Chapitre 7 : Trigonométrie

Première S
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SAES Guillaume
Chapitre 7 : Trigonométrie
Effectuer un relevé topographique nécessite l’utilisation d’appareil de mesure d’angle comme le
théodolite ou le cercle répétiteur. La trigonométrie est donc un outil de calcul d’angle indispensable
en mathématiques.
I. Repérage sur le cercle trigonométrique
Définition : Cercle trigonométrique
 et  sont deux points du cercle
trigonométrique.
Enroulement de la droite numérique.
Soit  une droite numérique graduée dont le
zéro coïncide avec le point . Quand on
enroule, le cercle , la demi-droite rouge des
réels positifs dans le sens direct et celle des
réels négatifs dans le sens indirect, chaque réel
 vient s’appliquer sur un point  unique du
cercle .
On dit que  est l’image de  sur le cercle .
Par exemple,  est l’image de 
 mais aussi de  .
La longueur du cercle  étant , deux réels  et  ont même point image sur le cercle  si et
seulement si l’enroulement de la droite entre  et  correspond à un nombre entier de tours de .
Propriété :
Tout point de  est l’image d’une infinité de réels.

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II. Le radian
Définition : Radian
Exemple : Un angle plat
Propriété :
Exemple 1 : Un tiers d’un angle plat
Exemple 2 : Calculer en radian les angles suivant   et 
On utilise un tableau de proportionnalité :
Angle en
degré
Angle en
radian
Exemple 3 : Calculer en degré les angles suivant     et 
 rad
On utilise un tableau de proportionnalité :
Angle en
degré
Angle en
radian
Propriété :
Soit  un réel de l’intervalle     et  le point image de  sur le cercle trigonométrique .
La mesure en radian de l’angle 
 est égal à

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III. Mesure d’un angle orienté
Définition : Mesure en radian d’un angle entre deux vecteurs
Soit 
et  deux vecteurs non-nuls.
Soit  et  deux points tels que 
et   
, et  et  les points d’intersection des demi-
droites  et  avec le cercle trigonométrique de centre .
Propriété :

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Exemple :
Conséquence : De la définition découlent immédiatement les relations suivantes :
Soient 
,  et 
trois vecteurs non-nuls.

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IV. Cosinus et sinus d’un réel et d’un angle orienté
Définition : Cosinus et sinus
Soit  l’image d’un réel  sur le cercle trigonométrique .
Propriété :
Pour tout réel  et entier relatif ,
Définition : Cosinus et sinus d’un angle