Sur une propriété des nombres naturels Autor(en): Sierpiski, W. Objekttyp: Article Zeitschrift: Elemente der Mathematik Band (Jahr): 19 (1964) Heft 2 PDF erstellt am: 25.05.2017 Persistenter Link: http://doi.org/10.5169/seals-23296 Nutzungsbedingungen Die ETH-Bibliothek ist Anbieterin der digitalisierten Zeitschriften. Sie besitzt keine Urheberrechte an den Inhalten der Zeitschriften. Die Rechte liegen in der Regel bei den Herausgebern. Die auf der Plattform e-periodica veröffentlichten Dokumente stehen für nicht-kommerzielle Zwecke in Lehre und Forschung sowie für die private Nutzung frei zur Verfügung. Einzelne Dateien oder Ausdrucke aus diesem Angebot können zusammen mit diesen Nutzungsbedingungen und den korrekten Herkunftsbezeichnungen weitergegeben werden. Das Veröffentlichen von Bildern in Print- und Online-Publikationen ist nur mit vorheriger Genehmigung der Rechteinhaber erlaubt. 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Ein Dienst der ETH-Bibliothek ETH Zürich, Rämistrasse 101, 8092 Zürich, Schweiz, www.library.ethz.ch http://www.e-periodica.ch \\ Sierpinski Sur une propriete des nombres naturels 27 diejenigen n linear unabhängigen Vektoren, welche den Anfangspunkt im Koordinatenursprung 0 und als Endpunkte die Punkte xn 0 haben, die xt smd dabei die oben genannten Translationen, die T rx 0, x2 0, un aufgespannte Parallelotop erzeugen F bedeute das von den Vektoren ult u2, dass ohne die Man erkennt weiteres, Parallelotope x F (x e T) eine zu T gehörige Rn des und Innern ergeben Zerlegung im von F keine zwei voneinander verschiedene _T-aquivalente Punkte liegen Man betrachte nun diejenigen x F (xeT), fur welche LOx F innere Punkte enthalt Es gibt, da L ersichtlich beschrankt ist, nur endlich viele solche x F L wird somit m die endlich vielen Teile LT LOxF (I(LT) =f=0) zerlegt Wendet man auf jedes LT die Translation r-1 an, so smd alle r_1 LT in F ent¬ halten Je zwei r_1 Lr können sich nicht überlappen, weil sonst L zwei T-aquivalente Punkte im Innern enthielte Andrerseits hegt jeder innere Punkt von F m mindestens einem x~x LT, weil es m L einen dazu T-aquivalenten Punkt gibt und F keine zwei _T-aquivalenten Punkte im Innern enthalt L und das Parallelotop F smd demnach zerlegungsgleich Aus der allgemeinen Theorie zerlegungsgleicher Polyeder (siehe Hadwiger [3], insbesondere S 20-49) ergibt sich nun sofort, dass F und damit L mit der Vereinigungsmenge von m kongruenten Wurfein zerlegungsgleich ist und dass dies wegen (2) die Zerlegungsgleichheit von Kx mit einem dieser Würfel zur Folge hat Helmut Groemer1), Corvalhs, Ore USA Es seien jetzt ux, u2, un LITERATUR [1] Bieberbach, L Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume 70, 297-336 (1911) I Math Ann Ungelöste Probleme, Nr 45 El Math 18, 29-31 (1963) Vorlesungen uber Inhalt, Oberflache und Isoperimetrie, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Bd 93 (Springer-Verlag, Berlin 1957) [4] Reinhardt, K Zur Zerlegung der Euklidischen Räume in kongruente Polytope, Sitzber Akad Berlin 1928, 150-155 [2] [3] Hadwiger, H Hadwiger, H Sur une propriete des nombres naturels Le but de cet article est de demontrer d'une facon 6Mmentaire le th£or£me suivant Theoreme Tout nombre naturel est d'une infinite de manieres une difference de deux nombres naturels dipourvus de diviseurs premiers carres Demonstration n 6tant un nombre naturel donn6, designons par Q(n) le nombre de tous les nombres naturels < n dipourvus de diviseurs premiers carres Soit qn le plus grand nombre impair dont le carre* est < n Si Ton suppnme dans la suite 1,2, ,n tous les nombres divisibles par un quelconque des nombres 22 et (2 k + l)2, oü k est un nombre naturel tel que 2 k -f 1 < qn, il restera dans notre suite Evidemment seulement les nombres dEpourvus de diviseurs premiers carres Or, les nombres naturels < n divisibles par un nombre naturel donne* d sont de la forme dk, oü k est un nombre naturel et dk < n, donc k < n/d, le nombre de tels nombres est donc <_ n/d Le nombre des nombres de la suite 1, 2, ,w qui sont divisibles par un *) Der Verfasser dankt der National Science Foundation fur finanzielle Unterstützung (Research Grant GP-261) W Sierpinski Sur une 28 quelconque des nombres nombre il en et (2 k l)2, oü 2 k 4- -f nnnnn 22 et 22 proprio des nombres naturels rEsulte que ' ¦" 32 72 "T" 52 1 < qn, Q(n) ^«_^_ + _ + _ + (OM VW ^__ »_ /1^ - + 1" 92 ne depasse pas donc le + —1 donc Or, on a 1 Q2 9« r' 12 11* 1 J' L 132'' 13« __ q\ J_ ' /,2 * 1 1 4 32 52 ~ J' <" ______ 7 O 9 1111 9 ' O ^ 2\1 1 ' 9^9 (1) ql) 11 1 1 UT4. _____ 13 ' +_J _„-2 ___(_____ + ___J_+J-_J_ + 11^11 13T \ 1 4. ~ - j_ M_1(JL_M<_L ?J 2\7 ?