Chapitre 7 : Arithmétique, Dénombrement

Chapitre 7 : Arithmétique, Dénombrement
1
Entiers naturels
Nous supposerons connu l’ensemble N, ainsi que ses propriétés usuelles. On donne simplement les résultats suivants :
Proposition 1.1
• Toute partie non vide de N admet un plus petit élément.
• Toute partie non vide et majorée de N admet un plus grand élément.
1.1
Principes de récurrence
Théorème
1.2 (Principe de récurrence) Soit P (n) une assertion à une variable n. Si

 P (0)
et

∀n ∈ N, P (n) ⇒ P (n + 1)
alors ∀n ∈ N, P (n) est vraie.
Rem
On peut de même montrer qu’une propriété est vraie pour tout n > n0 en remplaçant l’initialisation par
P (n0 ).
Corollaire 1.3 (Récurrence d’ordre p) Soient P (n) une assertion à une variable n et p ∈ N∗ . Si

 P (0), P (1), . . . , P (p − 1)
et

∀n ∈ N, (P (n) et P (n + 1) et . . . et P (n + p − 1)) ⇒ P (n + p)
alors ∀n ∈ N, P (n) est vraie.
Rem
• Par exemple pour p = 2 (récurrence double), il faut voir si P (0) et P (1) sont vraies (initialisation) et
si ∀n ∈ N, (P (n) et P (n + 1)) ⇒ P (n + 2).

•
ne pas oublier de faire p initialisations.
Exemple 1.1 Soit (un )n∈N la suite définie par récurrence par u0 = 2, u1 = 3 et ∀n ∈ N, un+2 = 3un+1 − 2un . Montrons
par récurrence d’ordre 2 sur n ∈ N la propriété P(n) : un = 2n + 1 .
Corollaire
1.4 (Récurrence forte) Soit P (n) une assertion à une variable n. Si

