Analyse 1: convexité et fonction convexe

Analyse 1: convexité et fonction convexe
Joseph Salmon
Septembre 2014

Ensembles convexes
Définition : ensemble convexe
Un ensemble C⊂Rdest dit convexe s’il vérifie la propriété :
∀x0,x1∈C,∀α∈[0,1],xα=αx1+ (1−α)x0∈C
Interprétation : le segment joignant deux points de Cest lui même
inclus dans C. Pour plus détails : Boyd and Vandenberghe (2004)

Exemples d’ensembles convexes
Iune droite
Iun plan
Iun hyperplan
Iun carré, une boule, un cube, un tétraèdre, etc.
Convexe : OUI Convexe : OUI

Exemples d’ensembles convexes
Iune droite
Iun plan
Iun hyperplan
Iun carré, une boule, un cube, un tétraèdre, etc.
Convexe : OUI Convexe : OUI Convexe : NON

Fonction convexe
Définition : fonction convexe
f:Rd→Rest convexe si elle vérifie ∀x0,x1∈Rd,∀α∈
[0,1],f(αx1+ (1−α)(x0)
| {z }
xα
)≤αf(x1)+(1−α)f(x0)
Interprétation : le segment joignant deux points de le courbe est au
dessus de la courbe