Sur une propriété des nombres naturels - E

Sur une propriété des nombres naturels
Autor(en): Sierpiski, W.
Objekttyp: Article
Zeitschrift: Elemente der Mathematik
Band (Jahr): 19 (1964)
Heft 2
Persistenter Link: http://doi.org/10.5169/seals-23296
PDF erstellt am: 25.05.2017
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\\ Sierpinski Sur une propriete des nombres naturels 27
Es seien jetzt ux, u2, un diejenigen nlinear unabhängigen Vektoren, welche
den Anfangspunkt im Koordinatenursprung 0und als Endpunkte die Punkte
rx 0, x2 0, xn 0haben, die xt smd dabei die oben genannten Translationen, die T
erzeugen Fbedeute das von den Vektoren ult u2, un aufgespannte Parallelotop
Man erkennt ohne weiteres, dass die Parallelotope xF(x eT) eine zu Tgehörige
Zerlegung des Rn ergeben und im Innern von Fkeine zwei voneinander verschiedene
_T-aquivalente Punkte liegen Man betrachte nun diejenigen xF(xeT), fur welche
LOx Finnere Punkte enthalt Es gibt, da Lersichtlich beschrankt ist, nur endlich
viele solche xFLwird somit mdie endlich vielen Teile LT LOxF (I(LT) =f=0)
zerlegt Wendet man auf jedes LT die Translation r-1 an, so smd alle r_1 LT in Fent¬
halten Je zwei r_1 Lr können sich nicht überlappen, weil sonst Lzwei T-aquivalente
Punkte im Innern enthielte Andrerseits hegt jeder innere Punkt von Fmmindestens
einem x~x LT, weil es mLeinen dazu T-aquivalenten Punkt gibt und Fkeine zwei
_T-aquivalenten Punkte im Innern enthalt Lund das Parallelotop Fsmd demnach
zerlegungsgleich Aus der allgemeinen Theorie zerlegungsgleicher Polyeder (siehe
Hadwiger [3], insbesondere S20-49) ergibt sich nun sofort, dass Fund damit Lmit
der Vereinigungsmenge von mkongruenten Wurfein zerlegungsgleich ist und dass
dies wegen (2) die Zerlegungsgleichheit von Kx mit einem dieser Würfel zur Folge hat
Helmut Groemer1), Corvalhs, Ore USA
LITERATUR
[1] Bieberbach, LÜber die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume IMath Ann
70, 297-336 (1911)
[2] Hadwiger, HUngelöste Probleme, Nr 45 El Math 18, 29-31 (1963)
[3] Hadwiger, HVorlesungen uber Inhalt, Oberflache und Isoperimetrie, Grundlehren
der mathematischen Wissenschaften, Bd 93 (Springer-Verlag, Berlin 1957)
[4] Reinhardt, KZur Zerlegung der Euklidischen Räume in kongruente Polytope,
Sitzber Akad Berlin 1928, 150-155
Sur une propriete des nombres naturels
Le but de cet article est de demontrer d'une facon 6Mmentaire le th£or£me suivant
Theoreme Tout nombre naturel est d'une infinite de manieres une difference de deux
nombres naturels dipourvus de diviseurs premiers carres
Demonstration n6tant un nombre naturel donn6, designons par Q(n) le nombre de
tous les nombres naturels <ndipourvus de diviseurs premiers carres Soit qn le plus
grand nombre impair dont le carre* est <nSi Ton suppnme dans la suite 1,2, ,n
tous les nombres divisibles par un quelconque des nombres 22 et (2 k+l)2, oü kest
un nombre naturel tel que 2k-f 1<qn, il restera dans notre suite Evidemment
seulement les nombres dEpourvus de diviseurs premiers carres Or, les nombres
naturels <ndivisibles par un nombre naturel donne* dsont de la forme dk, oü kest
un nombre naturel et dk <n, donc k<n/d, le nombre de tels nombres est donc
<_ n/d Le nombre des nombres de la suite 1, 2, ,w qui sont divisibles par un
*) Der Verfasser dankt der National Science Foundation fur finanzielle Unterstützung (Research
Grant GP-261)

