Sur les nombres pseudopremiers de la forme nk + 1 - E

Sur les nombres pseudopremiers de la forme
nk + 1
Autor(en):
Rotkiewicz, A.
Objekttyp:
Article
Zeitschrift:
Elemente der Mathematik
Band (Jahr): 21 (1966)
Heft 2
PDF erstellt am:
25.05.2017
Persistenter Link: http://doi.org/10.5169/seals-24649
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32
G
Jaeschke und E Trost Uber die Nichtprimteiler von a bx + c
ist nur möglich, wenn y gerade ist Also ist — abc fur fast alle p quadratischer Rest
Hieraus folgt nach einem früheren Satz2) (E Trost [4]) — ab c v2, also b -= b\
1) im Widerspruch zur Voraussetzung
(wegen (a c, b)
G Jaeschke, Sindelfingen und E Trost, Zürich3)
(3)
[1]
[2]
[3]
[4]
LITERATURVERZEICHNIS
und
Pölya-Szego, Aufgaben
Lehrsätze aus der Analysis II, Nr 107, S 134
b (mod p), Bull Acad pol Sei (Ser Sei math
the
On
A Schinzel,
Congruence ax
astr phys) 8, 307-309 (1960)
W J Leveque, Topics in Number Theory I, S 34
E Trost Zur Theorie der Potenzreste, Nieuw ArchiefWisk 75,58-61(1934)
Sur les nombres pseudopremiers de la forme n k + 1.
On appelle pseudopremiers les nombres composes n tels que n 2n — 2 Dans le
travail [2]1) j'ai dernontr£ qu'il existe une infinite de nombres pseudopremiers de la
forme n k -f 1 en utihsant le theoreme de Zsigmondy (voir [4]) Dans le travail [3],
en utihsant le theoreme de Lejeune-Dirichlet sur la progression arithmetique j'ai
d6montr6 que toute progression arithmitique a x + b, ou a etb sont des nombres naturels
premiers entre eux, contient une infinite de nombres pseudopremiers Le but de cette
note est de demontrer d'une facon elementaire et directe (sans faire appel au theo¬
reme de Zsigmondy ni au theoreme de Lejeune-Dirichlet) le theoreme suivant
T Pour tout nombre naturel n il existe une infinite de nombres pseudopremiers de la forme
n k -h 1, oü k est un nombre naturel
II est d'abord ä remarquer que pour demontrer le theoreme T il suffit de demontrer
que pour tout nombre naturel n il existe au moms un nombre pseudopremier de la
forme n k + 1, oü k est un nombre naturel, puisque alors pour tous deux nombres
naturels m et n il existe au moms un nombre pseudopremier de la forme nmt + 1,
ou t est un nombre naturel, et ce nombre pseudopremier est evidemment > m et de la
forme n k -f- 1 (oü k est un nombre naturel)
|
un nombre impair > 1 et si Fm 22Tn -f 1, alors Fm + k(p[(p{b)]
Fm (mod b) pour m^b, k — 0,1, 2,
Dimonstration du lemme 1 Supposons que 2a (p(b) et 2a+1 cp(b) On aura
<p(b)/2a\ 2^(6)/2a]
112^)] 1, donc
Lemme 1. Si
b est
f
|
-
-
<PJb)
2<p[q>m
2a
Comme 2m > m
2m (2k(*<pm
-
(1)
1
> b > <p(b) > 2a, on a 2a 12m et il resulte de (1) que cp(b)
_ i),
donc
<p(b) 12m (2k(*<pm
_ l)
pour k
1, 2, 3,
\
2m
(2^6>]
-
1)
|
(2)
0 (mod 8) ist ausser¬
a) Ist b fur fast alle p «-ter Potenzrest und n =£ 0 (mod 8), so ist b
&J Fur n
dem noch b
2w/2&3 möglich «Fast alle» bedeutet hier, dass die Menge der Ausnahmeprimzahlen ver¬
schwindende (Kroneckersche) Dichte hat
3) Herrn J Steinig (Zürich) danken wir für kritische Bemerkungen
x) Les chiffres en crochets renvoient aux travaux cit^s, page 33
A. Rotkiewicz: Sur les nombres pseudopremiers de la forme
Comme
2ib,ona 2*<*>
nk+1
33
1 (mod b),
(mod 6) et, d'apres (2) aussi 22m{2k(pMb)]~l]
d'ou
ee 22m (mod b), donc
ce
iwMvW] ^ Fm (mod 6) pour k 1, 2,
qui est evidemment vrai aussi pour k 0. Le lemme 1 est ainsi dernontre\
1
2»m + M*(*,]
Lemme
Cipolla, cf. [1]): Si k > 1, nx, n2,
nk sont des nombres
naturels, nx < n2 <
< nk < 2M\ alors le nombre N _P„t _F„a... Fn est pseudopremier.
