Sur les nombres pseudopremiers de la forme nk + 1 - E

Sur les nombres pseudopremiers de la forme
nk + 1
Autor(en): Rotkiewicz, A.
Objekttyp: Article
Zeitschrift: Elemente der Mathematik
Band (Jahr): 21 (1966)
Heft 2
Persistenter Link: http://doi.org/10.5169/seals-24649
PDF erstellt am: 25.05.2017
Nutzungsbedingungen
Die ETH-Bibliothek ist Anbieterin der digitalisierten Zeitschriften. Sie besitzt keine Urheberrechte an
den Inhalten der Zeitschriften. Die Rechte liegen in der Regel bei den Herausgebern.
Die auf der Plattform e-periodica veröffentlichten Dokumente stehen für nicht-kommerzielle Zwecke in
Lehre und Forschung sowie für die private Nutzung frei zur Verfügung. Einzelne Dateien oder
Ausdrucke aus diesem Angebot können zusammen mit diesen Nutzungsbedingungen und den
korrekten Herkunftsbezeichnungen weitergegeben werden.
Das Veröffentlichen von Bildern in Print- und Online-Publikationen ist nur mit vorheriger Genehmigung
der Rechteinhaber erlaubt. Die systematische Speicherung von Teilen des elektronischen Angebots
auf anderen Servern bedarf ebenfalls des schriftlichen Einverständnisses der Rechteinhaber.
Haftungsausschluss
Alle Angaben erfolgen ohne Gewähr für Vollständigkeit oder Richtigkeit. Es wird keine Haftung
übernommen für Schäden durch die Verwendung von Informationen aus diesem Online-Angebot oder
durch das Fehlen von Informationen. Dies gilt auch für Inhalte Dritter, die über dieses Angebot
zugänglich sind.
Ein Dienst der ETH-Bibliothek
ETH Zürich, Rämistrasse 101, 8092 Zürich, Schweiz, www.library.ethz.ch
http://www.e-periodica.ch

32 GJaeschke und ETrost Uber die Nichtprimteiler von abx +c
(3) ist nurmöglich, wenn ygerade ist Also ist —abc fur fast alle pquadratischer Rest
Hieraus folgt nach einem früheren Satz2) (E Trost [4]) —ab cv2, also b-= b\
(wegen (a c, b) 1) im Widerspruch zur Voraussetzung
GJaeschke, Sindelfingen und ETrost, Zürich3)
LITERATURVERZEICHNIS
[1] Pölya-Szego, Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis II, Nr 107, S134
[2] ASchinzel, On the Congruence ax b(mod p), Bull Acad pol Sei (Ser Sei math
astr phys) 8, 307-309 (1960)
[3] WJLeveque, Topics in Number Theory I, S34
[4] ETrost Zur Theorie der Potenzreste, Nieuw ArchiefWisk 75,58-61(1934)
Sur les nombres pseudopremiers de la forme nk+1.
On appelle pseudopremiers les nombres composes ntels que n|2n —2Dans le
travail [2]1) j'ai dernontr£ qu'il existe une infinite de nombres pseudopremiers de la
forme nk-f 1en utihsant le theoreme de Zsigmondy (voir [4]) Dans le travail [3],
en utihsant le theoreme de Lejeune-Dirichlet sur la progression arithmetique j'ai
d6montr6 que toute progression arithmitique ax+b, ou aetb sont des nombres naturels
premiers entre eux, contient une infinite de nombres pseudopremiers Le but de cette
note est de demontrer d'une facon elementaire et directe (sans faire appel au theo¬
reme de Zsigmondy ni au theoreme de Lejeune-Dirichlet) le theoreme suivant
TPour tout nombre naturel nilexiste une infinite de nombrespseudopremiers de laforme
nk-h 1, oü kest un nombre naturel
IIest d'abord äremarquer que pour demontrer le theoreme Til suffit de demontrer
que pour tout nombre naturel nil existe au moms un nombre pseudopremier de la
forme nk+1, oü kest un nombre naturel, puisque alors pour tous deux nombres
naturels met nil existe au moms un nombre pseudopremier de la forme nmt +1,
ou test un nombre naturel, et ce nombre pseudopremier est evidemment >met de la
forme nk-f- 1(oü kest un nombre naturel)
Lemme 1. Si best un nombre impair >1et si Fm 22Tn -f 1, alors Fm +k(p[(p{b)]
Fm (mod b) pour m^b, k—0,1, 2,
Dimonstration du lemme 1Supposons que 2a |(p(b) et 2a+1 fcp(b) On aura
<p(b)/2a\ 2^(6)/2a] -112^)] -1, donc
<PJb) 2<p[q>m -1(1)
2a
Comme 2m >m>b><p(b) >2a, on a2a 12m etilresulte de (1) que cp(b) \2m (2^6>] -1) |
2m (2k(*<pm _i), donc
<p(b) 12m (2k(*<pm _l) pour k1, 2, 3, (2)
a) Ist bfur fast alle p«-ter Potenzrest und n=£ 0(mod 8), so ist b&J Fur n0(mod 8) ist ausser¬
dem noch b2w/2&3 möglich «Fast alle» bedeutet hier, dass die Menge der Ausnahmeprimzahlen ver¬
schwindende (Kroneckersche) Dichte hat
3) Herrn JSteinig (Zürich) danken wir für kritische Bemerkungen
x) Les chiffres en crochets renvoient aux travaux cit^s, page 33

