Cours et activités

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Résolution
d’équations
CHAPITRE
Vous êtes au milieu du désert avec vos cha-
meaux et vos dromadaires. Cela fait en tout
bosses et pieds. Avez-vous donc plus de
chameaux que de dromadaires ou plus de dro-
madaires que de chameaux ?
Énigme du chapitre.
—Mettre en équation un problème
—Résoudre une équation mise sous la
forme , où et
sont des expressions du premier degré.
—Déterminer, sur des exemples numé-
riques, les nombres tels que ,
où est un nombre positif.
Objectifs du chapitre.

I/ Équation du premier degré à une inconnue, problèmes
Activité A. Résoudre un problème
1. On veut résoudre l’équation .
(a) Peut-on facilement trouver une solution de cette équation ?
(b) Pour résoudre une équation de ce type, on utilise les règles suivantes :
— Lorsque l’on ajoute ou lorsque l’on retranche un même nombre aux deux membres
d’une égalité, on obtient une nouvelle égalité.
— Lorsque l’on multiplie ou lorsque l’on divise chaque membre d’une égalité par un
même nombre non nul, on obtient une nouvelle égalité.
Justifier les transformations successives ci-dessous.
(c) Quelle est la solution de l’équation : ?
2. Manon pense à un nombre et elle remarque que si elle le multiple par et ajoute au
produit, elle obtient le même résultat que si elle avait retranché le double de ce nomrbe à
. À quel nombre Manon a-t-elle pensé ?
Définition
— est une équation du premier degré, d’inconnue .
—Résoudre une équation, c’est chercher toutes les valeurs d’un nombre inconnu qui vérifient
l’égalité proposée.
— Ces valeurs sont les solutions de l’équation ;
Propriétés
— Si on additionne ou soustrait un même nombre aux deux membres d’une équation, alors
on obtient une équation qui a les mêmes solutions.
— Si on multiplie ou divise les deux membres d’une équation par un même nombre non nul,
alors on obtient une équation qui a les mêmes solutions.
Exemple

L’équation a une unique solution qui est le nombre .
Méthode (Résoudre un problème à l’aide d’une équation)
1. On choisit l’inconnue.
2. On met le problème en question.
3. On résout l’équation.
4. On interprète le résultat.
Exemple
Mathilde pense à un nombre. Si elle multiplie ce nombre par et retranche au produit obtenu,
elle obtient le même résultat que si avait ajouté à ce nombre.
À quel nombre Mathilde a-t-elle pensé ?
— On note le nombre auquel Mathilde a pensé.
— Mathilde multiplie ce nombre par et elle retranche à ce produit. Le nombre obtenu
s’écrit .
Si Mathilde avait ajouté au nombre auquel elle a pensé, elle avait obtenu : .
Mathilde obtient le même résultat dans les deux cas ; ce qui permet d’écrire l’égalité :
.
—
— Mathilde a pensé au nombre .

Remarque
On peut vérifier que l’égalité est vraie pour :
et
Faire les exercices 1 2 3 4 5

II/ Équation produit
Activité B. Équation produit
1. Proposer différents exemples de nombres et tels que .
2. Recopier et compléter les égalités :
(a)
(b)
(c)
(d) aevc un nombre non nul.
(e)
(f)
(g)
(h)
3. (a) Recopier et compléter : « Dire que revient à dire que ou
(b) Si , peut-on dire de façon certaine la valeur prise par et ? Pourquoi ?
4. On considère l’équation . Cette équation s’appelle une équation produit.
(a) Expliquer cette appelation.
(b) Quels sont les facteurs du premier membre de cette équation ?
(c) Utiliser la question 3 pour résoudre l’équation .
Définition
Une équation produit est une équation du type
avec , , et , des nombres relatifs.
Exemple
est une équation produit.
Propriété
Dire qu’un produit de facteurs est nul revient à dire qu’au moins un des facteurs est nul.
Exemples
— Si ou , alors .
— Si , alors ou .
Remarque
Cette propriété permet de résoudre une équation produit.
Exemple
Les solutions de l’équation produit sont les solutions de et
.
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