Dimonstration du lemme 2. Vu que nx< n2<
< nk, on a _V 1 (mod 22"1),
1 (mod 2W/5+1). On a donc,
d'ou, vu que 2Ml > % (donc 2% > nÄ + 1), AT
pour
,k:
1, 2,
*
2 (theoreme de
F
22"1
+
1
22Ht+1
I
-
11 22H+1
-
11 2N~1
-
1
et, les nombres de Fermat distincts etant premiers entre eux, on en deduit que
N=Fn
qui prouve que N est un nombre pseudopremier. Le lemme 2 est ainsi dernontre\
Dimonstration du theoreme T. Soit n un nombre naturel donne* quelconque et soit
ce
3
...Fni\2N~1- 112^-2,
Fn
2ß b,
n
ou 2 -f
b
>
1. Nous
^
prouverons que le nombre
-*3n *3?t + <p[<p(b)]
*3 n + 2 <p[<p{b)]
'" **3n+
[<p(b)
est un nombre pseudopremier de la forme 3 n t + 1.
b et en vertu du lemme 1, nous avons F3n
Vu que 3 n
pour & 0, 1, 2,... On a donc
N ^ F«b> (mod 6)
>
Tout diviseur
23n
+ >
1
3
n
>
(3)
-1] <p[tp(b)]
FZn+k(p[(p{b)]
on trouve (FZn, b)
iV
Or, on a 23" > 3 n
1 (mod 2ß)
pour ß
2^6
>
1
ß, donc 2^
0, 1, 2,
ce
|
2Zn
l -f-
>
1
et, d'apr&s le th£or6me d'EuLER, (4) donne
(mod
1
b)
(4)
> 1 du nombre FZn etant, comme on le sait, de la forme
&,
(mod
(5)
6)
2?n+h*m\
k
0,1, 2,..., d'ou F8ll+M„W]
qui donne, d'apres (3):
N=l
(mod
2ß)
(6)
(mod 3 n). En vertu du lemme 2 il nous reste ä
demontrer que 2Zn > 3 n + [g?(6) — 1] 9?[<p(&)]. Pour n 1 (ou & 3) nous v&rifions
cette in^galite directement, et pour n > 2 eile est valable aussi, puisqu'alors on a
Les formules (5) et (6) donnent
23"
>
3
n
+
(3 n)2
>
3
n
+
N
[<p(3
1
n)-l]<p [<p(3 n)] > 3 n +
[<p(b)
-
1]
<p
[tp(b)]
Nous avons ainsi demontre que, pour tout nombre naturel n > 1 il existe au
moins un nombre pseudopremier de la forme n k + 1 ou k est un nombre naturel, et,
A. Rotkiewicz, Varsovie
comme nous le savons, il en resulte notre theoreme T.
[1]
[2]
[3]
[4]
TRAVAUX CITES
1
M. Cipolla, Sui numeri composti P che verificano la congruenza di Fermat a?-1
(mod P), Annali di Matematica 9, 139-160 (1904).
A. Rotkiewicz, Sur les diviseurs composis des nombres an — bn, Bulletin de la Soci6t6
Royale des Sciences de Liege 32, 191-195 (1963).
A. Rotkiewicz, Sur les nombres pseudopremiers de la forme a x -\- b, Comptes rendus,
Acad. Sciences, Paris 257, 2601-2604 (1963).
K. Zsigmondy, Zur Theorie der Potenzreste, Monatshefte für Math. 3, 265-284 (1892).