Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres J EAN -M ARC D ESHOUILLERS Sur la constante de Šnirel’man Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres, tome exp. no G16, p. G1-G6 17, no 2 (1975-1976), <http://www.numdam.org/item?id=SDPP_1975-1976__17_2_A19_0> © Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres (Secrétariat mathématique, Paris), 1975-1976, tous droits réservés. L’accès aux archives de la collection « Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ G16-01 Séminaire OELANGE-PISOT-POITOU (Groupe d’études de Théorie de s année, 1975/?6, 17e n~ G16, 6 nombres) 8 p. mars 1976 SUR LA CONSTANTE DE 0160NIREL’MAN par Jean-Marc DESHOUILLERS 2 ] est de somme celui de V. BRUN somme de deux GOLDBACH siècle, pa ir L supérieur à deux nombres premiers ; le premier résultat significatif est qui démontre (vers 1920) que tout entier pair assez grand est Au milieu du 18e a affirmé que tout nombre entiers admettant chacun plus 9 facteurs premiers ; au été suivie par différents auteurs, et le dernier résultat ( 196b~19?3 ) qui CHEN FING RUN d’un nombre premier et d’un nombre multiplicité) ; avec démontre que tout entier ayant au (dans le second résultat Snirelman) tel que tout entier à majorations quccessives de x Les premiers. supérieur pair grand est somme facteurs premiers (comptés assez chronologique) est dû entier n (appelé constante est somme d’au 1 ont été a date est celui de l’ordre qui démontre l’existence d’un L. G. deux plus en cette voie (à plus K à de nombres connaissance) : ma ) :2.1010 ( 19b9 ) :6.10g KLIMOV PILTAI et SEPTITSKAJA ( 19?3 ) : 75, puis (1975) :~ 27. DESHOUILLERS VAUGHAN En outre, VAUGHAN indique dans rique est ( 1972) : 67 son 23 . En reprenant cette ci-dessous) pour les article méthode, valeurs de grandes 1.’15 x , autre méthode dont la limite une pour une nous minoration de A(x) (,voir démontrerons : K: $ 26 . La démonstration s’effectuera (I) A(x) Soit deux nombres ( II) 26 de ( III) aux on (I) on également montrera somme Je tiens à remercier R. C. de son article qui x sont sommes de supérieur à 69qp(247) est somme premiers. premiers, est pairs inférieurs à que tout entier A l’aide des évalutations exp(250), parties : a On déduira alors du nombres 3 le nombre d’entiers premiers, nombres en (à paraître numériques de ROSIER et SCHOENFELD relatives et inférieur à que tout entier, supérieur à 1 plus 26 nombres premiers. qui m’a aimablement communiqué le manuscrit dans le Journal de Grelle (J. tûr reine und angew. Math.)). 1re partie : Minoration de A(x) pour grande x et partie, x désigne un nombre réel supérieur à k un nombre entier positif ou nul inférieur à 51 . La lettre p (éventuellement indexée.) désigne exclusivement un nombre premier impair, et on commettre l’abus Dans toute cette d"écriture consistant à écrire n(x) premiers impairs inférieurs nombres ou (resp. égaux le cardinal de l’ensemble des notons k , !~) ~ à (resp. x pour le nombre de de nombres couples à ~; et congrus On a la en- n ; situés p h est majoration le lemme 8 de VAUGHAN et la remarque D’après De (p. , PL) premiers appartenant à l’ intervalle ) (kx/2) , (kx/2) + x) et dont la somme vaut fin, désignons par R(k , x) un majorant du nombre de nombres premiers dans un intervalle de longueur x et tels que )h - p )( est premier, où un entier pair supérieur à x . k ) ; mod (1), (2) majoration triviale de et de la qui le suit, R(h , x) si on a x est petit, on déduit : pour tous nombres réels maintenant le membre de les expliquer Pour nous ne 3 , 03A3 RO(n) = 5 , (3) cas k = (3 en 0 ~Z 1/2 ; 6 ~~ dévelcppant le produit intervenant dans les (pour minorons cas d = 3 et d = 5 , d’écriture). des raisons évidentes on a : = d de satisfaisant simplifications ;3, 11 .3 2l 112 (03C0(x 203C0(x;3,1)03C0(x;3,2)+1 2(03C0(x;3,1) . 3 |n Pour gauche traite rons que le d = Pour ô ~ , ~~ on a : + 2 03C0( 03C0(x;3,2))2 + 1 x))2 . n n 1 2(03C0(x))2 . ((.x/d) En utilisant les majorations ((due 1) (trivial) 2x/(cp(d) log(x/d)) et ainsi que les estimations fournies par ROS..ER et à MONTGOMERY et SCHOENFELD pour la + foaction , un calcul sans grand intérêt conduit à la mino- ration. x) Soit x ~ pour exp(240) Reprenons soit, alors un 100 , et (3) minorant de et (4) avec on a : ô1 = 0,03 , ô2 = 0,2 à l’aide des estimations de ROSSER et k théorème des on a bien la 2e xs s + 2 partie : pour = 50 : on trouve : ~e x ésentation de grands nombres l’infini : c’est le vers vaut 24,526851... de en un nombre entier pair. inferieur NO , tout .entier supérieur à sNO/2 + 62 s ou et remiers égal à 24 ; si est somme d’au plus nombres premiers. Il est la SCHOENFELD, x) tend vers 1 quand x tend nombres premiers) $ on en déduit que le ¿ minoration ~I~. PROPOSITION 1. - Soit A(x) K x 5. pour (pour et proposition que cette proposition implique l’étape (II). Nous la déduirons de suivante. PROPOSITION 2. - Soit B une suite strictement croissante d’entiers positifs nuls, contenant 0 $ ou tifs de B dépassant pas implique k.B(n) ~ n re comme Soit 0 et sinon ; pour tout entier et on le n1i on 2ème positif éléments de alors kn1 n + on appartenant à et d’un entier tel que n + k.B(n) 1) peut s’écri(0 , k - 1] , n , s’il ou [2~, p. 20, pour tout entier positif égal à k tel que n puisse s’écrire (B* : n = b1 + existe, = positif constituée: 1 + n , (n1~ k (sinon n1 k est somme de moines des nombres commence = la somme n ne serait pas éléments de (B ; kn1 ’ km1 + n + + 1 , éléments de B , d’où la proposition 2. k on comme écrit 1) + un au par les éléments peut prendre par hypothèse : on appartient est somme de proposition 1, et ~’ , n, il existe b~ . + ... (k - h) + (k - 1) Pour obtenir la B 3’ de tout entier donc, pour suite supérieur à m on a n1> 0 , alors ni cas : n + n , n~ = 0 ,alors 8 cas : maximal), .., , tout entier plus grand entier inférieur h entier 1er sont deux entiers tels que nO déduit en de h et posi- pose D’oprès le théorème un k éléments de B k de effet en X . Si ne somme le cardinal de l’ensemble des éléments B(X) note on par 1/2(p. s/2 + appliquer la proposition 2 à la p.) , à laquelle on adjoint 0; et supérieur à sNO/4 + 5s/4 est somme de s/2 éléments de S et d’un entier appartenant ~ (0 , ( s/2) - 1,) , et, en multipliant par nombres s + 5s/2 + 2 est somme d’au plus deux, tout entier supérieur à il s’ensuit que tout entier et d’un entier premiers ou égal à 24 , de deux nombres 3e partie : appartenant à s + 1) ; puisque il suffit de vérifier que tout entier dans s est inférieur (2, 25) est somme premiers. Eeprésentation PROPOSITION 3. - Soit inférieur à (2 , exp( 17,70 nombres premiers. m + de etits nombres un entier supérieur m10,21 } et supérieur de deux nombres en égal à ou à 1 , 2 : tout est somme remiers entier, d’au plus m + 3 La trosième étape On par la vérification directe de commence inferieur à 653 , resulte de cette est somme proposition, premiers consécutifs inférieurs nombres 2 68~i 10~2 tout entier inférieur à que tout entier ce de deux nombres 23 . m = avec la différence entre premiers, puisque à ? ~ 68bi 10~~ (et supérieur est (cf. [,1]) ~ 652 plus au 1) à positif pair, est somme d’au plus quatre nombres premiers. Pour dépasser Tout nombres k (b) Pour tout entier 1 + utilise le on entier, supérieur à premiers, mier entre k valeur, que l’on ait trois entiers Supposons (a) cette X n - nombres principe suivant : X , Y et inférieur 1 ou tels que : égal et n + X n X entre est tabulée dans e entier, supérieur à plus quatre nombres premiers. (b.) + est nombre pre- somme d’au plus ~Z~ nous permettent de rempla- Y , et il existe nombre un premier entre [3 ] , page 267. peut alors démontrer la proposition 3 : Ca1) n Y un si où la fonction On il existe plus par la suivante : Pour tout entier n est somme d’au premiers. l’étape (b) (b’) X , n ; alors tout entier inférieur à et Les estimations effectives de ROSSER et SCHOENFELD cer à (X, Y) , dans l’ intervalle n k et Tout e(28) = exp(28,61) (a~) 3,596.1(3 20145 , si n e Tout entier dans 1 exp(28,6l ) , et inférieur à et il existe donc un nombre (exp(28,6t) , exp(38,12)) , (2 , exp(38,12)) est somme est somme d ’aw premier entre n et d’où l’on déduit : plus cinq noires pre- d’au miers. e(35) exp(38,12) (b~ ) n + (a~) miers ... = 1,8315.1(3 20145 , si n e Tout entier dans et il existe dore un nombre ( exp(38,12) , exp(48,33 )) , (2 , exp(48,33 )) et premier on est somme d’au a entre n et donc : plus six nombres pre- ... Puisque la fonction obtiendra la proposition 3 es (L ~~ croissante avec, on G16-06 BIBLIOGRAPHIE [1] BRENT (R.P.). - Math. of [2] The first occurence of large gaps between successive t. 27, 1973, p. 959-964. primes, Comput., HAIBERSIAM (H.) and ROTH (K. F.). - Sequences, vol I. - Oxford, Clarendon Press, 1966. [3] ROSSER (J. B.) 03B8(x) and and SCHOENFELD (L.). - Sharper bounds for Chebyshev functions Math. of Comput., t. 29, 1975, p. 243-270. 03C8(x), (TexteJean-Marc DESHOUILLERS Mathématiques Université de Bordeaux-1 351 cours de la Libération 33405 T ALEN0152 reçu le 19 juillet 1976)