Mathématiques/DM 16-17/DM15 Matrices-probabilités-DL

PTSI1 – 2016/2017
Lycée La Martinière-Monplaisir – Lyon
Devoir maison 15.
A rendre le lundi 27 mars 2016
Exercice 1
Un feu bicolore, lorsqu’il est rouge, passe au vert avec la probabilité p et, lorsqu’il est vert,
passe au rouge avec la probabilité q (0 < p < 1, 0 < q < 1).
On note rn (respectivement vn ) la probabilité que ce feu soit au rouge (respectivement au vert)
à l’instant t = n.
On suppose que r0 + v0 = 1.
(
rn+1 = (1 − p)rn + qvn
1◦ ) Montrer que : ∀n ≥ 0,
.
vn+1 = prn + (1 − q)vn
2◦ ) En déduire l’existence d’une matrice A que l’on explicitera telle que :
rn+1
r
∀n ≥ 0,
=A n
vn+1
vn
(
B + C = I2
3◦ ) Déterminer deux matrices B et C carrées d’ordre 2 telles que :
B + (1 − p − q)C = A
On explicitera les coefficients de B et C.
.
4◦ ) Montrer que B 2 = B, C 2 = C. Calculer BC, CB.
5◦ ) En déduire An pour tout n ≥ 1. On donnera ses coefficients.
6◦ ) Donner alors les expressions de rn et vn en fonction de n, r0 et v0 .
7◦ ) Montrer que les suites (rn ) et (vn ) convergent et donner leurs limites.
Exercice 2
Soit N un entier ≥ 2.
Un athlète saute successivement par-dessus des barres numérotées de 1 à N . Il s’arrête au
premier échec, ou bien lorsqu’il a passé la barre numéro N .
Lorsqu’il tente la barre numéro i, il a une chance sur i de réussir.
Pour i ∈ {1, . . . , N }, on note l’événement Ai : « l’athlète a franchi la barre numéro i » et
l’événement Bi : « la dernière barre réussie par l’athlète est la barre numéro i ».
Remarque : Il faut comprendre que, si l’athlète ne franchit pas une barre, il ne franchit pas les
suivantes, puisqu’il n’a même pas le droite de les tenter.
1◦ ) Pour i ∈ {1, . . . , N }, calculer P (Ai ).
2◦ ) Démontrer que, pour tout i ∈ {1, . . . , N − 1},P (Bi ) =
3◦ ) Que vaut P (BN ) ?
1
1
−
.
i! (i + 1)!
Exercice 3
Pour tout paramètre k réel, on note fk : x 7→ ex cos(kx).
1◦ ) Déterminer un DL3 (0) de fk .
2◦ ) En déduire l’équation de la tangente T au point d’abscisse 0.
3◦ ) Déterminer les paramètres k tels que la courbe traverse sa tangente T . Illustrez graphiquement.
Exercice 4
Déterminer un équivalent en 0 de f : x 7→ xx − (sin x)x .
2