 P (0)
et

∀n ∈ N, (P (0) et P (1) et . . . et P (n)) ⇒ P (n + 1)
alors ∀n ∈ N, P (n) est vraie.
Rem
L’hérédité peut se lire Supposons la propriété vraie jusqu’au rang n. Exemple 1.2 On définit la suite (un ) par u0 = 1, et pour tout n > 1, un =
n−1
X
k=0
uk . Déterminer le terme général de (un ).
1.2
Arithmétique dans N
Définition 1.1
• On dit qu’un entier d ∈ N divise n ∈ N ou que n est un multiple de d s’il existe k ∈ N tel que
n = kd. On le note d|n.
• On dit qu’un entier p ∈ N est premier si p 6= 1 et si les seuls diviseurs de p sont 1 et lui-même.
Rem
Si d|n, et n 6= 0, on a d ≡ 0 [n].
Proposition 1.5
• Tout entier n > 2 admet un diviseur premier.
Théorème 1.6 (Division euclidienne) Soient n ∈ N et p ∈ N∗ . Alors il existe un unique couple (q, r) ∈ N2 tel
que n = pq + r et 0 6 r < p. On dit que n = pq + r est la division euclidienne de n par p.
q est appelé le quotient et r le reste de la division euclidienne.
Rem
Si n et p sont donnés, on trouve q et r en posant la division euclidienne comme à l’école primaire !
Rem
Si r est le reste de la division euclidienne de n par p, on n ≡ r [p].
Exemples 1.3
1. Déterminer le reste et le quotient de la division euclidienne de 100 par 30.
2. Si n ∈ N, on a un unique (q, r) ∈ N2 tel que n = 2q + r et 0 6 r < 2. Ainsi r = 0 ou r = 1 et n est pair ou impair.
Définition 1.2 Soient a et b deux entiers naturels non nuls.
• L’ensemble des diviseurs communs à a et b admet un plus grand élément, appelé plus grand
diviseur commun de a et b et noté pgcd(a, b).
• L’ensemble des multiples non-nuls communs à a et b admet un plus petit élément, appelé plus
petit multiple commun de a et b et noté ppcm(a, b).
Exemples 1.4
1. L’ensemble des diviseurs communs à 48 et 36 est {1, 2, 3, 6, 12}. Leur pgcd est donc 12.
2. L’ensemble des multiples communs à 36 et 30, plus petit que 36 × 30 = 1080 est {1080, 900, 720, 540, 360, 180}. Leur
ppcm est donc 180.
3. Si b divise a, pgcd(a, b) =
a
sous forme irréductible, il faut diviser en haut et en bas par
b
a
c
• Le plus petit dénominateur commun à deux fractions et est
b
d
• Pour mettre une fraction
Rem
Proposition 1.7
Si a = bq + r est la division euclidienne de a par b (avec a et b ∈ N∗ )
et si r 6= 0, pgcd(a, b) = pgcd(b, r).
Algorithme d’Euclide : Pour calculer le pgcd de a et de b :
on pose a0 = a et a1 = b (ou l’inverse si b > a) et on effectue la division euclidienne de a0 par a1 : a0 = a1 q + r. On pose
a2 = r.
• Si a2 = 0, on s’arrête là et pgcd(a, b) = a1 (car a1 |a0 ).
• Sinon pgcd(a, b) = pgcd(a1 , a2 ) par la proposition précédente.
On effectue alors la division euclidienne de a1 par a2 : a1 = a2 q + r. On pose a3 = r.
— Si a3 = 0, on s’arrête là et pgcd(a, b) = pgcd(a1 , a2 ) = a2 (car a2 |a1 ).
— Sinon pgcd(a, b) = pgcd(a2 , a3 ) par la proposition précédente.
..
.
On réitère l’opération jusqu’à trouver un reste ai+1 nul (ceci arrive forcément car a0 > a1 > · · · > ai , donc ai 6 a0 − i). Le
pgcd de a et b est alors ai , le dernier reste non nul.
Exemple 1.5 Calculer le pgcd de 1071 et 1029.
Théorème 1.8 (Décomposition en facteurs premiers) Soit n ∈ N∗ , alors n s’écrit de manière unique (à l’ordre
r
Y
i
des facteurs près) sous la forme n =
pα
i , avec r ∈ N, p1 , . . . , pr des nombres premiers deux à deux distincts et
i=1
α1 , . . . , αr des entiers non nuls.
Rem
Avec la convention qu’un produit vide vaut 1.
Exemples 1.6
• 24 =
• 40 =
Proposition 1.9
• Le pgcd de deux entiers a et b s’obtient en prenant les puissances minimales intervenant dans les décompositions
en facteurs premiers de a et b.
• Le ppcm de deux entiers a et b s’obtient en prenant les puissances maximales intervenant dans les décompositions
en facteurs premiers de a et b.
Exemples 1.7
• pgcd(40, 24) =
• ppcm(40, 24) =
2
Ensembles finis
2.1
Définitions
•
•
•
•
•
Rem
•
•
• Intuitivement, un ensemble fini de cardinal n est un ensemble {x1 , . . . , xn }, où les xi décrivent E et
sont deux à deux distincts.
• En interprétant ceci avec l’application h : i 7→ xi , le fait que les xi décrivent E signifie que h est
surjective. Le fait que les xi soient deux à deux distincts, que h est injective. Ceci motive la définition
suivante.
Définition 2.1 On dit qu’un ensemble E est fini de cardinal n s’il existe h : J1, nK → E bijective.
On appelle alors {h(1), . . . , h(n)} une énumération de E. Si E est fini, on note card(E) le cardinal
de E (ou |E| ou #E).
Exemples 2.1
1. Par convention ∅ est fini de cardinal 0.
