Chapitre 7 : Arithmétique, Dénombrement

Chapitre 7 : Arithm´etique, D´enombrement
1 Entiers naturels
Nous supposerons connu l’ensemble N, ainsi que ses propri´et´es usuelles. On donne simplement les r´esultats suivants :
Proposition 1.1
•Toute partie non vide de Nadmet un plus petit ´el´ement.
•Toute partie non vide et major´ee de Nadmet un plus grand ´el´ement.
1.1 Principes de r´ecurrence
Th´eor`eme 1.2 (Principe de r´ecurrence) Soit P(n) une assertion `a une variable n. Si
P(0)
et
∀n∈N, P (n)⇒P(n+ 1)
alors ∀n∈N,P(n) est vraie.
Rem
On peut de mˆeme montrer qu’une propri´et´e est vraie pour tout n>n0 en rempla¸cant l’initialisation par
P(n0).
Corollaire 1.3 (R´ecurrence d’ordre p)Soient P(n) une assertion `a une variable net p∈N∗. Si
P(0), P (1), . . . , P (p−1)
et
∀n∈N, (P(n) et P(n+ 1) et . . . et P(n+p−1)) ⇒P(n+p)
alors ∀n∈N,P(n) est vraie.
Rem
• Par exemple pour p= 2 (r´ecurrence double), il faut voir si P(0) et P(1) sont vraies (initialisation) et
si ∀n∈N, (P(n) et P(n+ 1)) ⇒P(n+ 2).
•ne pas oublier de faire pinitialisations.
Exemple 1.1 Soit (un)n∈N la suite d´efinie par r´ecurrence par u0= 2 , u1= 3 et ∀n∈N , un+2 = 3un+1 −2un . Montrons
par r´ecurrence d’ordre 2 sur n∈Nla propri´et´e P(n) : un= 2n+ 1 .
Corollaire 1.4 (R´ecurrence forte) Soit P(n) une assertion `a une variable n. Si
P(0)
et
∀n∈N,(P(0) et P(1) et . . . et P(n)) ⇒P(n+ 1)
alors ∀n∈N,P(n) est vraie.
Rem L’h´er´edit´e peut se lire Supposons la propri´et´e vraie jusqu’au rang n.
Exemple 1.2 On d´efinit la suite (un) par u0= 1 , et pour tout n>1 , un=
n−1
X
k=0
uk . D´eterminer le terme g´en´eral de (un) .
1

1.2 Arithm´etique dans N
D´efinition 1.1
• On dit qu’un entier d∈Ndivise n∈N ou que n est un multiple de d s’il existe k∈N tel que
n=kd. On le note d|n.
• On dit qu’un entier p∈N est premier si p6= 1 et si les seuls diviseurs de p sont 1 et lui-mˆeme.
Rem Si d|n, et n6= 0, on a d≡0 [n].
Proposition 1.5
•Tout entier n>2 admet un diviseur premier.
Th´eor`eme 1.6 (Division euclidienne) Soient n∈ N et p∈ N∗ . Alors il existe un unique couple (q, r)∈ N2 tel
que n=pq +ret 0 6r < p. On dit que n=pq +rest la division euclidienne de npar p.
qest appel´e le quotient et rle reste de la division euclidienne.
Rem Si net psont donn´es, on trouve qet ren posant la division euclidienne comme `a l’´ecole primaire !
Rem Si rest le reste de la division euclidienne de npar p, on n≡r[p].
Exemples 1.3
1. D´eterminer le reste et le quotient de la division euclidienne de 100 par 30.
2. Si n∈N, on a un unique (q, r)∈N2tel que n= 2q+ret 0 6r < 2. Ainsi r= 0 ou r= 1 et nest pair ou impair.
D´efinition 1.2 Soient aet bdeux entiers naturels non nuls.
•L’ensemble des diviseurs communs `a aet badmet un plus grand ´el´ement, appel´e plus grand
diviseur commun de aet bet not´e pgcd(a, b).
•L’ensemble des multiples non-nuls communs `a aet badmet un plus petit ´el´ement, appel´e plus
petit multiple commun de aet bet not´e ppcm(a, b).
Exemples 1.4
1. L’ensemble des diviseurs communs `a 48 et 36 est {1,2,3,6,12}. Leur pgcd est donc 12.
2. L’ensemble des multiples communs `a 36 et 30, plus petit que 36 ×30 = 1080 est {1080,900,720,540,360,180}. Leur
ppcm est donc 180.
3. Si bdivise a, pgcd(a, b) =
Rem •Pour mettre une fraction a
bsous forme irr´eductible, il faut diviser en haut et en bas par
•Le plus petit d´enominateur commun `a deux fractions a
bet c dest
Proposition 1.7
Si a=bq +rest la division euclidienne de apar b(avec aet b∈ N∗ )
et si r6= 0, pgcd(a, b) = pgcd(b, r).
Algorithme d’Euclide : Pour calculer le pgcd de aet de b:
on pose a
0
=aet a
1
=b(ou l’inverse si b>a) et on effectue la division euclidienne de a
0
par a
1
:a
0
=a
1
q+r. On pose
a2=r.
•Si a2= 0, on s’arrˆete l`a et pgcd(a, b) = a1(car a1|a0).
•Sinon pgcd(a, b) = pgcd(a1, a2) par la proposition pr´ec´edente.
On effectue alors la division euclidienne de a1par a2:a1=a2q+r. On pose a3=r.
2

