Pavages du Plan
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Géométrie Discrète Géométrie Algorithmique Pavages du Plan Prof. János Pach Combinatorial Geometry Computational Geometry Prof. János Pach Polygones et Cristaux Art Egyptien Art Hindou Art Chinois Art Chinois Sol du Capitole (Rome) Mosaïque Bizantine Un pavage du plan consiste à répéter périodiquement un motif de manière à couvrir toute sa surface. Depuis toujours les pavages périodiques avec un ou plusieurs éléments, sont appréciés pour leur pouvoir hautement décoratif. Un polygone est une figure géométrique plane, formée d'une suite cyclique de segments consécutifs délimitant une portion du plan. Un polygone régulier possède des angles et des longueurs de côtés identiques. Parmi les polygones réguliers, seuls le triangle équilatéral, le carré et l’hexagone permettent de réaliser des pavages réguliers du plan. En 1891, le mathématicien et cristallographe Russe E.S.Fedorov a identifié 19 types de pavages périodiques du plan. Microscope à sonde locale STM 5 nm² © Wang & Gao (2004) Silicium Si(111)-7x7 Microscope électronique © S.J.Pennycook ORNL (avril 2010) Atomes de Bore Microscope effet tunel 2.2 nm² © L. Barbier (2003) Alliage quasicristallin l-AlPdMn Atomes Polygones réguliers Art Islamique (Alambra) Art Islamique Pavages apériodiques et hyperboliques Art Islamique (Albambra) Pavages quasipériodiques (Iran) Pavages au fil de l'histoire M.C. Escher Il existe des motifs permettant de paver le plan de manière apériodique, c'est à dire pour lesquels le motif dupliqué ne se répète jamais à l'identique. Le pavage apériodique le plus célèbre est celui de Penrose qui était déjà présent dans l’Art Islamique. Il est basé sur des angles pentagonaux de 2π/5. En 1984 Shechtman et al. observent, à l'aide de diffractions aux rayons X, une structure apériodique dans un alliage de quasi-cristal. Sous l’influence du mathématicien H.S.M. Coxeter, l'artiste néerlandais M.C. Escher réalise, entièrement à la main, de fabuleux pavages hyperboliques. Dans cet espace géométrique, l'axiome des droites parallèles (5ème postulat d'Euclide) n'est plus respecté. Diffractions quasi-cristaux