2. J1, nK est fini de cardinal n
3. Jp, qK est fini de cardinal q − p + 1
Proposition 2.1
• Soient E et F deux ensembles, h : E → F une application bijective. Si E est fini de cardinal n, alors F est fini de
même cardinal.
• Réciproquement si E et F ont même cardinal, il existe h : E → F bijective.
Théorème 2.2 Soit E un ensemble fini. Si F est un sous-ensemble de E, alors F est fini et card(F ) 6 card(E).
On a égalité Ssi F = E.
Rem
Ainsi si E et F sont deux ensembles de même cardinaux, il suffit de montrer une inclusion pour avoir
l’égalité.
Proposition 2.3
• Soit h : E → F une application injective. Si F est fini, alors E est fini et card(E) 6 card(F ).
• Soit h : E → F une application surjective. Si E est fini, alors F est fini et card(F ) 6 card(E).
Théorème 2.4 Soit h : E → F . Si E et F sont finis de même cardinal, alors h est injective Ssi h est surjective
Ssi h est bijective.
Rem
2.2
Ceci devient faux pour des ensembles infinis :
Opérations sur les ensembles finis
Définition 2.2 On dit que deux ensembles A et B sont disjoints si A ∩ B = ∅.
Proposition 2.5 Si A et B sont deux ensembles disjoints et finis,
alors A ∪ B est fini et
card(A ∪ B) = card(A) + card(B).
Corollaire 2.6
• Si E est fini et A ∈ P(E), alors card(E\A) = card(E) − card(A).
!
p
p
[
X
• Si A1 , . . . , Ap sont finis et deux à deux disjoints, card
Ai =
card(Ai ).
i=1
i=1
Rem
Proposition 2.7 Soient A et B deux ensembles finis. Alors A ∪ B
est fini et
card(A ∪ B) = card(A) + card(B) − card(A ∩ B).
Exemple 2.2 Le nombre de cartes dans un jeu de 32 cartes qui sont soit des trèfles soit des 8 est
Proposition 2.8 (Produit cartésien) Soient A et B deux ensembles finis, alors A × B est fini et
card(A × B) = card(A) card(B).
Exemple 2.3 On tire successivement avec remise 2 cartes dans un jeu de 32. Quelle est le nombre de tirages possibles où
la première carte est un pique, et la seconde est un valet ?
Corollaire 2.9 Si A est un ensemble fini, pour tout p ∈ N∗ , Ap est fini de cardinal (card(A))p .
Exemple 2.4 On tire successivement avec remise 5 boules dans une urne contenant des boules numérotées de 1 à 49. Le
nombre de tirages possibles est
Corollaire 2.10
• Si A et B sont deux ensembles finis F(A, B) = B A est fini de cardinal (card(B))card(A) .
• Si A est fini, P(A) est fini de cardinal 2card(A) .
2.3
Dénombrements
Proposition 2.11 Soit E un ensemble fini de cardinal n et p ∈ N. Le nombre de p-uplets d’éléments de E deux à
n!
deux distincts est
si p 6 n, 0 sinon.
(n − p)!
Rem
• On parle d’arrangement de p éléments parmi n.
• C’est aussi le nombre d’injections d’un ensemble de cardinal p dans un ensemble de cardinal n.
• On retrouve donc le fait que l’on ne peut avoir une injection d’un ensemble de cardinal p dans un
ensemble de cardinal n si p > n. Ceci est connu sous le nom de principe des tiroirs : s’il y a p
chaussettes à ranger dans n tiroirs, avec p > n, alors au moins un des tiroirs contient deux chaussettes.
Exemple 2.5 Combien y a-t-il de possibilités pour tirer successivement sans remise 5 boules numérotées entre 1 et 49 ?
Définition 2.3 Soit E un ensemble fini. On appelle permutation de E toute bijection de E
dans lui même.
Exemple 2.6 Déterminer toutes les permutations de J1, 3K.
Corollaire 2.12 Si E est un ensemble fini de cardinal n, le nombre
de permutations de E est n!.
Rem
Ainsi le nombre de manières d’énumérer (ou ordonner) un ensemble à n élements est n!.
Exemple 2.7
Proposition 2.13 On note Pk (E) l’ensembles
des parties de E à k éléments. Si E est fini de cardinal n et si
n
k ∈ J0, nK, Pk (E) est fini de cardinal
.
k
Rem
Comme vu dans la preuve, la différence entre les arrangements à p éléments et les parties à p éléments
est que l’on tient compte de l’ordre pour les premiers, mais pas pour les secondes.
Exemple 2.8 On tire simultanément 5 boules dans une urne contenant des boules numérotées de 1 à 49. Le nombre de
tirages possibles est
Exemple 2.9 Combien y a-t-il de façons de former les groupes de colles (numérotés) dans une classe de 45 élèves ? Et si
l’on ne les numérote pas ?
Proposition2.14
n
• ∀n ∈ N∗ ,
= n.
1 n
n
• ∀n ∈ N,
=
= 1.
0
n
n
n(n − 1)
.
• ∀n > 2,
=
2 2
n
n
• ∀n ∈ N, ∀k ∈ J0, nK,
=
.
k
n−k
Rem
n
n−1
n−1
• ∀n > 2, ∀k ∈ J0, n − 1K,
=
+
.
k
k−1
k
n
X n
• ∀n ∈ N,
= 2n
k
k=0
n
Par convention, lorsque k > n,
= 0.
k
Proposition 2.15 (Formule du binôme de Newton)
n X
n k n−k
∀n ∈ N, ∀(x, y) ∈ R , (x + y) =
x y
.
k
2
n
k=0
Avec répétition possible
Avec ordre
Sans ordre
Sans répétition