28 WSierpinski Sur une proprio des nombres naturels
quelconque des nombres 22 et (2 k4- l)2, oü 2k-f 1<qn, ne depasse pas donc le
nombre
et il en rEsulte que
donc
Or, on a
nnnnn
22 '32 ¦" 52 72 "T" 92 1" +-
Q(n) ^«_^_+_+_++—1
(OM ^_/1 *1 1 1\
VW __ »^432 52 ql) (1)
1JLJ_ __ <" ______ J~1_____ 4. 4.
Q2 r112 '132' '/,2 ^7O'O1 1 '1 1 UT ~
9« '11* '13« ''q\ ^79'911 '11 13 ''(<?„ -2) j_
___(_____ +___J_+J-_J_++_J M_1(JL_M<_L
2\1 9^9 11^11 13T _„-2 ?J 2\7 ?„ /^14
On adonc, d'apr.s (1),
Q{n)>»(l-±-±--L-±-±),
donc Q(n) >an, oü
-__2._i^ 1 1 1_ _22361 1
a~~ T"" ~9 "25" 49 14 44100 ^~2~
Supposons mamtenant qu'un nombre naturel mn'est pas d'une infinitede manieres
une difference de deux nombres naturels depourvus de diviseurs premiers carres
II existe alors un nombre naturel atel que si un nombre naturel k>aest depourvu
de diviseurs premiers carres, le nombre k+maun diviseur premier carre Soit nun
nombre naturel tel que m+a/0v
(oü, d'apres a>1/2, on a2a-1>0)
IIresulte de la definition du nombre aque si kest un nombre naturel depourvu de
diviseurs premiers carres et tel que a<k<n (le nombre de tels nombres kest
Evidemment !> Q(n) —a), le nombre k+m<n +msl un diviseur premier carre
Le nombre des nombres naturels <n-j~ mqui ont des diviseurs premiers carres est
donc ;> Q(n) —aLe nombre de nombres naturels <n+mdepourvus de diviseurs
premiers carres Etant Q(n +m), il en rösulte que
Q(n +m) +(>(») -a<»+m(3)
et, comme @(?t. -f m) >oc(w -f w) >oc #et <2(w) >a«, on trouve, d'apres (3)
-i» \m-\- a
an +an —a<. n-{- m, dou n<2a-l'
contrairement ä(2)
Notre thEor&me se trouve ainsi demontre*
D'aprEs une remarque que je dois 4MP Turan, la meme demonstration peut
€tie apphquEe pour prouver la proposition plus generale suivante

MJeger Uber die gruppenalgebraische Struktur der Elementargeometne (Fortsetzung) 29
Si Eest un ensemble de nombres naturels de densite superieure >1/2 tout nombre
naturel est d'une infinite de manieres une difference de deux nombres de Vensemble E
Or, d'apres une remarque de MASchinzel notre theoreme peut etre de*duit sans
peme de la proposition suivante, demontre*e par MTNagell dans son travail Zur
Arithmetik der Polynome, Abhandlungen aus dem Math Seminar Umv Hamburg
/(1922), p188
Si les nombres (at, bt) (i —1, 2, 3) ne sont pas divisibles par aucun carre d'un nombre
premier, il existe une infinite de nombres naturels xpour lesquels les nombres ax x+bx,
a2 x-j- b2, a3 x+b3 sont depourvus de diviseurs premiers carres
Pour en deduire notre theoreme, il suffit de prendre ax a2 1, bx 0
WSierpinski, Varsovie
Über die gruppenalgebraische Struktur der Elementargeometrie
(Fortsetzung)
4. Aufbau der Geometrie auf dem Spiegelungsbegriff
Wir wollen uns jetzt noch einer Entwicklungshnie in der geometrischen Grundlagen¬
forschung zuwenden, die aus den soeben dargelegten Gedankengangen herausge¬
wachsen ist Es hat sich gezeigt, dass von der gruppenalgebraischen Seite her em
axiomatischer Aufbau der Kongruenzgeometrie möglich ist Im Vordergrund steht
dabei eine Gruppe mit einem invarianten Erzeugendensystem aus mvolutorischen Ele¬
menten Als Axiome werden einige Gesetze uber mvolutonsche Gruppenelemente
postuliert Wir sind damit bei der reinen gruppentheoretischen Geometrie angelangt,
die mit Arbeiten von Hjelmslev und Reidemeister aus den Jahren um 1930 ihren
Anfang nahm und die seither von der Kieler Geometerschule Bachmanns wesentlich
gefordert worden ist
Wir wollen hier kurz auf das Bachmannsche Axiomensystem eingehen Es geht
von einer abstrakten Gruppe ©aus, in der ein invariantes Erzeugendensystem Saus
mvolutorischen Elementen gegeben ist Wir bezeichnen die Elemente von Sals
Gruppen-Geraden, mvolutonsche Elemente aus ©, die als Produkt von zwei Gruppen-
Geraden darstellbar sind, sollen Gruppen-Punkte heissen4) Der Leser halte sich die
Gruppe Ämit den Geraden- und Punktspiegelungen als Beispiel vor Augen Fur die
Gruppen-Geraden und die Gruppen-Punkte behalten wir die Symbole Hg bzw ZG
aus der Gruppe 51 bei
In ©werden nun eine Inzidenz- und eine Orthogonahtatsrelation eingeführt
Die Gruppen-Gerade Eg und der Gruppen-Punkt £A heissen Inzident, wenn
Die beiden Gruppen-Geraden Zf und Sg heissen orthogonal, wenn (Ef oZg)2 /
Diese Festlegungen erinnern uns an die beiden Äquivalenzen (1) und (2) in der
Figur 7
4) Bei Bachmann werden die Gruppenelemente als Geraden und Punkte bezeichnet Wir wollen diese
Begriffe hier ausschliesslich fur geometrische Objekte reservieren