3
1
2
Problèmes :
– calculer les multiplicités
– construire les lignes de de Bruijn
21
Eventail, bordure
22
Construction de la bordure
L
t3
t1
t2
Théorème : il existe un algorithme en O(m · n), où n est le
nombre de sommets et m la somme des multiplicités, calculant la
bordure d’un graphe de pavage avec origines.
23
Construction des lignes de De Bruijn
z
y4
x1
y3 y2
x2
y1
x3
x4
Théorème : il existe un algorithme de complexité O(m · n), où n
est le nombre de sommets et m la somme des multiplicités,
calculant le graphe de de Bruijn d’un pavage à partir de son
graphe avec origines et de sa bordure.
24
Résultats
– représentation indépendante de la géométrie
– caractérisation des graphes effectivement codants
25
4- Deuxième codage, espace de
pavages
26
Opération de suppression
27
Commutativité des suppressions
28
Codage induit par les suppressions
0
1
0
0
29
1
1
1
Problème de reconstruction
1
1
1
0
30
1
0
1
Théorème de reconstruction
D
D−1
d+2
d+1
Théorème : la première étape suffit
31
Représentation
Combinaisons
Contrainte de ligne
Contrainte de flèche
32
Diagramme de représentation
33
5- Structure en codimension 2
34
Ordre des flips, ordre des mineurs
Ordre de flips : T ≤f lip T 0 ⇔ suite de flips montants de T à T 0
Ordre des mineurs : T ≤mineur T 0 ⇔ pour tout (d + 1)-mineur X,
XT ≤ XT 0
Théorème : Ces deux ordres sont identiques.
35
Idée de preuve : graphe d’obstacles
p’
1
p
p
1
L
p
d+2
L’
L
p
2
L
p’
p’
d+2
L
2−
L’
L’
L’
L
1−
36
L’
L
3+
L’
Structure du graphe d’obstacles
n
1
+
1
+
1
+
_
(n−1)
_
_
(n−1)
2
2
+
2
n
+
+
_
n
_
(n−1)
_
_
n
+
(n−1)
2
_
n+
1
37
Résultats
– Codage par les suppressions
– Théorème de reconstruction
– Structure d’ordre gradué pour la codimension 2⇒
connexité par flips en codimension 2.
– Pas de structure de treillis dans le cas de codimension
2
38
6- Conclusion, perspectives
39
Conclusion
– ouverture vers un cas particulier sans grille
sous-jacente
– adaptation à des dimensions supérieures à 2
– caractérisation des pavages et représentation en
grandes dimensions
– connexité par flips en codimension 2
40
Perspectives
– Distance de flips
– Adaptations aux plus grandes codimensions
– Génération aléatoire uniforme
41