Cours et activités

CHAPITRE
Résolution
d’équations
Énigme du chapitre.
Vous êtes au milieu du désert avec vos chameaux et vos dromadaires. Cela fait en tout
13 bosses et 36 pieds. Avez-vous donc plus de
chameaux que de dromadaires ou plus de dromadaires que de chameaux ?
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Objectifs du chapitre.
— Mettre en équation un problème
— Résoudre une équation mise sous la
forme A(x )B (x ) = 0, où A(x ) et B (x )
sont des expressions du premier degré.
— Déterminer, sur des exemples numériques, les nombres x tels que x 2 = a,
où a est un nombre positif.
I/ Équation du premier degré à une inconnue, problèmes
Activité A. Résoudre un problème
1. On veut résoudre l’équation
4x + 12 = 30 2x .
(a) Peut-on facilement trouver une solution de cette équation ?
(b) Pour résoudre une équation de ce type, on utilise les règles suivantes :
— Lorsque l’on ajoute ou lorsque l’on retranche un même nombre aux deux membres
d’une égalité, on obtient une nouvelle égalité.
— Lorsque l’on multiplie ou lorsque l’on divise chaque membre d’une égalité par un
même nombre non nul, on obtient une nouvelle égalité.
Justifier les transformations successives ci-dessous.
4x + 12 = 30 2x
6x + 12 = 30
6x = 18
x =3
(c) Quelle est la solution de l’équation :
4x + 12 = 30 2x ?
4
12
2. Manon pense à un nombre et elle remarque que si elle le multiple par et ajoute
au
produit, elle obtient le même résultat que si elle avait retranché le double de ce nomrbe à
. À quel nombre Manon a-t-elle pensé ?
30
Définition
— x
est une équation du premier degré, d’inconnue x .
— Résoudre une équation, c’est chercher toutes les valeurs d’un nombre inconnu qui vérifient
l’égalité proposée.
— Ces valeurs sont les solutions de l’équation ;
7 + 21 = 14
Propriétés
— Si on additionne ou soustrait un même nombre aux deux membres d’une équation, alors
on obtient une équation qui a les mêmes solutions.
— Si on multiplie ou divise les deux membres d’une équation par un même nombre non nul,
alors on obtient une équation qui a les mêmes solutions.
Exemple
9x 4 = 3x + 2
9x 4 + 4 = 3x + 2 + 4
9x = 3x + 8
9x 3x = 3x + 6 3x
6x = 8
6x = 6
6 6
x = 1:
L’équation
9x 4 = 3x + 2 a une unique solution qui est le nombre 1.
Méthode (Résoudre un problème à l’aide d’une équation)
1. On choisit l’inconnue.
2. On met le problème en question.
3. On résout l’équation.
4. On interprète le résultat.
Exemple
Mathilde pense à un nombre. Si elle multiplie ce nombre par et retranche au produit obtenu,
elle obtient le même résultat que si avait ajouté à ce nombre.
À quel nombre Mathilde a-t-elle pensé ?
— On note x le nombre auquel Mathilde a pensé.
— Mathilde multiplie ce nombre par et elle retranche à ce produit. Le nombre obtenu
s’écrit x
.
Si Mathilde avait ajouté au nombre auquel elle a pensé, elle avait obtenu : x
.
Mathilde obtient le même résultat dans les deux cas ; ce qui permet d’écrire l’égalité :
x
x
.
—
3
6
6
7
6
6
7
7
3
+3
7= +3
2
— Mathilde a pensé au nombre .
6x 7 = x + 3
6x 7 + 7 = x + 3 + 7
6x = x + 10
6x x = x + 10 x
5x = 10
5x = 10
5 5
x =2
Remarque
On peut vérifier que l’égalité
6x 7 = x + 3 est vraie pour x = 2 :
6 2 + 7 = 5 et 2 + 3 = 5
Faire les exercices 1 2 3 4 F 5 F
II/ Équation produit
Activité B. Équation produit
1. Proposer différents exemples de nombres
2. Recopier et compléter les égalités :
a et b tels que a b = 0.
3 ::: = 0
(b) : : : ( 2) = 0
(c) a : : : = 0
(d) : : : b = 0 aevc b un nombre non nul.
3 0 = :::
(f) 0 ( 2) = : : :
(g) a 0 = : : :
(h) 0 b = : : :
3. (a) Recopier et compléter : « Dire que a b = 0 revient à dire que a = : : : ou b = : : :
(b) Si a b = 6, peut-on dire de façon certaine la valeur prise par a et b ? Pourquoi ?
4. On considère l’équation (x +1)(3 x ) = 0. Cette équation s’appelle une équation produit.
(a)
(e)
(a) Expliquer cette appelation.
(b) Quels sont les facteurs du premier membre de cette équation ?
(c) Utiliser la question 3 pour résoudre l’équation x
x
( + 1)(3
) = 0.
Définition
Une équation produit est une équation du type
avec a, b,
(ax + b) (cx + d ) = 0;
c et d , des nombres relatifs.
Exemple
(3x 7)( 4x + 1) = 0 est une équation produit.
Propriété
Dire qu’un produit de facteurs est nul revient à dire qu’au moins un des facteurs est nul.
Exemples
— Si
— Si
3x 7 = 0 ou 4x + 1 = 0, alors (3x 7)( 4x + 1) = 0.
(3x 7)( 4x + 1) = 0, alors 3x 7 = 0 ou 4x + 1 = 0.
Remarque
Cette propriété permet de résoudre une équation produit.
Exemple
Les solutions de l’équation produit
x
.
4 +1=0
(3x 7)( 4x + 1) = 0 sont les solutions de 3x 7 = 0 et
Faire les exercices 6 7 8 9 F 10 F
III/ Équations du type x 2
=a
Activité C. Un nouveau type d’équation
49, puis résoudre l’équation x 49 = 0.
(b) En déduire les solutions de l’équation x = 49.
2. (a) Recopier et compléter : 3 = (: : :) .
(b) Factoriser l’expression x
3, puis résoudre l’équation x 3 = 0.
(c) En déduire les solutions de l’équation x = 3.
3. (a) Résoudre l’équation x = 0.
(b) Les équation x = 49 et x = 3, ont-elles des solutions ? Justifier.
4. Dans quels conditions l’équation x = a admet-elle une ou deux solutions ?
x2
1. (a) Factoriser l’expression
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
5. Résoudre les équations suivantes :
(a)
x 2 = 16
(b)
Propriétés
— Si a < , alors l’équation
— Si a
, alors l’équation
— Si a > , alors l’équation
0
=0
0
Exemples
— L’équation
— L’équation
— L’équation
Remarque
L’équation x 2
x2 =
1
36
(c)
x2
16 = 0
(d)
3x = 147
x 2 = a n’a pas de solution.
x 2 = a admet 0 pour unique solution.
x 2 = a admet deux solutions distinctes qui sont
x 2 = 4 n’a pas de solution, car un carré est positif ou nul.
x 2 = 0 a pour unique solution
p 0. p
3 et 3.
x 2 = 3 a deux solutions :
= a, avec a > 0, a deux solutions opposées.
Faire les exercices 11 12 13 F
Problèmes :
Faire les exercices 14 F 15 F 16 F 17 F
Vu au brevet :
Faire les exercices 18 F 19 F 20 F
2
pa et pa.