— Si a3= 0, on s’arrˆete l`a et pgcd(a, b) = pgcd(a1, a2) = a2(car a2|a1).
— Sinon pgcd(a, b) = pgcd(a2, a3) par la proposition pr´ec´edente.
.
.
.
On r´eit`ere l’op´eration jusqu’`a trouver un reste a
i+1
nul (ceci arrive forc´ement car a
0
> a
1
> · · · > a
i
, donc a
i6
a
0
−i). Le
pgcd de aet best alors ai, le dernier reste non nul.
Exemple 1.5 Calculer le pgcd de 1071 et 1029.
Th´eor`eme 1.8 (D´ecomposition en facteurs premiers) Soit n∈ N∗ , alors ns’´ecrit de mani`ere unique (`a l’ordre
des facteurs pr`es) sous la forme n=
r
Y
i=1
p
αi
i
, avec r∈ N ,p
1
, . . . , p
r
des nombres premiers deux `a deux distincts et
α1, . . . , αrdes entiers non nuls.
Rem Avec la convention qu’un produit vide vaut 1.
Exemples 1.6
•24 =
•40 =
Proposition 1.9
•Le pgcd de deux entiers aet bs’obtient en prenant les puissances minimales intervenant dans les d´ecompositions
en facteurs premiers de aet b.
•Le ppcm de deux entiers aet bs’obtient en prenant les puissances maximales intervenant dans les d´ecompositions
en facteurs premiers de aet b.
Exemples 1.7
•pgcd(40,24) =
•ppcm(40,24) =
2 Ensembles finis
2.1 D´efinitions
••
•
•
•
•
•
Rem
•Intuitivement, un ensemble fini de cardinal nest un ensemble {x
1
, . . . , x
n
}, o`u les x
i
d´ecrivent Eet
sont deux `a deux distincts.
•En interpr´etant ceci avec l’application h:i7→ x
i
, le fait que les x
i
d´ecrivent Esignifie que hest
surjective. Le fait que les x
i
soient deux `a deux distincts, que hest injective. Ceci motive la d´efinition
suivante.
3