„ / ^ 14 ' (<?„ 2) On a donc, d'apr.s (1), Q{n)>»(l-±-±--L-±-±), donc Q(n) > a n, oü a~~ - __2._i^ "" ~9 T 1 1 "25" 49 1_ 14 22361 _ 44100 ^ 1 ~2~ Supposons mamtenant qu'un nombre naturel m n'est pas d'une infinite de manieres une difference de deux nombres naturels depourvus de diviseurs premiers carres II existe alors un nombre naturel a tel que si un nombre naturel k > a est depourvu de diviseurs premiers carres, le nombre k + m a un diviseur premier carre Soit n un nombre naturel tel que m - > + a /0v > 1 1/2, on a 2 a 0) (oü, d'apres a II resulte de la definition du nombre a que si k est un nombre naturel depourvu de diviseurs premiers carres et tel que a < k (le nombre de tels nombres k est Evidemment !> Q(n) — a), le nombre k + m + m sl un diviseur premier carre des nombres naturels Le nombre n -j~ m qui ont des diviseurs premiers carres est donc ;> Q(n) — a Le nombre de nombres naturels n + m depourvus de diviseurs premiers carres Etant Q(n + m), il en rösulte que <n <n < Q(n et, comme @(?t. -f m) + m) > oc(w -f w) > an + an — a <. n < + oc (>(») # et -{- m, -a<»+m <2(w) (3) > a «, on trouve, d'apres (3) -i» \ dou n < m -\- a 2a-l' contrairement ä (2) Notre thEor&me se trouve ainsi demontre* D'aprEs une remarque que je dois 4MP Turan, la meme demonstration peut €tie apphquEe pour prouver la proposition plus generale suivante M Jeger Uber die gruppenalgebraische Struktur der Elementargeometne (Fortsetzung) 29 Si E est un ensemble de nombres naturels de densite superieure > 1/2 tout nombre naturel est d'une infinite de manieres une difference de deux nombres de Vensemble E Or, d'apres une remarque de M A Schinzel notre theoreme peut etre de*duit sans peme de la proposition suivante, demontre*e par M T Nagell dans son travail Zur Arithmetik der Polynome, Abhandlungen aus dem Math Seminar Umv Hamburg / (1922), p 188 Si les nombres (at, bt) (i — 1, 2, 3) ne sont pas divisibles par aucun carre d'un nombre premier, il existe une infinite de nombres naturels x pour lesquels les nombres ax x + bx, a2 x -j- b2, a3 x + b3 sont depourvus de diviseurs premiers carres 0 Pour en deduire notre theoreme, il suffit de prendre ax a2 1, bx W Sierpinski, Varsovie Über die gruppenalgebraische Struktur der Elementargeometrie (Fortsetzung) 4. Aufbau der Geometrie auf dem Spiegelungsbegriff Wir wollen uns jetzt noch einer Entwicklungshnie in der geometrischen Grundlagen¬ forschung zuwenden, die aus den soeben dargelegten Gedankengangen herausge¬ wachsen ist Es hat sich gezeigt, dass von der gruppenalgebraischen Seite her em axiomatischer Aufbau der Kongruenzgeometrie möglich ist Im Vordergrund steht dabei eine Gruppe mit einem invarianten Erzeugendensystem aus mvolutorischen Ele¬ menten Als Axiome werden einige Gesetze uber mvolutonsche Gruppenelemente postuliert Wir sind damit bei der reinen gruppentheoretischen Geometrie angelangt, die mit Arbeiten von Hjelmslev und Reidemeister aus den Jahren um 1930 ihren Anfang nahm und die seither von der Kieler Geometerschule Bachmanns wesentlich gefordert worden ist Wir wollen hier kurz auf das Bachmannsche Axiomensystem eingehen Es geht von einer abstrakten Gruppe © aus, in der ein invariantes Erzeugendensystem S aus mvolutorischen Elementen gegeben ist Wir bezeichnen die Elemente von S als Gruppen-Geraden, mvolutonsche Elemente aus ©, die als Produkt von zwei GruppenGeraden darstellbar sind, sollen Gruppen-Punkte heissen4) Der Leser halte sich die Gruppe Ä mit den Geraden- und Punktspiegelungen als Beispiel vor Augen Fur die Gruppen-Geraden und die Gruppen-Punkte behalten wir die Symbole Hg bzw ZG aus der Gruppe 51 bei In © werden nun eine Inzidenz- und eine Orthogonahtatsrelation eingeführt Die Gruppen-Gerade Eg und der Gruppen-Punkt £A heissen Inzident, wenn / Die beiden Gruppen-Geraden Zf und Sg heissen orthogonal, wenn (Ef o Zg)2 Diese Festlegungen erinnern uns an die beiden Äquivalenzen (1) und (2) in der Figur 7 4) Bei Bachmann werden die Gruppenelemente als Geraden und Punkte bezeichnet Wir wollen diese Begriffe hier ausschliesslich fur geometrische Objekte reservieren