A. Rotkiewicz: Sur les nombres pseudopremiers de la forme nk+1 33
Comme 2ib,ona 2*<*> 1(mod 6) et, d'apres (2) aussi 22m{2k(pMb)]~l] 1(mod b),
d'ou 2»m +M*(*,] ee 22m (mod b), donc iwMvW] ^Fm (mod 6) pour k1, 2, ce
qui est evidemment vrai aussi pour k0. Le lemme 1est ainsi dernontre\
Lemme 2(theoreme de Cipolla, cf. [1]): Si k>1, nx, n2, nk sont des nombres
naturels, nx <n2 < < nk <2M\ alors le nombre N_P„t _F„a... Fn est pseudopremier.
Dimonstration du lemme 2. Vu que nx< n2< <nk, on a_V 1(mod 22"1),
d'ou, vu que 2Ml >%(donc 2% >nÄ +1), AT 1(mod 2W/5+1). On adonc, pour
*1, 2, ,k: F22"1 +1I22Ht+1 -11 22H+1 -11 2N~1 -1
et, les nombres de Fermat distincts etant premiers entre eux, on en deduit que
N=Fn Fn ...Fni\2N~1- 112^-2,
ce qui prouve que Nest un nombre pseudopremier. Le lemme 2est ainsi dernontre\
Dimonstration du theoreme T. Soit n un nombre naturel donne* quelconque et soit
3n2ß b, ou 2-f b>1. Nous prouverons que le nombre
^-*3n *3?t +<p[<p(b)] *3n+2<p[<p{b)] '" **3n+[<p(b) -1]<p[tp(b)] (3)
est un nombre pseudopremier de la forme 3nt+1.
Vu que 3n>bet en vertu du lemme 1, nous avons F3n FZn+k(p[(p{b)] (mod b)
pour &0, 1, 2,... On adonc N^F«b> (mod 6) (4)
Tout diviseur >1du nombre FZn etant, comme on le sait, de la forme 2Zn l-f- 1>
23n +1>3n>&, on trouve (FZn, b) 1et, d'apr&s le th£or6me d'EuLER, (4) donne
iV 1(mod 6) (5)
Or, on a23" >3n2^6 >ß, donc 2^ |2?n+h*m\ k0,1, 2,..., d'ou F8ll+M„W]
1(mod 2ß) pour ß0, 1, 2, ce qui donne, d'apres (3):
N=l (mod 2ß) (6)
Les formules (5) et (6) donnent N1(mod 3n). En vertu du lemme 2il nous reste ä
demontrer que 2Zn >3n+[g?(6) —1] 9?[<p(&)]. Pour n1(ou &3) nous v&rifions
cette in^galite directement, et pour n>2eile est valable aussi, puisqu'alors on a
23" >3n+(3 n)2 >3n+[<p(3 n)-l]<p [<p(3 n)] >3n+[<p(b) -1] <p [tp(b)]
Nous avons ainsi demontre que, pour tout nombre naturel n>1il existe au
moins un nombre pseudopremier de la forme nk+1ou kest un nombre naturel, et,
comme nous le savons, il en resulte notre theoreme T. A. Rotkiewicz, Varsovie
TRAVAUX CITES
[1] M. Cipolla, Sui numeri composti Pche verificano la congruenza di Fermat a?-1 1
(mod P), Annali di Matematica 9, 139-160 (1904).
[2] A. Rotkiewicz, Sur les diviseurs composis des nombres an —bn, Bulletin de la Soci6t6
Royale des Sciences de Liege 32, 191-195 (1963).
[3] A. Rotkiewicz, Sur les nombres pseudopremiers de la forme ax-\- b, Comptes rendus,
Acad. Sciences, Paris 257, 2601-2604 (1963).
[4] K. Zsigmondy, Zur Theorie der Potenzreste, Monatshefte für Math. 3, 265-284 (1892).