G1 Triangles : inégalité triangulaire, construction et triangles

G1 Triangles : inégalité triangulaire,
5e
construction et triangles superposables
I.
Longueurs des cotés d’un triangle
Le plus court chemin entre deux points est la ligne droite.
Tout autre chemin passant par un 3eme point est donc plus long ou de même longueur.
Pté 1: Inégalité triangulaire
Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des deux autres.
A
C
B
Dans le triangle ABC, on a :
AC < AB + BC
AB < AC + CB
BC < BA + AC
Pté 2: Cas d’égalité
Soient A, B, C trois points distincts.
Si 𝐵𝜖[𝐴𝐶], alors 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶 + 𝐴𝐵
Si 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶 + 𝐴𝐵, alors les points A, B, C sont alignés : 𝐵𝜖[𝐴𝐶]
Ex : Soient A, B, C trois points tels que : AB = 1,5cm ; BC = 2,5cm ; AC = 4cm.
Que peut-on dire des points A, B, C ?
On a AB + BC = 1,5 + 2,5 = 4cm = AC.
Les points A, B, C sont donc alignés.
Conséquence : Comment vérifier si un triangle est constructible ?
Soit ABC un triangle dont le côté le plus long est [AC].
Si AC < AB + BC (si l’inégalité triangulaire est vérifiée) alors on peut construire le triangle ABC.
Si AC > AB + BC (si l’inégalité triangulaire n’est pas vérifiée) alors on ne peut pas construire le triangle
ABC.
Si AB + BC = AC (cas d’égalité) alors le triangle ABC est aplati.
Ex : Peut-on construire un triangle DFE tel que DF = 3cm ; DE = 8cm : EF = 4cm ?
On sait que le côté le plus long du triangle DFE est [DE].
DF + EF = 3 + 4 = 7cm.
Donc DE > DF + EF
L’inégalité triangulaire n’est pas vérifiée.
On ne peut donc pas construire le triangle DEF.
II.
Construction de triangles
Pour pouvoir construire un triangle, il faut connaître :

Soit les longueurs de ses trois côtés

Soit un de ses angles et les longueurs de ses deux côtés adjacents

Soit deux angles et la longueur de leur côté commun
III.
Triangles superposables, triangles égaux
Deux triangles sont superposables lorsqu’on peut les faire coïncider par glissement ou par
glissement suivi d’un retournement.
Déf 1:
Deux triangles égaux sont des triangles superposables, càd qui ont des côtés deux à deux de même
longueur et des angles deux à deux de même mesure.
Conséquence : Comment vérifier si deux triangles sont égaux ?
Si deux triangles ont un côté de même longueur
et des angles adjacents à ce côté deux à deux de même mesure
OU
Si deux triangles ont un angle de même mesure
compris entre des côtés deux à deux de même longueur
OU
Si deux triangles ont leurs côtés deux à deux de même longueur
alors ces deux triangles sont égaux.