Chapitre 7 : Trigonométrie

Première S
Chapitre 7 : Trigonométrie
Effectuer un relevé topographique nécessite l’utilisation d’appareil de mesure d’angle comme le
théodolite ou le cercle répétiteur. La trigonométrie est donc un outil de calcul d’angle indispensable
en mathématiques.
I.
Repérage sur le cercle trigonométrique
Définition : Cercle trigonométrique
𝐼 et 𝐽 sont deux points du cercle
trigonométrique.
Enroulement de la droite numérique.
Soit (𝑑) une droite numérique graduée dont le
zéro coïncide avec le point 𝐼. Quand on
enroule, le cercle 𝐶, la demi-droite rouge des
réels positifs dans le sens direct et celle des
réels négatifs dans le sens indirect, chaque réel
𝑡 vient s’appliquer sur un point 𝑀 unique du
cercle 𝐶.
On dit que 𝑀 est l’image de 𝑡 sur le cercle 𝐶.
𝜋
3𝜋
Par exemple, 𝐽 est l’image de 2 mais aussi de − 2 .
La longueur du cercle 𝐶 étant 2𝜋, deux réels 𝑡 et 𝑡′ ont même point image sur le cercle 𝐶 si et
seulement si l’enroulement de la droite entre 𝑡 et 𝑡′ correspond à un nombre entier de tours de 𝐶.
Propriété :
Tout point de 𝐶 est l’image d’une infinité de réels.
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Chapitre 7 : Trigonométrie
II.
Première S
Le radian
Définition : Radian
Exemple : Un angle plat
Propriété :
Exemple 1 : Un tiers d’un angle plat
Exemple 2 : Calculer en radian les angles suivant 𝛼1 = 1°, 𝛼2 = 50° et 𝛼3 = 60°
On utilise un tableau de proportionnalité :
Angle en
degré
360
1
50
60
Angle en
radian
Exemple 3 : Calculer en degré les angles suivant 𝛼1 = 1 𝑟𝑎𝑑 , 𝛼2 = 3 𝑟𝑎𝑑 et 𝛼3 =
𝜋
5
rad
On utilise un tableau de proportionnalité :
Angle en
degré
Angle en
radian
2𝜋
1
3
𝜋
5
Propriété :
Soit 𝑡 un réel de l’intervalle ] − 𝜋; 𝜋] et 𝑀 le point image de 𝑡 sur le cercle trigonométrique 𝐶.
̂ est égal à
La mesure en radian de l’angle 𝐼𝑂𝑀
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III.
Première S
Mesure d’un angle orienté
Définition : Mesure en radian d’un angle entre deux vecteurs
Soit 𝑢
⃗ et 𝑣 deux vecteurs non-nuls.
Soit 𝑀 et 𝑁 deux points tels que 𝑢
⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 et 𝑣 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑁, et 𝑀′ et 𝑁′ les points d’intersection des demidroites [𝑂𝑀) et [𝑂𝑁) avec le cercle trigonométrique de centre 𝑂.
Propriété :
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Première S
Exemple :
Conséquence : De la définition découlent immédiatement les relations suivantes :
Soient 𝑢
⃗ , 𝑣 et 𝑤
⃗⃗ trois vecteurs non-nuls.
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IV.
Première S
Cosinus et sinus d’un réel et d’un angle orienté
Définition : Cosinus et sinus
Soit 𝑀 l’image d’un réel 𝑡 sur le cercle trigonométrique 𝐶.
Propriété :
Pour tout réel 𝑡 et entier relatif 𝑘,
𝛼
0
𝜋
6
𝜋
4
𝜋
3
𝜋
2
𝜋
cos(𝛼)
sin(𝛼)
Définition : Cosinus et sinus d’un angle
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V.
Première S
Equations trigonométriques
Pour résoudre une équation du type cos(𝑥) = cos(𝑎) ou sin(𝑥) = sin(𝑎), on s’appuie sur le cercle
trigonométrique et sur les angles associés pour ne pas oublier de solutions !
En général, il y a en effet deux angles qui ont le même cosinus et deux angles qui ont le même sinus.
Toutes les mesures de ces deux angles sont les solutions.
Exemple 1 : Résolvons cos(𝑥) = cos(𝑎) pour 𝑎 un réel quelconque.
Exemple 2 : Résolvons sin(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛(𝑎) pour 𝑎 un réel quelconque.
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VI.
Première S
Formules d’addition et de duplication
Propriété :
Quels que soient les réels 𝑎 et 𝑏,
Ces formules permettent de déterminer les valeurs exactes des cosinus et sinus de réels ou d’angle
orientés à partir des valeurs remarquables déjà connues.
Propriété :
Quels que soit le réel 𝑎,
Ces formules de duplication permettent, à partir des cosinus et sinus d’un angle de mesure 𝑎, de
calculer les cosinus et sinus de l’angle double 2𝑎, d’où leur nom.
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