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SUR L'EXISTENCE D'UNE SPHÈRE PASSANT
PAR UN NOMBRE DONNÉ DE POINTS AUX
COORDONNÉES ENTIÈRES
Autor(en): Kulikowski, Thadée
Objekttyp: Article
Zeitschrift: L'Enseignement Mathématique
Band (Jahr): 5 (1959)
Heft 2: L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE
Persistenter Link: http://doi.org/10.5169/seals-35479
PDF erstellt am: 25.05.2017
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SUR L'EXISTENCE D'UNE SPHÈRE
PASSANT PAR UN NOMBRE DONNÉ DE POINTS
AUX COORDONNÉES ENTIÈRES
par Thadée Kulikowski, Varsovie
(Reçu le 29 janvier 1958.)
Le but de cette Note est de démontrer ce
Théorème :métant un nombre naturel >3etn un nombre naturel
quelconque, il existe dans Vespace euclidien àmdimension une
m
sphère 2iixt?#i)2?r% passant précisément par npoints
aux coordonnées entières %, #2,..., xm.
Démonstration. ?Comme l'a démontré M. A. Schinzel dans
la Note précédente, il existe pour le nombre naturel ndonné des
nombres rationnels a±J a2a2et ctels que l'équation
(1)
aprécisément nsolutions en nombres entiers x±et #a.
Or, comme on sait, il existe des nombres irrationnels a3,a4,...,
m
amtels que le nombre Jciauoix c^i =3,4, ..., m) sont des
i=3
nombres rationnels, est rationnel seulement si c3c3=... =cm =0
(c'est-à-dire que les nombres a3,a4,..., amsont linéairement
rationnellement indépendants). Je prouverai que la sphère
(2)
satisfait ànotre théorème.
En effet, il résulte de l'équation (2) que

Donc, si les nombres xi(i =1, 2, ..., m) sont entiers, le
nombre dest rationnel et il résulte de la définition des nombres
a4,..., am?ue xz==-= =°- L'équation (2)
devient donc l'équation (1) qui, comme nous savons, aprécisé
ment nsolutions en nombres entiers x^ x2.L'équation (2) a
donc précisément nsolutions en nombres entiers x±lx±1 x2,???, m,
c.q.f.d.