Pavages du Plan

Pavages du Plan
Polygones et Cristaux
Un pavage du plan consiste à répéter
périodiquement un motif de manière à
couvrir toute sa surface. Depuis toujours
les pavages périodiques avec un ou
plusieurs éléments, sont appréciés pour
leur pouvoir hautement décoratif.
Un polygone est une figure géométrique
plane, formée d'une suite cyclique de
segments consécutifs délimitant une
portion du plan. Un polygone régulier
possède des angles et des longueurs de
côtés identiques. Parmi les polygones
réguliers, seuls le triangle équilatéral, le
carré et l’hexagone permettent de réaliser
des pavages réguliers du plan. En 1891, le
mathématicien et cristallographe Russe
E.S.Fedorov a identifié 19 types de
pavages périodiques du plan.
Pavages apériodiques et
hyperboliques
Il existe des motifs permettant de paver le
plan de manière apériodique, c'est à dire
pour lesquels le motif dupliqué ne se
répète jamais à l'identique. Le pavage
apériodique le plus célèbre est celui de
Penrose qui était déjà présent dans l’Art
Islamique. Il est basé sur des angles
pentagonaux de 2π/5. En 1984 Shechtman
et al. observent, à l'aide de diffractions aux
rayons X, une structure apériodique dans
un alliage de quasi-cristal.
Sous l’influence du mathématicien H.S.M.
Coxeter, l'artiste néerlandais M.C. Escher
réalise, entièrement à la main, de fabuleux
pavages hyperboliques. Dans cet espace
géométrique, l'axiome des droites
parallèles (5ème postulat d'Euclide) n'est
plus respecté.
Combinatorial Geometry
Computational Geometry
Prof. János Pach
Microscope électronique
© S.J.Pennycook ORNL (avril 2010)
Atomes de Bore
Microscope à sonde locale STM 5 nm²
© Wang & Gao (2004)
Silicium Si(111)-7x7
Microscope effet tunel 2.2 nm²
© L. Barbier (2003)
Alliage quasicristallin l-AlPdMn
Atomes
Polygones réguliers
Diffractions quasi-cristaux
Géométrie Discrète
Géométrie Algorithmique
Prof. János Pach
Art Hindou Art Egyptien
Art Chinois Art Chinois
Mosaïque Bizantine
Sol du Capitole (Rome)
Art Islamique (Alambra)
Art Islamique
Art Islamique (Albambra)
Pavages quasipériodiques (Iran)
Pavages au fil de l'histoire
M.C. Escher