Première S Chapitre 7 : Trigonométrie Effectuer un relevé topographique nécessite l’utilisation d’appareil de mesure d’angle comme le théodolite ou le cercle répétiteur. La trigonométrie est donc un outil de calcul d’angle indispensable en mathématiques. I. Repérage sur le cercle trigonométrique Définition : Cercle trigonométrique 𝐼 et 𝐽 sont deux points du cercle trigonométrique. Enroulement de la droite numérique. Soit (𝑑) une droite numérique graduée dont le zéro coïncide avec le point 𝐼. Quand on enroule, le cercle 𝐶, la demi-droite rouge des réels positifs dans le sens direct et celle des réels négatifs dans le sens indirect, chaque réel 𝑡 vient s’appliquer sur un point 𝑀 unique du cercle 𝐶. On dit que 𝑀 est l’image de 𝑡 sur le cercle 𝐶. 𝜋 3𝜋 Par exemple, 𝐽 est l’image de 2 mais aussi de − 2 . La longueur du cercle 𝐶 étant 2𝜋, deux réels 𝑡 et 𝑡′ ont même point image sur le cercle 𝐶 si et seulement si l’enroulement de la droite entre 𝑡 et 𝑡′ correspond à un nombre entier de tours de 𝐶. Propriété : Tout point de 𝐶 est l’image d’une infinité de réels. 1 SAES Guillaume Chapitre 7 : Trigonométrie II. Première S Le radian Définition : Radian Exemple : Un angle plat Propriété : Exemple 1 : Un tiers d’un angle plat Exemple 2 : Calculer en radian les angles suivant 𝛼1 = 1°, 𝛼2 = 50° et 𝛼3 = 60° On utilise un tableau de proportionnalité : Angle en degré 360 1 50 60 Angle en radian Exemple 3 : Calculer en degré les angles suivant 𝛼1 = 1 𝑟𝑎𝑑 , 𝛼2 = 3 𝑟𝑎𝑑 et 𝛼3 = 𝜋 5 rad On utilise un tableau de proportionnalité : Angle en degré Angle en radian 2𝜋 1 3 𝜋 5 Propriété : Soit 𝑡 un réel de l’intervalle ] − 𝜋; 𝜋] et 𝑀 le point image de 𝑡 sur le cercle trigonométrique 𝐶. ̂ est égal à La mesure en radian de l’angle 𝐼𝑂𝑀 2 SAES Guillaume Chapitre 7 : Trigonométrie III. Première S Mesure d’un angle orienté Définition : Mesure en radian d’un angle entre deux vecteurs Soit 𝑢 ⃗ et 𝑣 deux vecteurs non-nuls. Soit 𝑀 et 𝑁 deux points tels que 𝑢 ⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀 et 𝑣 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑁, et 𝑀′ et 𝑁′ les points d’intersection des demidroites [𝑂𝑀) et [𝑂𝑁) avec le cercle trigonométrique de centre 𝑂. Propriété : 3 SAES Guillaume Chapitre 7 : Trigonométrie Première S Exemple : Conséquence : De la définition découlent immédiatement les relations suivantes : Soient 𝑢 ⃗ , 𝑣 et 𝑤 ⃗⃗ trois vecteurs non-nuls. 4 SAES Guillaume Chapitre 7 : Trigonométrie IV. Première S Cosinus et sinus d’un réel et d’un angle orienté Définition : Cosinus et sinus Soit 𝑀 l’image d’un réel 𝑡 sur le cercle trigonométrique 𝐶. Propriété : Pour tout réel 𝑡 et entier relatif 𝑘, 𝛼 0 𝜋 6 𝜋 4 𝜋 3 𝜋 2 𝜋 cos(𝛼) sin(𝛼) Définition : Cosinus et sinus d’un angle 5 SAES Guillaume Chapitre 7 : Trigonométrie V. Première S Equations trigonométriques Pour résoudre une équation du type cos(𝑥) = cos(𝑎) ou sin(𝑥) = sin(𝑎), on s’appuie sur le cercle trigonométrique et sur les angles associés pour ne pas oublier de solutions ! En général, il y a en effet deux angles qui ont le même cosinus et deux angles qui ont le même sinus. Toutes les mesures de ces deux angles sont les solutions. Exemple 1 : Résolvons cos(𝑥) = cos(𝑎) pour 𝑎 un réel quelconque. Exemple 2 : Résolvons sin(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛(𝑎) pour 𝑎 un réel quelconque. 6 SAES Guillaume Chapitre 7 : Trigonométrie VI. Première S Formules d’addition et de duplication Propriété : Quels que soient les réels 𝑎 et 𝑏, Ces formules permettent de déterminer les valeurs exactes des cosinus et sinus de réels ou d’angle orientés à partir des valeurs remarquables déjà connues. Propriété : Quels que soit le réel 𝑎, Ces formules de duplication permettent, à partir des cosinus et sinus d’un angle de mesure 𝑎, de calculer les cosinus et sinus de l’angle double 2𝑎, d’où leur nom. 7 SAES Guillaume