D´efinition 2.1 On dit qu’un ensemble Eest fini de cardinal ns’il existe h: J 1, n K →Ebijective.
On appelle alors {h(1), . . . , h(n)}une ´enum´eration de E. Si Eest fini, on note card (E) le cardinal
de E(ou |E|ou #E).
Exemples 2.1
1. Par convention ∅est fini de cardinal 0.
2. J1, nKest fini de cardinal n
3. Jp, qKest fini de cardinal q−p+ 1
Proposition 2.1
•Soient Eet Fdeux ensembles, h:E→Fune application bijective. Si Eest fini de cardinal n, alors Fest fini de
mˆeme cardinal.
•R´eciproquement si Eet Font mˆeme cardinal, il existe h:E→Fbijective.
Th´eor`eme 2.2 Soit Eun ensemble fini. Si Fest un sous-ensemble de E, alors Fest fini et card(F)6card(E).
On a ´egalit´e Ssi F=E.
Rem
Ainsi si Eet Fsont deux ensembles de mˆeme cardinaux, il suffit de montrer une inclusion pour avoir
l’´egalit´e.
Proposition 2.3
•Soit h:E→Fune application injective. Si Fest fini, alors Eest fini et card(E)6card(F).
•Soit h:E→Fune application surjective. Si Eest fini, alors Fest fini et card(F)6card(E).
Th´eor`eme 2.4 Soit h:E→F. Si Eet Fsont finis de mˆeme cardinal, alors hest injective Ssi hest surjective
Ssi hest bijective.
Rem Ceci devient faux pour des ensembles infinis :
2.2 Op´erations sur les ensembles finis
D´efinition 2.2 On dit que deux ensembles Aet Bsont disjoints si A∩B=∅.
Proposition 2.5 Si Aet Bsont deux ensembles disjoints et finis,
alors A∪Best fini et
card(A∪B) = card(A) + card(B).
Corollaire 2.6
•Si Eest fini et A∈ P(E), alors card(E\A) = card(E)−card(A).
•Si A1, . . . , Apsont finis et deux `a deux disjoints, card p
[
i=1
Ai!=
p
X
i=1
card(Ai).
4

Rem
Proposition 2.7 Soient Aet Bdeux ensembles finis. Alors A∪B
est fini et
card(A∪B) = card(A) + card(B)−card(A∩B).
Exemple 2.2 Le nombre de cartes dans un jeu de 32 cartes qui sont soit des tr`efles soit des 8 est
Proposition 2.8 (Produit cart´esien) Soient Aet Bdeux ensembles finis, alors A×Best fini et
card(A×B) = card(A) card(B).
Exemple 2.3 On tire successivement avec remise 2 cartes dans un jeu de 32. Quelle est le nombre de tirages possibles o`u
la premi`ere carte est un pique, et la seconde est un valet ?
Corollaire 2.9 Si Aest un ensemble fini, pour tout p∈N∗,Apest fini de cardinal (card(A))p.
Exemple 2.4 On tire successivement avec remise 5 boules dans une urne contenant des boules num´erot´ees de 1 `a 49. Le
nombre de tirages possibles est
Corollaire 2.10
•Si Aet Bsont deux ensembles finis F(A, B) = BAest fini de cardinal (card(B))card(A).
•Si Aest fini, P(A) est fini de cardinal 2card(A).
2.3 D´enombrements
Proposition 2.11 Soit Eun ensemble fini de cardinal net p∈ N . Le nombre de p-uplets d’´el´ements de Edeux `a
deux distincts est n!
(n−p)! si p6n, 0 sinon.
Rem
•On parle d’arrangement de p´el´ements parmi n.
•C’est aussi le nombre d’injections d’un ensemble de cardinal pdans un ensemble de cardinal n.
•On retrouve donc le fait que l’on ne peut avoir une injection d’un ensemble de cardinal pdans un
ensemble de cardinal nsi p>n. Ceci est connu sous le nom de principe des tiroirs : s’il y a p
chaussettes `a ranger dans ntiroirs, avec p > n, alors au moins un des tiroirs contient deux chaussettes.
Exemple 2.5 Combien y a-t-il de possibilit´es pour tirer successivement sans remise 5 boules num´erot´ees entre 1 et 49 ?
D´efinition 2.3 Soit Eun ensemble fini. On appelle permutation de Etoute bijection de E
dans lui mˆeme.
Exemple 2.6 D´eterminer toutes les permutations de J1,3K.
Corollaire 2.12 Si Eest un ensemble fini de cardinal n, le nombre
de permutations de Eest n!.
Rem Ainsi le nombre de mani`eres d’´enum´erer (ou ordonner) un ensemble `a n´elements est n!.
Exemple 2.7
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